062-浙江省杭州市2020-2021学年下学期高三年级教学质量检测（二模）数学试题+答案.pdf

2020 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学参考答案及评分标准 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B C B D D B B A 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 114；1 或1 120，4 13 3， 33 4 142， 54 125 15322 161 或 2 174 三、解答题： （本大题共 5 小题，共 74 分） ，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （本题满分 14 分） （）因为 31 cos21 ( )sin2sin 2 2226 x f xxx ， 因为 2 22 262 kxk， 解得 , 63 kxkkZ 所以 f (x)的单调递增区间 ( , ), 63 kkkZ 7 分 （） 1 ( )sin 2 63 f AA ，令 2 6 A，则0 2 ， 所以 1 sin 3 ， 2 2 cos 3 ， 则 5222 cos 2coscoscossinsin 6333 A 2 211332 2 32326 7 分 19 （本题满分 15 分） （）连接 CM 交 BD 于 F，连接 EN， 因为2 CEDM EMAM ， 所以2 CECN EMNP ， A B C D M N P （第 19 题） x y z F E 所以 EN/PM，又以为 EN平面 BDN，PM平面 BDN， 所以 PM/平面 BDN 7 分 （）取 BC 中点 F，易知 ADMF，ADPF， 所以 AD平面 PMF，所以 ADPM，建立如图所示的空间直角坐标系 Mxyz 则 A(1，0，0)，B(2，3，0)，C(2，3，0)，P(0，1，22)， 则 (1，1，22 )， (2，2，22 )， (4，0，0)， 设平面 PBC 法向量为 n(x，y，z)， 则 0 0 n BP n BC ，即 222 20 40 xyz x ， 取 n(0，2y，1)，设 PA 与平面 PBC 所成角的 ， 则 sin|cos| 15 5 ， 所以 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 15 5 8 分 20 （本题满分 15 分） （）由 an2n2，b2k1ak， 得 b2k12k2， 又因为 b2k1，b2k，b2k1成等差数列，得 b2k32k3， 即 2 22 2， 所以b2k是首项为3 4，公比为 2 的等比数列 8 分 （）因为2 213 23 2223 ， 所以 +2 (+1)2 2(+1) (+1)2 1 21 1 (+1)2 ，( 1)， 所以 1 20 1 221 + 1 221 1 322 + + 1 21 1 (+1)2 1 1 (+1)27 分 21 （本题满分 15 分） （）点 A 处切线 l 方程：y2x1x 2 1 x，与椭圆 C2方程 2 2 1 2 x y联立， 得 2234 111 (1 8)8220 xxx xx，因为 l 与椭圆 C2相交， 故方程判别式 624 111 644(1 8)(22)0 xxx ，求得 2 1 0417x， 则 AB 直线方程为： 2 1 1 11 22 yxx x ，与抛物线方程 yx2联立，可得 23 111 220 x xxxx，由韦达定理，可得 21 1 1 2 xx x ， 所以1 21 1 1 22 2 xxx x ，当且仅当 1 1 2 x 时， 12 xx 取得最小值 2 7 分 （）记点 O，B 到直线 l 的距离分别为 d1，d2 则 2 1 1 2 1 14 x d x ， 2 21 211 22 111 1 411 1|2|1 4() 244 x dxx xxx ， 所以 4 11 22 2 21 2 1 4|4 1 |(1 4) (4) dxDO DBdx x 因为 2 1 0417x，所以 2 1 1 417 x ， 故2 2 1 |44 (0,) 1 |17 (4) DO DB x 8 分 22 （本题满分 15 分） （）当 a1 时，设 2 ( )( )( )ln(1 2 x h xf xg xx x ）， 则 2 22 14 ( ) 1(2)(1)(2) x h x xxxx ， 当 x(0，)时，h(x)0，故 h(x)单调递增 所以0 x时，h(x)h(0)0，不等式 f (x)g(x)得证 7 分 （）由 P，Q 到 x 轴的距离相等，且 f (x)aln(x1)的单调知 P，Q 的纵坐标相反， 故设 (e1,) m a Pm ， (e1,) m a Qm ，不妨设 m0 则点 P 处切线方程为(e1) e m a m a a yxm， 则点 Q 处切线方程为(e1) e m a m a a yxm 联立两直线方程，可得 M 交点 0 2 1 ee mm aa m a x ， 0 2 e (e) ee mm aa mm aa m a yam 设0t a m ，则 00 22 e 1,(1) eeee t tttt tt xyat ， 要证 M 在第二象限，即证：x00，y00 要证 0 2 10 ee tt t x ，即证ee20 tt t ，设 ( )ee2 tt F tt ， 则 ( )ee20 tt F t ，故 F(t)在(0，)上单调递增， 当 t0 时，F(t)F(0)0，即证 x00 要证 0 2e (1)0 ee t tt t yat ，即证： 2e1 ee t tt t t ， 只要证 ee1 ee tt tt t ，即证： 2 2 e11 e1 t t t 设 2 e1 t n，则 2 ln n t ， 则 2 2 e11 e1 t t t 等价于 12 1ln n nn ，只需证 2(1) ln 1 n n n ， 且由（）知，x0 时， 2 2 1ln( x x x）， 则有 n1 时， 2(1) ln 1 n n n ，故 y00 得证 所以对任意 a0，点 M 在第二象限 8 分 。