2025年春沪科版七年级数学下册第8章 整式乘法与因式分解+小结与复习.pptx

优翼,优翼,第8章 整式乘法与因式分解,小结与复习,一、幂的乘法运算,1.,同底数幂的乘法：底数,_,，指数,_.,a,m,a,n,=,_.,a,m+n,不变,相加,2.,幂的乘方：底数,_,，指数,_.,不变,相乘,a,m,(,),n,=,_,.,a,mn,3.,积的乘方：积的每一个因式分别,_,，再把所得,的幂,_.,乘方,相乘,ab,n,(,),=,_.,a,n,b,n,(1),将,_,相乘作为积的系数；,1.,单项式乘单项式：,单项式的系数,(2),相同字母的因式，利用,_,的乘法，作为,积的一个因式；,同底数幂,(3),单独出现的字母，连同它的,_,，作为积的,一个因式,.,指数,注：单项式乘单项式，积为,_.,单项式,二、整式的乘法,(1),单项式分别,_,多项式的每一项；,(2),将所得的积,_.,注：,单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数,_.,乘以,相加,相同,3.,多项式乘多项式：,先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的,_,，再把所得的积,_.,每一项,相加,实质是转化为单项式乘单项式的运算,2.单项式乘多项式：,三、整式的除法,同底数幂相除，底数,_,，指数,_.,1.,同底数幂的除法：,a,m,a,n,=,_.,a,m,-,n,不变,相减,任何不等于,0,的数的,0,次幂都等于,_.,1,=a,m,a,m,=,_.,a,0,1,单项式相除，把,_,、,_,分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的,_,一起作为商的一个因式,.,系数,同底数的幂,指数,3.,多项式除以单项式：,多项式除以单项式，就是用多项式的,除以这个,，再把所得的商,.,单项式,每一项,相加,2.单项式除以单项式：,1.,平方差公式,两数,_,与这两数,_,的积，等于这两数的,_,.,和,差,平方差,(,a,+,b,)(,a,-,b,),=,_.,a,2,b,2,-,2.,完全平方公式,两个数的和（或差）的平方，等于它们的,_,，加上（或减去）它们的,_,的,2,倍,.,平方和,积,(,a,+,b,),2,=,_.,a,2,b,2,2,ab,+,+,四、乘法公式,把一个多项式化为几个,_,的,_,的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式,.,1.,因式分解的定义,整式,乘积,2.,因式分解的方法,(1),提公因式法,(2),公式法,平方差公式：,_.,完全平方公式：,_.,a,2,-,b,2,=(,a,+,b,)(,a,-,b,),a,2,2,ab+b,2,=(,a,b,),2,步骤：,1.,提公因式；,2.,套用公式；,3.,检查分解是否彻底,.,五、因式分解,考点一 幂的运算,例,1,下列计算正确的是,(),A,(,a,2,),3,a,5,B,2,a,a,2,C,(2,a,),2,4,a,D,a,a,3,a,4,D,例,2,计算：,(2,a,),3,(,b,3,),2,4,a,3,b,4,.,解析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除,.,解：原式,=,8,a,3,b,6,4,a,3,b,4,=,2,a,3,-,3,b,6,-,4,=2,b,2,.,幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法,.,这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础,.,其逆向运用可以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的,.,归纳总结,针对训练,1.,下列计算不正确的是（）,A.2,a,3,a,=2,a,2,B.(-,a,3,),2,=,a,6,C.,a,4,a,3,=,a,7,D.,a,2,a,4,=,a,8,2.,计算：,0.25,2023,(-4),2023,-,8,100,0.5,301,.,D,解：原式,=0.25(-4),2023,-,(2,3,),100,0.5,300,0.5,=-1,-,(20.5),300,0.5=-1,-,0.5=-1.5.,3.(1),已知,3,m,=6,，,9,n,=2,，求,3,m,+2,n,，,3,2,m,-4,n,的值,.,(2),比较大小：,4,20,与,15,10,.,(2),4,20,=,(,4,2,),10,=16,10,，,16,10,15,10,，,4,20,15,10,.,3,2,m,-4,n,=3,2,m,3,4,n,=(3,m,),2,(3,2,n,),2,=,(3,m,),2,(9,n,),2,=6,2,2,2,=9.,解：,(1),3,m,=6,，,9,n,=2,，,3,m,+2,n,=3,m,3,2,n,=3,m,(3,2,),n,=,3,m,9,n,=,6,2,=12,，,考点二 整式的运算,例,3,计算：,x,(,x,2,y,2,-,xy,),-,y,(,x,2,-,x,3,y,)3,x,2,y,，其中,x,=1,，,y,=3,.,解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则,.,解：原式,=,(,x,3,y,2,-,x,2,y,-,x,2,y,+,x,3,y,2,)3,x,2,y,=,(2,x,3,y,2,-,2,x,2,y,)3,x,2,y,当,x,=1,，,y,=3,时，,原式,=,单项式乘单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握其运算法则,.,整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要先算括号里的,.,归纳总结,针对训练,4.,一个长方形的面积是,a,2,-,2,ab,+,a,，宽为,a,，则长方形的长为,.,5.,已知多项式,2,x,3,-,4,x,2,-,1,除以一个多项式,A,，所得商为,2,x,，余式为,x,-,1,，则这个多项式是,.,a,-,2,b,+,1,6.,计算：,(1),(,2,xy,2,),2,3,x,2,y,(,x,3,y,4,),；,(2),x,(,x,2,3),x,2,(,x,3),3,x,(,x,2,x,1),；,(3),(,2,a,2,)(3,ab,2,5,ab,3,),8,a,3,b,2,；,(4),(2,x,5,y,)(3,x,2,y,),2,x,(,x,3,y,),；,(5),x,(,x,2,y,2,xy,),y,(,x,2,x,3,y,),x,2,y,.,解：（,1,）原式,12,x,7,y,9,.,（,2,）原式,x,3,6,x,.,（,3,）原式,2,a,3,b,2,10,a,3,b,3,.,（,4,）原式,4,x,2,17,xy,10,y,2,.,（,5,）原式,2,xy,2,.,考点三 乘法公式的运用,例,4,先化简再求值：,(,x,y,),2,+(,x,+,y,)(,x,y,)2,x,，,其中,x,=3,，,y,=1.5.,解析：运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算,.,原式,=3,1.5=1.5.,解：原式,=(,x,2,2,xy,+,y,2,+,x,2,y,2,),2,x,=(2,x,2,2,xy,)2,x,=,x,y,.,当,x,=3,，,y,=1.5,时，,归纳总结,整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度,.,7,下列计算中，正确的是,(),A,(,a,b,),2,a,2,2,ab,b,2,B,(,a,b,),2,a,2,b,2,C,(,a,b,)(,a,b,),b,2,a,2,D,(,a,b,)(,a,b,),a,2,b,2,8,已知,(,x,m,),2,x,2,nx,36,，则,n,的值为,(),A,6 B,12 C,18 D,72,9,若,a,b,5,，,ab,3,，则,2,a,2,2,b,2,_,针对训练,C,B,38,(1)(,x,2,y,)(,x,2,4,y,2,)(,x,2,y,),；,(2)(,a,b,3)(,a,b,3),；,(3)(3,x,2,y,),2,(3,x,2,y,),2,.,解：,(1),原式,(,x,2,y,),(,x,2,y,),(,x,2,4,y,2,),(2),原式,a,(,b,3)(,a,(,b,3),(,x,2,4,y,2,),2,=x,4,8,x,2,y,2,16,y,4,.,a,2,(,b,3),2,a,2,b,2,6,b,9,.,(3),原式,(3,x,2,y,)(3,x,2,y,),2,(9,x,2,4,y,2,),2,81,x,4,72,x,2,y,2,16,y,4,.,10.计算：,(1)200,2,400199,199,2,；,(2)9991001.,解：,(1),原式,(200,199),2,1.,(2),原式,(1000,1)(1000,1),999999.,1000,2,1,11.用简便方法计算,考点四 因式分解及其应用,例,5,下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是,(),A,a,(,x,y,),ax,ay,B,x,2,1,(,x,1)(,x,1),C,(,x,1)(,x,3),x,2,4,x,3,D,x,2,2,x,1,x,(,x,2),1,B,点拨：,(1),多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；,(2),判断过程从左到右,要,保持恒等变形,.,例,6,把多项式,2,x,2,8,分解因式，结果正确的是,(),A2(,x,2,8),B2(,x,2),2,C2(,x,2)(,x,2),D2,x,(,x,),C,因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止,.,归纳总结,针对训练,12.,分解因式：,x,2,y,2,2,xy,1,的结果是,_.,13.,已知,x,2,y,5,，,xy,2,，则,2,x,2,y,4,xy,2,_.,14.,已知,a,b,3,，则,a,(,a,2,b,),b,2,的值为,_.,15.,已知,x,2,2(,m,3),x,9,是一个完全平方式，则,m,_.,(,xy,1),2,20,9,6,或,0,16.,如图所示，在边长为,a,的正方形中剪去边长为,b,的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可验证公式,.,b,a,a,a,a,b,b,b,b,b,a,-,b,a,2,-,b,2,=(,a,+,b,)(,a,-,b,),(1)2,m,(,a,b,),3,n,(,b,a,),；,(2)16,x,2,64,；,(3),4,a,2,24,a,36.,解：,(1),原式,(,a,b,)(2,m,3,n,).,(2),原式,16(,x,2)(,x,2).,(3),原式,4(,a,3),2,.,17把下列各式因式分解：,幂的运算性质,整式的乘法,整式的除法,乘法公式,（平方差、完全平方公式）,特殊,形式,相反变形,因式分解,（提公因式、公式法）,相反变形,互逆运算,。