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评讲作业7/19/20241微积分--渐近线、作图　上　课 关了吗？关了吗？7/19/20242微积分--渐近线、作图7/19/20243微积分--渐近线、作图沿曲线无限远离原点时，无限接近某直线，则称此沿曲线无限远离原点时，无限接近某直线，则称此直线为曲线直线为曲线y＝＝f (x)的渐近线的渐近线 二、曲线的渐近线二、曲线的渐近线若若 或或 则直线则直线y＝＝c为曲线为曲线y＝＝f (x)的水平渐近线的水平渐近线. 若若 (或或-∞), 或或 (或或-∞), 则直线则直线x＝＝x0为曲线为曲线y＝＝f (x)的垂直渐近线．的垂直渐近线． ——若曲线若曲线y＝＝f (x)上一动点上一动点1. 水平渐近线水平渐近线:2. 垂直渐近线垂直渐近线:x0?例例1. (1)曲线曲线 故故y＝＝0，，x＝＝1分别为水平、垂直渐近线．分别为水平、垂直渐近线． (2)曲线曲线 故故y＝＝0为水平渐近线．为水平渐近线．(3)3. 斜渐近线斜渐近线:若若 或或 (a,b为常数且为常数且a≠0), 则直线则直线y＝＝ax＋＋b为曲线为曲线y＝＝f (x)的的斜渐近线．斜渐近线． 对对x→－－∞有同样结果。

有同样结果设曲线设曲线y＝＝f (x)在在x→+∞有斜渐近线有斜渐近线y＝＝ax＋＋b，则，则如何确定曲线有无斜渐近线？如何求如何确定曲线有无斜渐近线？如何求a、、b？？求斜渐近线求斜渐近线:都存在时，曲线都存在时，曲线y＝＝f (x)有斜渐近线有斜渐近线y＝＝ax＋＋b．． 特别地特别地: a＝＝0时时, 成为水平渐近线成为水平渐近线y＝＝b, 无真正的斜渐近线无真正的斜渐近线.当两个极限有一个不存在时，当两个极限有一个不存在时，曲线曲线y＝＝f (x)无斜渐近线．无斜渐近线．例例2　求曲线　求曲线 的渐近线．的渐近线．解　定义域解　定义域x > 0，，x≠1曲线有水平渐近线曲线有水平渐近线y＝＝0．．曲线有垂直渐近线曲线有垂直渐近线x＝＝0．． 曲线无曲线无 斜渐近线斜渐近线=0=1=+∞=0注注: 当当x→+∞(或或-∞)曲线有水平渐近线时，曲线有水平渐近线时，x→+∞(或或-∞)曲线必无斜渐近线曲线必无斜渐近线.例例3　求曲线　求曲线 的渐近线．的渐近线．解解　显然，曲线无水平、垂直渐近线．　显然，曲线无水平、垂直渐近线．( 要分要分+∞、、 －－∞ ! )故当故当x→+∞曲线有斜渐近线曲线有斜渐近线 当当x→－－∞曲线有斜渐近线曲线有斜渐近线 7/19/20249微积分--渐近线、作图•例例4 4：求下列函数曲线的渐近线：求下列函数曲线的渐近线应用举例7/19/202410微积分--渐近线、作图7/19/202411微积分--渐近线、作图练习：求下列函数的渐近线.7/19/202412微积分--渐近线、作图作函数作函数y＝＝f (x)的的图形的基本步形的基本步骤：：4.6 函数作图函数作图(1) 确定函数确定函数f (x)的定义域，讨论其奇偶性与周的定义域，讨论其奇偶性与周期性；期性；(2) 求驻点和不可导点，列表讨论单调区间和极求驻点和不可导点，列表讨论单调区间和极值、凹凸区间和拐点；值、凹凸区间和拐点；(3) 求曲线求曲线y＝＝f (x)的渐近线；的渐近线；(4) 画图。

先画渐近线、极值、拐点，然后按表画图先画渐近线、极值、拐点，然后按表中增减性及凸性将这些点之间的曲线段依次描中增减性及凸性将这些点之间的曲线段依次描出，必要时另选辅助点，使得函数图象更精确出，必要时另选辅助点，使得函数图象更精确．．7/19/202413微积分--渐近线、作图例例1　作函数　作函数 的图形．的图形．解　解　(1)定义域定义域(－－∞,＋＋∞)；偶函数，图形关于；偶函数，图形关于y轴轴对称．先研究对称．先研究x≥0时的图形时的图形 得得x0=1∩∪∪f ¢( ¢(x) )f ( (x) ) x 拐点拐点(1, 0.24)f ¢¢(¢¢(x) )0(0, 1)1(1,+∞)00－－－－－－＋＋↘ ↘↘ ↘极大极大值0.4 f ¢ ¢(0)＝＝0故曲线有水平渐近线故曲线有水平渐近线y＝＝0即即x轴．轴． (4)描点描点(0, 0.4)，，(1, 0.24)，据表中末行所述性质，据表中末行所述性质画画y轴右侧图形，再据对称性，画出轴右侧图形，再据对称性，画出y轴左侧图形轴左侧图形．．∩∪∪f ( (x) ) x 拐点拐点(1, 0.24)0(0, 1)1(1,+∞)↘ ↘↘ ↘极大极大值0.4 解解 (1)定义域定义域(－－∞,1)∪∪(1, +∞)；非奇非偶函数；非奇非偶函数.34令令y¢ ¢＝＝0得得x＝－＝－1；令；令y¢¢ ¢¢＝＝0得得x＝－＝－2.当当x＝＝1时，时，y¢ ¢、、y¢¢ ¢¢不存在不存在.(2)7/19/202416微积分--渐近线、作图1间间 断断－－2－－1－－－－－－－－＋＋＋＋＋＋＋＋(-∞,-2)(-2,-1)(-1, 1)(1,+∞)00∩↘ ↘∪∪↘ ↘∪∪↗↗∪∪↘ ↘xy¢ ¢y¢ ¢¢ ¢y7/19/202417微积分--渐近线、作图4) 作图1间间断断－－1－－2例例3——P139例例2辅助点辅助点(0,0), (0.5, 4), (2, 4)∩↘ ↘∪∪↘ ↘∪∪↗↗∪∪↘ ↘(-∞,-2)(-2,-1)(-1, 1)(1,+∞)xy∴∴曲线有水平渐近线曲线有水平渐近线y＝＝0．．∴∴曲线有垂直渐近线曲线有垂直渐近线x＝＝1．．作业：完成完成 P144 36(3)(4)37(3)(5)7/19/202419微积分--渐近线、作图7/19/202420微积分--渐近线、作图7/19/202421微积分--渐近线、作图7/19/202422微积分--渐近线、作图7/19/202423微积分--渐近线、作图　下　课7/19/202424微积分--渐近线、作图。