广东省中山市桂山中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析.docx

广东省中山市桂山中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若不等式x2－2ax+a>0，对 x∈R恒成立, 则关于t的不等式<1的解为（    ）                                                               A．1

详解】因为是方程的两根，所以.所以故选：B【点睛】本题主要考查了韦达定理的应用，还考查了等差数列前项和公式及等差数列的性质，考查转化能力及计算能力，属于中档题10. 若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为(    )A．0             B．5          C．-3               D．-2参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，，若△ABC是正三角形，则直线A1D和平面ABC所成的角的大小是__________.参考答案：30°.【分析】首先找出线面角，然后结合空间几何体的结构特征可得线面角的大小.【详解】如图所示，连结AD，由题意可知即为直线和平面所成的角.不妨设，则，，即直线和平面所成的角的大小是.【点睛】本题主要考查线面角的求解，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为      .参考答案：600  13. 设全集是实数集，，，则图中阴影部分所表示的集合是。

    参考答案：14. 已知随机变量服从二项分布，则__________．参考答案：【分析】直接利用二项分布公式得到答案.【详解】随机变量服从二项分布，则故答案为： 15.将一边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，当x等于__________时，方盒的容积最大．【答案】【解析】【分析】先求出方盒容积的表达式，再利用导数根据单调性求最大值.【详解】方盒的容积为： 当时函数递减，当时函数递增故答案为【点睛】本题考查了函数的最大值的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.15. 设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，     ，     ，成等比数列．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    .s.5.u.c.o.m    参考答案：．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    16. 设是奇函数，则实数a=__ ▲___参考答案：-117. 已知，则的最小值为__________．参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知等差数列和等比数列，且，，，，，试比较与，与的大小，并猜想与（，）的大小关系，并证明你的结论．参考答案：解析：设，的公差为，的公比为．．因为，，，，．，．又，．猜想．下面用数学归纳法证明此猜想：（1）       当时，已证，猜想正确．（2）假设当（，）时猜想正确，即．则当时，由，知：，又，，而，，．即当时，猜想也成立．由（1）和（2）可知，对，，均有成立．19. （10分）已知，，且与夹角为，求（1）； （2）与的夹角参考答案：(2)60°。

20. 已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6ax+2b∵在x=1处的极值为﹣1，∴，∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1当f′（x）≥0时，或x≥1，∴增区间为当f′（x）≤0时，，∴减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，f（x）取极大值为，当x=1时，f（x）取极大值为﹣1∴当时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．21. （本小题满分12分）已知函数f(x)=sin(2x-)+2，求：(Ⅰ)函数f(x)的最小正周期和最大值；(Ⅱ)函数f(x)的单调递增区间参考答案：解：（Ⅰ）最小正周期　　　…………………3分当时，　………………………………………6分（Ⅱ）由,………………………………………9分得,  　       ……………………………11分∴　的单调递增区间为（）　………………………12分（递增区间写为开区间或半开半闭区间不扣分，未写扣1分）略22. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求B点到平面PCD的距离．（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角．【分析】（1）先证明直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直，可得PO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，确定平面POC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求出平面PDC的法向量，利用距离公式，可求B点到平面PCD的距离．（3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1），求出平面CAQ的法向量、平面CAD的法向量=（0，0，1），根据二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，利用向量的夹角公式，即可求得结论．【解答】解：（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD；所以以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．则P（0，0，1），A（0，﹣1，0），B（1，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0）；所以，易证：OA⊥平面POC，所以，平面POC的法向量，所以PB与平面POC所成角的余弦值为        …．（2），设平面PDC的法向量为，则，取z=1得B点到平面PCD的距离…．（3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1）因为=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．设平面CAQ的法向量为=（a，b，c），则，所以取=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），平面CAD的法向量=（0，0，1），因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，所以=，所以3λ2﹣10λ+3=0．所以λ=或λ=3（舍去），所以=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣　。