波利亚解题四步骤.doc

第一，弄清问题 未知数是什么？已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？ 画张图引入适当的符号 把条件的各个部分分开你能否把它们写下来？ 第二，拟定计划     找出已知数与求知数之间的联系如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题你应该最终得出一个求解的计划 你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？ 你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？ 看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗? 你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？ 你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？ 回到定义去 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？ 你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？ 第三，实现计划 实现你的求解计划，检验每一步骤。

 你能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？ 第四，回顾反思 你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？ 你能不能把这结果或方法用于其它的问题？  下面举个例子来说明波利亚《怎样解题》的应用 【高考例题】：已知函数f(x)＝cos2(x＋π12)，g(x)＝1＋12sin 2x. (1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值； (2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间． 第一步：弄清问题已知条件是什么？如本题中，     已知两个三角函数，可化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式．由已知推出：f(x)＝12[1＋cos(2x＋π6)]，h(x)＝12sin(2x＋π3)＋32. 第二步：制订计划建立条件与结论之间的联系如本题中， 因为x＝x0是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，所以2x0＋π6＝kπ(k∈Z)，即2x0＝kπ－π6(k∈Z)． 第3页共3页 所以g(x0)＝1＋12sin 2x0＝1＋12sin(kπ－π6)． 当k为偶数时，g(x0)＝1＋12sin(－π6)＝1－14＝34； 当k为奇数时，g(x0)＝1＋12sinπ6＝1＋14＝54.  第三步：实现计划。

如本题中，由sin x、cos x的单调性，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为解不等式问题．即： h(x)＝f(x)＋g(x)     ＝12[1＋cos(2x＋π6)]＋1＋12sin 2x     ＝12[cos(2x＋π6)＋sin 2x]＋32     ＝12(32cos 2x＋12sin 2x)＋32     ＝12sin(2x＋π3)＋32. 当2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)时，函数h(x)＝12sin(2x＋π3)＋32是增函数． 故函数h(x)的单调递增区间是[kπ－5π12，kπ＋π12](k∈Z).  第四步：反思回顾．检验反思，查看关键点、易错点及解题过程每一步是否合理、充分，书写是否规范．     如本题中，由x0求g(x0)时，由于x0中含有变量k，应对k的奇偶进行讨论。