统计学第六版贾俊平第11章.ppt

11 - 1第七章第七章 一元线性回归一元线性回归11.1 变量间关系的度量变量间关系的度量 11.2 一元线性回归一元线性回归11.3 利用回归方程进行估计和预测利用回归方程进行估计和预测11.4 残差分析残差分析11 - 2学习目标学习目标1. 相关系数的分析方法相关系数的分析方法2.一元线性回归的基本原理和参数的最小一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计二乘估计3.回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度4.回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验5.利用回归方程进行估计和预测利用回归方程进行估计和预测6.用用 Excel 进行回归进行回归11 - 311.1 变量间关系的度量变量间关系的度量一一.变量间的关系变量间的关系二二.相关关系的描述与测度相关关系的描述与测度三三.相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验11 - 4变量间的关系变量间的关系11 - 5函数关系函数关系1.是一一是一一对应的确定关系对应的确定关系2.设设有有两两个个变变量量 x x 和和 y y ，，变变量量 y y 随随变变量量 x x 一一起起变变化化，，并并完完全全依依赖赖于于 x x ，，当当变变量量 x x 取取某某个个数数值值时时，， y y 依依确确定定的的关关系系取取相相应应的的值值，，则则称称 y y 是是 x x 的的函函数数，，记记为为 y y = = f f ( (x x) )，，其其中中 x x 称称为为自自变变量量，，y y 称称为为因因变变量量3.各各观测点落在一条线上观测点落在一条线上          x xy y11 - 6函数关系函数关系(几个例子几个例子) 函数关系的例子函数关系的例子§某某种种商商品品的的销销售售额额( (y y) )与与销销售售量量( (x x) )之之间间的的关关系系可表示为可表示为 y y = = pxpx ( (p p 为单价为单价) )§圆圆 的的 面面 积积 (S)(S)与与 半半 径径 之之 间间 的的 关关 系系 可可 表表 示示 为为S S= =   R R2 2 §企企业业的的原原材材料料消消耗耗额额( (y y) )与与产产量量( (x x1 1) ) 、、单单位位产产量量消消耗耗( (x x2 2) ) 、、原原材材料料价价格格( (x x3 3) )之之间间的的关关系系可可表表示为示为y y = = x x1 1 x x2 2 x x3 3 11 - 7相关关系相关关系(correlation)1.变变量量间间关关系系不不能能用用函函数数关关系精确表达系精确表达2.一一个个变变量量的的取取值值不不能能由由另另一个变量唯一确定一个变量唯一确定3.当当变变量量 x x 取取某某个个值值时时，，变变量量 y y 的取值可能有几个的取值可能有几个4.各观测各观测点分布在直线周围点分布在直线周围                   x xy y11 - 8相关关系相关关系(几个例子几个例子) 相关关系的例子相关关系的例子§父亲身高父亲身高( (y y) )与子女身高与子女身高( (x x) )之间的关系之间的关系§收入水平收入水平( (y y) )与受教育程度与受教育程度( (x x) )之间的关系之间的关系§粮粮食食亩亩产产量量( (y y) )与与施施肥肥量量( (x x1 1) ) 、、降降雨雨量量( (x x2 2) ) 、、温度温度( (x x3 3) )之间的关系之间的关系§商商品品的的消消费费量量( (y y) )与与居居民民收收入入( (x x) )之之间间的的关关系系§商商品品销销售售额额( (y y) )与与广广告告费费支支出出( (x x) )之之间间的的关关系系11 - 9相关关系相关关系(类型类型)11 - 10相关关系的描述与测度相关关系的描述与测度(散点图散点图)11 - 11散点图散点图(scatter diagram)                        不相关不相关不相关不相关不相关不相关                  负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关                  正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关                        非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关              完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关                  11 - 12散点图散点图(例题分析例题分析)【【例例】】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。

近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的提高，这给银行业务的发展带来较大压力为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据 11 - 13散点图散点图(例题分析例题分析)11 - 14散点图散点图(例题分析例题分析)11 - 15相关关系的描述与测度相关关系的描述与测度(相关系数相关系数)11 - 16相关系数相关系数(correlation coefficient)1.对变量之间关系密切程度的度量2.对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数3.若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 4.若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r11 - 17相关系数相关系数 (计算公式计算公式) 样本相关系数的计算公式或化简为11 - 18相关系数相关系数(取值及其意义取值及其意义)1. r r 的取值范围的取值范围是是 [-1,1][-1,1]2. | |r r|=|=1 1，，为完全相关为完全相关n nr r = =1 1，为，为完全正相关完全正相关n nr r = =-1-1，，为完全负正相关为完全负正相关3. r r = 0= 0，，不存在不存性线性线性线性相关相关关系相关关系相关4. -1-1 r r< <0 0，，为为负相关负相关5. 0 0<

时，趋于正态分布的趋势非常明显而当远离而当远离0 0时，除非时，除非n n非常大，否则非常大，否则r r的抽样分布呈的抽样分布呈现一定的偏态现一定的偏态2.当当 为较大的正值时，为较大的正值时，r r 呈现左偏分布；当呈现左偏分布；当 为为较大的负值时，较大的负值时，r r 呈现右偏分布只有当呈现右偏分布只有当 接近接近于于0 0，而样本容量，而样本容量n n很大时，才能认为很大时，才能认为r r是接近是接近于正态分布的随机变量于正态分布的随机变量11 - 23相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验(检验的步骤检验的步骤)1.1.检验两个变量之间是否存性相关关系检验两个变量之间是否存性相关关系2.等价于对回归系数等价于对回归系数  1 1的的检验检验3.采用采用R.A.FisherR.A.Fisher提出的提出的 t t 检验检验4.检验的步骤为检验的步骤为n n提出假设：提出假设：H H0 0：：      ；；H H1 1：：     0 0n n 计算检验的统计量：计算检验的统计量：n n 确定显著性水平确定显著性水平 ，并作出决策，并作出决策• • 若若 t t > >t t，，拒绝拒绝H H0 0• • 若若 t t < =7.5344>t t(25-2)=2.0687(25-2)=2.0687，，拒拒绝绝H H0 0，，不不良良贷贷款款与与贷贷款款余余额额之之间间存存在在着着显显著著的的正正线线性性相相关关关关系系 11 - 25相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验(例题分析例题分析)各相关系数检验的统计量各相关系数检验的统计量11 - 2611.2 一元线性回归一元线性回归一一.一元线性回归模型一元线性回归模型二二.参数的最小二乘估计参数的最小二乘估计三三.回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度四四.显著性检验显著性检验11 - 27什么是回归分析？什么是回归分析？(Regression)1.从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式2.对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著3.利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度回归一词是回归一词是怎么来的怎么来的? ?？？11 - 28回归分析与相关分析的区别回归分析与相关分析的区别1.相相关关分分析析中中，，变变量量 x x 变变量量 y y 处处于于平平等等的的地地位位；；回回归归分分析析中中，，变变量量 y y 称称为为因因变变量量，，处处在在被被解解释释的的地地位，位，x x 称为自变量，用于预测因变量的变化称为自变量，用于预测因变量的变化2.相相关关分分析析中中所所涉涉及及的的变变量量 x x 和和 y y 都都是是随随机机变变量量；；回回归归分分析析中中，，因因变变量量 y y 是是随随机机变变量量，，自自变变量量 x x 可可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量以是随机变量，也可以是非随机的确定变量3.相相关关分分析析主主要要是是描描述述两两个个变变量量之之间间线线性性关关系系的的密密切切程程度度；；回回归归分分析析不不仅仅可可以以揭揭示示变变量量 x x 对对变变量量 y y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制 11 - 29回归模型的类型回归模型的类型11 - 30一元线性回归模型一元线性回归模型11 - 31一元线性回归一元线性回归1.涉及一个自变量的回归2.因变量y与自变量x之间为线性关系n n被被 预预 测测 或或 被被 解解 释释 的的 变变 量量 称称 为为 因因 变变 量量(dependent variable)(dependent variable)，用，用y y表示表示n n用用来来预预测测或或用用来来解解释释因因变变量量的的一一个个或或多多个个变变量量称称为为自自变变量量(independent (independent variable)variable)，，用用x x表示表示 3.因变量与自变量之间的关系用一条线性方程来表示11 - 32回归模型回归模型(regression model)1.回答“变量之间是什么样的关系？”2.方程中运用n n1 1 个数字的因变量个数字的因变量( (响应变量响应变量) )l l被预测的变量被预测的变量n n1 1 个或多个数字的或分类的自变量个或多个数字的或分类的自变量 ( (解释变量解释变量) )l l用于预测的变量用于预测的变量3. 主要用于预测和估计11 - 33一元线性回归模型一元线性回归模型1.描描述述因因变变量量 y y 如如何何依依赖赖于于自自变变量量 x x 和和误误差差项项  的的方程称为方程称为回归模型回归模型回归模型回归模型2.一元线性一元线性回归模型可表示为回归模型可表示为 y y = =    0 0 0 0 + + + +    1 1 1 1 x x + + + + e e e en ny y 是是 x x 的线性函数的线性函数( (部分部分) )加上误差项加上误差项n n线性部分反映了由于线性部分反映了由于 x x 的变化而引起的的变化而引起的 y y 的变化的变化n n误差项误差项   是随机变量是随机变量l l反反映映了了除除 x x 和和 y y 之之间间的的线线性性关关系系之之外外的的随随机机因因素素对对 y y 的的影响影响l l是不能由是不能由 x x 和和 y y 之间的线性关系所解释的变异性之间的线性关系所解释的变异性n n 0 0 和和  1 1 称为模型的参数称为模型的参数11 - 34一元线性回归模型一元线性回归模型(基本假定基本假定) 1.误误差差项项ε ε是是一一个个期期望望值值为为0 0的的随随机机变变量量，，即即E E( (ε ε)=0)=0。

对对于于一一个个给给定定的的 x x 值值，，y y 的的期期望望值值为为E E ( ( y y ) ) = =    0 0+ +     1 1 x x2.对对于所有的于所有的 x x 值，值，ε ε的方差的方差σ σ2 2 都相同都相同3.误误差差项项ε ε是是一一个个服服从从正正态态分分布布的的随随机机变变量量，，且且相相互独立即互独立即ε ε~ ~N N( 0 ,( 0 ,σ σ2 2 ) )n n独独立立性性意意味味着着对对于于一一个个特特定定的的 x x 值值，，它它所所对对应应的的ε ε与与其他其他 x x 值所对应的值所对应的ε ε不相关不相关n n对对于于一一个个特特定定的的 x x 值值，，它它所所对对应应的的 y y 值值与与其其他他 x x 所所对应的对应的 y y 值也不相关值也不相关11 - 35回归方程回归方程 (regression equation)1.描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程回归方程2.一元线性回归方程的形式如下3. E( y ) =  0+  1 x§方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程§ 0 0是是回回归归直直线线在在 y y 轴轴上上的的截截距距，，是是当当 x x=0 =0 时时 y y 的的期期望值望值§ 1 1是是直直线线的的斜斜率率，，称称为为回回归归系系数数，，表表示示当当 x x 每每变变动动一个单位时，一个单位时，y y 的平均变动值的平均变动值11 - 36估计的回归方程估计的回归方程(estimated regression equation)3.一元线性回归中估计的回归方程为一元线性回归中估计的回归方程为2.用用样样本本统统计计量量 和和 代代替替回回归归方方程程中中的的未未知知参参数数 和和 ，就得到了，就得到了估计的回归方程估计的回归方程估计的回归方程估计的回归方程1.总总体体回回归归参参数数 和和 是是未未知知的的，，必必需需利利用用样样本本数数据去估计据去估计其其中中：： 是是估估计计的的回回归归直直线线在在 y y 轴轴上上的的截截距距，， 是是直直线线的的斜斜率率，，它它表表示示对对于于一一个个给给定定的的 x x 的的值值，， 是是 y y 的的估估计计值，也表示值，也表示 x x 每变动一个单位时，每变动一个单位时， y y 的平均变动值的平均变动值 11 - 37参数的最小二乘估计参数的最小二乘估计11 - 38最小二乘估计最小二乘估计1.使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 和 的方法。

即2.用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小11 - 39最小二乘估计最小二乘估计(图示图示) x xy y( (x xn n , , y yn n) )( (x x1 1 , , y y1 1) )( (x x2 2 , , y y2 2) )( (x xi i , , y yi i) )｝e ei i = = y yi i- -y yi i＾＾11 - 40最小二乘法最小二乘法 ( 和和 的计算公式的计算公式) 根据最小二乘法的要求，可得求解 和 的公式如下11 - 41估计方程的求法估计方程的求法(例题分析例题分析)【例】【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程回归方程为：回归方程为：y = -0.8295 + 0.037895 x回回归归系系数数 =0.037895 =0.037895 表表示示，，贷贷款款余余额额每每增增加加1 1亿元，不良贷款平均增加亿元，不良贷款平均增加0.0378950.037895亿元亿元 11 - 42估计方程的求法估计方程的求法(例题分析例题分析)不良贷款对贷款余额回归方程的图示11 - 43用用Excel进行回归分析进行回归分析第第第第1 1步：步：步：步：选择选择“ “工具工具工具工具” ”下拉菜单下拉菜单第第第第2 2步：步：步：步：选择选择“ “数据分析数据分析数据分析数据分析” ”选项选项第第第第3 3步步步步：：：：在在分分析析工工具具中中选选择择“ “回回回回归归归归” ”，，然然后后选选择择“ “确确确确定定定定” ”第第第第4 4步：步：步：步：当对话框出现时当对话框出现时 在在“ “Y Y值输入区域值输入区域值输入区域值输入区域” ”方框内键入方框内键入Y Y的数据区域的数据区域 在在“ “X X值输入区域值输入区域值输入区域值输入区域” ”方框内键入方框内键入X X的数据区域的数据区域 在在“ “置信度置信度置信度置信度” ”选项中给出所需的数值选项中给出所需的数值 在在“ “输出选项输出选项输出选项输出选项” ”中选择输出区域中选择输出区域 在在“ “残差残差残差残差” ”分析选项中选择所需的选项分析选项中选择所需的选项用用用用ExcelExcel进行回归分析进行回归分析进行回归分析进行回归分析11 - 44回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度11 - 45变差变差1.因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。

变差来源于两个方面n n由于自变量由于自变量 x x 的取值不同造成的的取值不同造成的n n除除 x x 以以外外的的其其他他因因素素( (如如x x对对y y的的非非线线性性影影响响、、测量误差等测量误差等) )的影响的影响2.对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示11 - 46变差的分解变差的分解(图示图示) x xy yy y{ {} }} }11 - 47离差平方和的分解离差平方和的分解 (三个平方和的关系三个平方和的关系) SST = SSR + SSE总平方和总平方和总平方和总平方和( (SSTSST) ){回归平方和回归平方和回归平方和回归平方和( (SSRSSR) )残差平方和残差平方和残差平方和残差平方和( (SSESSE) ){{11 - 48离差平方和的分解离差平方和的分解 (三个平方和的意义三个平方和的意义)1.总平方和总平方和(SST)n n反映因变量的反映因变量的 n n 个观察值与其均值的总离差个观察值与其均值的总离差2.回归平方和回归平方和(SSR)n n反反映映自自变变量量 x x 的的变变化化对对因因变变量量 y y 取取值值变变化化的的影影响响，，或或者者说说，，是是由由于于 x x 与与 y y 之之间间的的线线性性关关系系引引起的起的 y y 的取值变化，也称为可解释的平方和的取值变化，也称为可解释的平方和3.残差平方和残差平方和(SSE)n n反反映映除除 x x 以以外外的的其其他他因因素素对对 y y 取取值值的的影影响响，，也也称为不可解释的平方和或剩余平方和称为不可解释的平方和或剩余平方和11 - 49判定系数判定系数r2 (coefficient of determination)1.回归平方和占总离差平方和的比例2.反映回归直线的拟合程度3.取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间4. R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差5.判定系数等于相关系数的平方，即R2＝(r)211 - 50判定系数判定系数r2 (例例题分析分析)【【【【例例例例】】】】计计算算不不良良贷贷款款对对贷贷款款余余额额回回归归的的判判定定系系数数，，并并解解释其意义释其意义 判判判判定定定定系系系系数数数数的的的的实实实实际际际际意意意意义义义义是是是是：：：：在在不不良良贷贷款款取取值值的的变变差差中中，，有有71.16%71.16%可可以以由由不不良良贷贷款款与与贷贷款款余余额额之之间间的的线线性性关关系系来来解解释释，，或或者者说说，，在在不不良良贷贷款款取取值值的的变变动动中中，，有有71.16%71.16%是是由由贷贷款款余余额额所所决决定定的的。

也也就就是是说说，，不不良良贷贷款款取取值值的的差差异异有有2/32/3以以上上是是由由贷贷款款余余额额决决定定的的可可见见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系 11 - 51估计标准误差估计标准误差(standard error of estimate)1.实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根2.反映实际观察值在回归直线周围的分散状况反映实际观察值在回归直线周围的分散状况3.对对误误差差项项 的的标标准准差差 的的估估计计，，是是在在排排除除了了x x对对y y的的线性影响后，线性影响后，y y随机波动大小的一个估计量随机波动大小的一个估计量4.反反映用估计的回归方程预测映用估计的回归方程预测y y时预测误差的大小时预测误差的大小 5.计算公式为计算公式为注：例题的计算结果为注：例题的计算结果为1.97991.97991.97991.979911 - 52显著性检验显著性检验11 - 53线性关系的检验线性关系的检验1.检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著2.将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著§回回归归均均方方：：回回归归平平方方和和SSRSSR除除以以相相应应的的自自由由度度( (自自变变量的个数量的个数p p) ) §残残差差均均方方：：残残差差平平方方和和SSESSE除除以以相相应应的的自自由由度度( (n n- -p p-1)-1)11 - 54线性关系的检验线性关系的检验 (检验的步骤检验的步骤) 1.提出假设n nH H0 0：： 1 1=0 =0 线性关系不显著线性关系不显著2. 计算检验统计量F3.确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 4.作出决策：若F>F ,拒绝H0；若FF ,拒绝H0，线性关系显著11 - 56线性关系的检验线性关系的检验 (方差分析表方差分析表) Excel 输出的方差分析表输出的方差分析表11 - 57回归系数的检验回归系数的检验3.在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验1.检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著2.理论基础是回归系数 的抽样分布11 - 58回归系数的检验回归系数的检验(样本统计量样本统计量 的分布的分布)1. 1.1. 是是是根根根据据据最最最小小小二二二乘乘乘法法法求求求出出出的的的样样样本本本统统统计计计量量量，，，它它它有有有自自自己己己的分布的分布的分布2. 2.2. 的的的分布具有如下性质分布具有如下性质分布具有如下性质§ § §分布形式：正态分布分布形式：正态分布分布形式：正态分布§ § §数学期望：数学期望：数学期望：§ § §标准差：标准差：标准差：§ § §由由由于于于  未未未知知知，，，需需需用用用其其其估估估计计计量量量s s sy yy来来来代代代替替替得得得到到到 的的的估估估计计计的的的标标标准差准差准差11 - 59回归系数的检验回归系数的检验 (检验步骤检验步骤) 1.提出假设提出假设n nH H0 0: :  1 1 = 0 (= 0 (没有线性关系没有线性关系) ) n nH H1 1: :  1 1   0 (0 (有线性关系有线性关系) ) 2.计算检验的统计量计算检验的统计量3. 确定显著性水平确定显著性水平 ，并进行决策，并进行决策§  t t > >t t，，拒绝拒绝H H0 0；；  t t < =7.533515>t t=2.201=2.201，，拒拒绝绝H H0 0，，表表明明不不良良贷贷款款与贷款余额之间有线性关系与贷款余额之间有线性关系11 - 61回归系数的检验回归系数的检验 (例题分析例题分析)P 值的应用值的应用P P=0.000000<=0.000000< =0.05=0.05，拒绝原假设，，拒绝原假设，不良贷款与贷不良贷款与贷款余额之间有线性关系款余额之间有线性关系11 - 62Excel输出的部分回归结果输出的部分回归结果11 - 6311.3 利用回归方程进行利用回归方程进行 估计和预测估计和预测一一.点估计点估计二二.区间估计区间估计11 - 64利用回归方程进行估计和预测利用回归方程进行估计和预测1.根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y的取值2.估计或预测的类型n n点估计点估计l ly y 的平均值的点估计的平均值的点估计l ly y 的个别值的点估计的个别值的点估计n n区间估计区间估计l ly y 的平均值的的平均值的置信区间置信区间置信区间置信区间估计估计l ly y 的个别值的的个别值的预测区间预测区间预测区间预测区间估计估计11 - 65点估计点估计11 - 66点估计点估计2. 点估计值有n ny y 的的平均值平均值平均值平均值的点估计的点估计n ny y 的的个别值个别值个别值个别值的点估计的点估计3.在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同1.对于自变量 x 的一个给定值x0 ，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计值11 - 67 y 的平均值的点估计的平均值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的一个估计值E(y0) ，就是平均值的点估计n n在在前前面面的的例例子子中中，，假假如如我我们们要要估估计计贷贷款款余余额额为为100100亿亿元元时时，，所所有有分分行行不不良良贷贷款款的的平平均均值值，，就就是是平平均均值值的的点点估估计计 。

根根据据估估计计的的回归方程得回归方程得11 - 68y 的个别值的点估计的个别值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计值 ，就是个别值的点估计n n比比如如，，如如果果我我们们只只是是想想知知道道贷贷款款余余额额为为72.872.8亿亿元元的的那那个个分分行行( (这这里里是是编编号号为为1010的的那那个个分分行行) )的的不不良良贷贷款款是是多多少少，，则则属属于于个个别别值值的点估计的点估计 根据估计的回归方程得根据估计的回归方程得11 - 69区间估计区间估计11 - 70区间估计区间估计1.点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计2.对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计区间3.区间估计有两种类型n n置信区间估计置信区间估计( (confidence interval estimateconfidence interval estimate) )n n预测区间估计预测区间估计(prediction(prediction interval estimate interval estimate) )11 - 71置信区间估计置信区间估计1.利用利用估计的回归方程，对于自变量估计的回归方程，对于自变量 x x 的一个给定的一个给定值值 x x0 0 ，，求出因变量求出因变量 y y 的的平均值的估计区间平均值的估计区间 ，这，这一估计区间称为一估计区间称为置信区间置信区间置信区间置信区间( (confidence intervalconfidence interval) )2. E E( (y y0 0) ) 在在1-1- 置信置信水平下的置信区间为水平下的置信区间为式中：式中：s sy y为估计标准误差为估计标准误差11 - 72置信区间估计置信区间估计(例题分析例题分析) 【例】【例】【例】【例】求出贷款余额为求出贷款余额为100100亿元时，不良贷款亿元时，不良贷款95%95% 的置信区间的置信区间 解：解：根据前面的计算结果，已知根据前面的计算结果，已知n n=25=25，， s sy y= =1.97991.9799，，t t(25-2)=2.0687(25-2)=2.0687 置信区间为置信区间为当当贷贷款款余余额额为为100100亿亿元元时时，，不不良良贷贷款款的的平平均均值值在在2.14222.1422亿元到亿元到3.77783.7778亿元之间亿元之间 11 - 73预测区间估计预测区间估计1.利用估计利用估计的回归方程，对于自变量的回归方程，对于自变量 x x 的一个给的一个给定值定值 x x0 0 ，，求出因变量求出因变量 y y 的的一个个别值的估计区一个个别值的估计区间，这一区间称为间，这一区间称为预测区间预测区间预测区间预测区间(prediction(prediction intervalinterval) ) 2. y y0 0在在1-1- 置信水平下的预测区间为置信水平下的预测区间为注意！注意！11 - 74预测区间估计预测区间估计(例题分析例题分析)【例】【例】【例】【例】求出贷款余额为求出贷款余额为100100亿元时，不良贷款亿元时，不良贷款 95% 95% 的置信区间的置信区间 解：解：根据前面的计算结果，已知根据前面的计算结果，已知n n=25=25，， s sy y= =1.97991.9799，，t t(25-2)=2.0687(25-2)=2.0687 置信区间为置信区间为贷贷款款余余额额为为72.872.8亿亿元元的的那那个个分分行行，，其其不不良良贷贷款款的预测区间在的预测区间在-2.2467-2.2467亿元到亿元到6.10676.1067亿元之间亿元之间 11 - 75影响区间宽度的因素影响区间宽度的因素1.置信水平 (1 - )n n区间区间宽度随置信水平的增大而增大宽度随置信水平的增大而增大2.数据的离散程度 (s)n n区间宽度随离散程度的增大而增大区间宽度随离散程度的增大而增大3. 样本容量n n区间宽度随样本容量的增大而减小区间宽度随样本容量的增大而减小4. 用于预测的 xp与x的差异程度n n区间宽度随区间宽度随 x xp p与与 x x 的差异程度的增大而增大的差异程度的增大而增大11 - 76置信区间置信区间、、、、预测区间预测区间、、、、回归方程回归方程xp pyx   x预测上限置信上限预测下限置信下限11 - 7711.4 残差分析残差分析一一.用用残差证实模型的假定残差证实模型的假定二二.用残差检测异常值和有影响的观测值用残差检测异常值和有影响的观测值11 - 78残差残差(residual)1.因变量的观测值与根据估计的回归方程求出的预测值之差，用e表示2.反映了用估计的回归方程去预测而引起的误差 3.确定有关误差项的假定是否成立 4.检测有影响的观测值11 - 79用残差证实模型的假定用残差证实模型的假定11 - 80残差图残差图(residual plot)1.表示残差的图形n n关于关于x x的残差图的残差图n n关于关于y y的残差图的残差图n n标准化残差图标准化残差图2.用于判断误差的假定是否成立 3.检测有影响的观测值11 - 81残差图残差图(形态及判别形态及判别)11 - 82残差图残差图(例题分析例题分析)11 - 83标准化残差标准化残差(standardized residual) 残差除以它的标准差后得到的数值。

计算公式为n n e ei i是第是第i i个残差的标准差，其计算公式为个残差的标准差，其计算公式为 11 - 84标准化残差图标准化残差图 用以直观地判断误差项服从正态分布这一假定是否成立 n n若若假假定定成成立立，，标标准准化化残残差差的的分分布布也也应应服服从从正态分布正态分布n n在在标标准准化化残残差差图图中中，，大大约约有有95%95%的的标标准准化化残差在残差在-2-2到到+2+2之间之间 11 - 85标准化残差图标准化残差图(例题分析例题分析)11 - 86用残差检测异常值和用残差检测异常值和有影响的观测值有影响的观测值11 - 87异常值异常值(outlier)1.如如果果某某一一个个点点与与其其他他点点所所呈呈现现的的趋趋势势不不相相吻吻合合，，这个点就有可能是异常点，或称为野点这个点就有可能是异常点，或称为野点n n如如果果异异常常值值是是一一个个错错误误的的数数据据，，比比如如记记录录错错误误造造成的，应该修正该数据，以便改善回归的效果成的，应该修正该数据，以便改善回归的效果n n如如果果是是由由于于模模型型的的假假定定不不合合理理，，使使得得标标准准化化残残差差偏偏大大，，应应该该考考虑虑采采用用其其他他形形式式的的模模型型，，比比如如非非线线性模型性模型n n如如果果完完全全是是由由于于随随机机因因素素而而造造成成的的异异常常值值，，则则应应该保留该数据该保留该数据2.在在处处理理异异常常值值时时，，若若一一个个异异常常值值是是一一个个有有效效的的观测值，不应轻易地将其从数据集中予以剔出观测值，不应轻易地将其从数据集中予以剔出 11 - 88异常值异常值(识别)1.异常值也可以通过标准化残差来识别2.如果某一个观测值所对应的标准化残差较大，就可以识别为异常值3.一般情况下，当一个观测值所对应的标准化残差小于-2或大于+2时，就可以将其视为异常值11 - 89有影响的观测值有影响的观测值1.如果某一个或某一些观测值对回归的结果有强烈的影响，那么该观测值或这些观测值就是有影响的观测值 2.一个有影响的观测值可能是n n一一个个异异常常值值，，即即有有一一个个的的值值远远远远偏偏离离了了散散点图中的趋势线点图中的趋势线n n对应一个远离自变量平均值的观测值对应一个远离自变量平均值的观测值n n或者是这二者组合而形成的观测值，或者是这二者组合而形成的观测值， 11 - 90有影响的观测值有影响的观测值(图示图示)不存在影响值的趋势不存在影响值的趋势存在影响值的趋势11 - 91杠杆率点杠杆率点(ieverage point)1.1.如如果果自自变变量量存存在在一一个个极极端端值值，，该该观观测测值值则则称称为为高高杠杆率点杠杆率点( (high high ieverageieverage point point) )2.2.在在一一元元回回归归中中，，第第i i个个观观测测值值的的杠杠杆杆率率用用h hi i表表示示，，其计算公式为其计算公式为 3.3.如如果果一一个个观观测测值值的的杠杠杆杆率率 就就可可以以将将该该观观测值识别为有高杠杆率的点测值识别为有高杠杆率的点 4.4.一一个个有有高高杠杠杆杆率率的的观观测测值值未未必必是是一一个个有有影影响响的的观观测值，它可能对回归直线的斜率没有什么影响测值，它可能对回归直线的斜率没有什么影响 11 - 92高杠杆率点高杠杆率点 (图示图示)高杠杆率点11 - 93本章小结本章小结1.变量间关系的度量变量间关系的度量2.回归模型、回归方程与估计的回归方程回归模型、回归方程与估计的回归方程3.回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度4.回归分析中的显著性检验回归分析中的显著性检验5.估计和预测估计和预测6.用用Excel 进行回归分析进行回归分析结结 束束。