专题09 解三角形（解析版）.pdf

专题 09解三角形 一、解三角形问题知识框架 二、解三角形题型分析 （一） 三角形中的求值问题（一） 三角形中的求值问题 1正、余弦定理的适用条件正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理 (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理 2求三角形面积的方法2求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边 之积，代入公式求面积 (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积总之，结合图 形恰当选择面积公式是解题的关键 3已知三角形面积求边、角的方法3已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解 (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解 4. 以平面几何为载体的解三角形问题以平面几何为载体的解三角形问题 解决以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现 多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过 三角形中的不等关系(如大边对大角，最大角一定大于等于 3)确定角或边的范围 1.例题 【例 1】设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a2，c2 3，cosA 3 2 ，且 bc，则 b() A 3B2C2 2D3 【答案】B 【解析】由余弦定理得：a2b2c22bccosA， 所以 22b2(2 3)22b2 3 3 2 ，即 b26b80，解得：b2 或 b4. 因为 bc，所以 b2. 【例 2】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1a ， 3sincos( 3sin)cos0ACCbA，则角A （） A 2 3 B 3 C 6 D 5 6 【答案】D 【解析】1a ，3sincos( 3sin)cos0ACCbA， 3sincos3sincoscosACCAbA ， 3sin()3sincosACBbA ， 3 sincosaBbA ， 由正弦定理可得： 3sinsinsincosABBA ， sin0B ， 3sincosAA ，即： 3 tan 3 A ， (0, )A， 5 6 A .故选：D 来源:学科网 【例 3】在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，4a ， 2 3b ，cos (2)coscBabC ， 则ABC的面积为_ 【答案】6 【解析】在ABC中，由正弦定理知2 sinsinsin abc R ABC ，又(2) coscosabCcB， 2sincossincoscossinACBCBC, 即2sincossinACA， 0A，sin0A； 1 cos 2 C，又0C， 3 C ， 113 sin42 36 222 ABC SabC 故答案为：6 【例 4】（2017全国高考真题（理）ABC 的内角、 、ABC的对边分别为abc、 、, 已知ABC 的面积 为 2 3sin a A (1)求sinsinBC; (2)若6coscos1,3,BCa求ABC 的周长. 【答案】(1) 2 sinsin 3 BC (2)3 33 . 【解析】（1）由题设得 2 1 sin 23sin a acB A ，即 1 sin 23sin a cB A . 由正弦定理得 1sin sin sin 23sin A CB A . 故 2 sin sin 3 BC . （2）由题设及（1）得 1 cos cossin sin, 2 BCBC ，即 1 cos 2 BC . 所以 2 3 BC ，故 3 A . 由题设得 2 1 sin 23sin a bcA A ，即8bc . 由余弦定理得 22 9bcbc ，即 2 39bcbc，得33bc. 故ABC的周长为3 33 . 【例 5】如图，在ABC 中，B 3，AB8，点 D 在 BC 边上，且 CD2，cosADC 1 7. (1)求 sinBAD； (2)求 BD，AC 的长. 【解析】(1)在ADC 中，因为 cosADC1 7，所以 sinADC 4 3 7 . 所以 sinBADsin(ADC-B)sinADCcosB-cosADCsinB4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14 . (2)在ABD 中，由正弦定理得 BDABsinBAD sinADB 83 3 14 4 3 7 3. 在ABC 中，由余弦定理得 AC2AB2+BC2-2ABBCcosB82+52-2851 249.所以 AC7. 2.巩固提升综合练习 【练习 1】 （2019全国高考真题）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinAbsinB=4csinC， cosA= 1 4 ，则 b c =（） A6B5C4D3 【答案】A 【解析】由已知及正弦定理可得 222 4abc ，由余弦定理推论可得 22222 141313 cos,46 4224242 bcacccb A bcbcbc ，故选 A 【练习 2】 （2018全国高考真题） ? 的内角 ?，?，? 的对边分别为 ?，?，?， 已知 ?sin ?sin ? ?sinsin，? ? ? ?，则? 的面积为_ 【答案】? ? ? . 【解析】因为 ?sin ?sin ? ?sinsin， 结合正弦定理可得 sinsin sinsin ? ?sin?sinsin， 可得 sin? ? ? ?，因为? ? ? ? ?， 结合余弦定理? ? ? ?，可得 ?cos? ? ?，所以 A 为锐角，且 cos? ? ? ? ， 从而求得 ? ? ? ? ? ，所以? 的面积为 ? ? ? ? ?sin? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，故答案是? ? ? . 【练习 3】 在ABC中，已知AB边上的中线1CM ，且 1 tan A ， 1 tanC ， 1 tan B 成等差数列，则AB的 长为_. 【答案】 2 3 3 【解析】因为 1 tan A， 1 tanC， 1 tan B成等差数列， 所以 211 tantantanCAB ，即 2coscoscossin()sin sinsinsinsinsinsinsin CABABC CABABAB ， 所以 2 sin 2cos sinsin C C AB ，由正弦定理可得 2 cos 2 c C ab ， 又由余弦定理可得 222 cos 2 abc C ab ，所以 2222 22 abcc abab ，故 222 2abc ， 来源:学_科_网 Z_X_X_K 又因为AB边上的中线1CM ，所以1CM ，因为 1 2 CMCACB ， 所以 22222 422cosCMCACBCA CBCACBCA CBC ， 即 2 222 423 2 c baabc ab ，解 2 3 3 c . 即AB的长为 2 3 3 .故答案为 2 3 3 【练习 4】在ABC 中，已知 AB 2，AC 5，tanBAC3，则 BC 边上的高等于() A1B 2C 3D2 【答案】A 【解析】：通解：通解：因为 tanBAC3，所以 sinBAC 3 10，cosBAC 1 10.由余弦定理，得 BC 2 AC2AB22ACABcosBAC522 5 2 10 1 -9， 所以 BC3， 所以 SABC1 2ABACsinBAC 1 2 2 5 3 10 3 2，所以 BC 边上的高 h 2SABC BC 23 2 3 1，故选 A 优解：优解：因为 tanBAC3，所以 cosBAC 1 100，则BAC 为钝角，因此 BC 边上的高小于 2，故 选 A 【练习 5】已知圆内接四边形 ABCD 的边长 AB2，BC6，CDDA4，求四边形 ABCD 的面积 S 【解析】：如图，连接 BD，则 SSABDSCBD1 2ABADsin A 1 2BCCDsin C AC180，sin Asin C，S1 2sin A(ABADBCCD)16sin A 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 在ABD 中，由余弦定理得 BD2AB2AD22ABADcos A2016cos A， 在CDB 中，由余弦定理得 BD2CD2BC22CDBCcos C5248cos C， 2016cos A5248cos C又 cos Ccos A，cos A1 2，A120，S16sin A8 3 【练习 6】 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 已知 ccos B(3ab)cos C (1)求 sin C 的值； (2)若 c2 6，ba2，求ABC 的面积 【解析】：(1)解法一：解法一：因为 ccos B(3ab)cos C， 所以由正弦定理得 sin Ccos B(3sin Asin B)cos C， 即 sin Ccos Bsin Bcos C3sin Acos C， 所以 sin(BC)3sin Acos C， 由于 ABC，所以 sin(BC)sin(A)sin A， 则 sin A3sin Acos C 因为 0A，所以 sin A0，cos C1 3. 因为 0C，所以 sin C 1cos2C2 2 3 . 解法二：解法二：因为 ccos B(3ab)cos C， 所以由余弦定理得 ca 2c2b2 2ac (3ab)a 2b2c2 2ab ， 化简得 a2b2c22 3ab， 所以 cos Ca 2b2c2 2ab 2 3ab 2ab 1 3. 因为 0C0)， CD100，BCD8040120， BD2BC2CD22BCCDcosBCD， 3x2x210022100 x(1 2)， 2x2100 x10 0000， x250 x5 0000， x100(负值舍去) 2.巩固提升综合练习 【练习 1】甲船在 A 处，乙船在甲船正南方向距甲船 20 海里的 B 处，乙船以每小时 10 海里的速度向正北 方向行驶，而甲船同时以每小时 8 海里的速度由 A 处向北偏西 60方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙 两船相距最近？ 【解析】设甲、乙两船经 t 小时后相距最近且分别到达 P、Q 两处，因乙船到达 A 处需 2小时 当 0t2 时，如图(1)， 在APQ 中，AP8t，AQ2010t， 所以 PQ AQ2AP22AQAPcos 120 2010t28t222010t8t 1 2 84t2240t4002 21t260t100； 当 t2 时，PQ8216； 当 t2 时，如图(2)， 在APQ 中，AP8t，AQ10t20， PQ AQ2AP22AQAPcos 60 2 21t260t100. 综合知，PQ2 21t260t100(t0) 当且仅当 t30 21 10 7 时，PQ 最小 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 答甲、乙两船行驶10 7 小时后，相距最近 【练习 2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75距塔 68 海里的 M 处， 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这艘船航行的速度为() A.17 6 2 海里/时B346海里/时 C.17 2 2 海里/时D342海里/时 答案A 解析由题意可知 PM68，MPN120， PNM45， 由正弦定理可得 MNPMsinMPN sinPNM 68 3 2 2 2 34 6， 这艘船航行的速度为34 6 4 17 6 2 (海里/时)， 故选 A. 【练习 3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C 三 地位于同一水平面上，在 C 处进行该仪器的垂直弹射，观。