点的合成运动习题解答080814.doc

第五章点的合成运动本章要点一、 绝对运动、相对运动和牵连运动一个动点，两个参照系：泄系，动系：三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动，包括三种速度：绝对速度、相对速度和牵连速度；三种加速度：绝对加速度、相对加速度和牵连加速度：牵连点：动参考系上瞬时与动点相重合的那一点称为动参考系上的牵连点二、 速度合成左理动点的绝对速度，等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即Va =Vc+Vr解题要领1泄系一般总是取地而，相对立系运动的物体为动系，动点不能在动系上.2牵连速度是牵连点的速度.3速度合成定理中的三个速度向量，涉及大小方向共六个因素，能且只能存在两个未知数方能 求解，因此，至少有一个速度向量的大小方向皆为已知的.4作速度平行四边形时，注意作图次序：一泄要先画大小方向皆为已知的速度向量，然后再根 据已知条件画上其余两个速度向呈:，特别注意，绝对速度处于平行四边形的对角线位宜.5用解三角形的方法解速度合成图.三、加速度合成立理1牵连运动为平移时的加速度合成沱理■当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即当点作曲线运动时，英加速度等于切向加速度和法向加速度的矢疑和，因此上式还可进一步写 成其中，'將y几匚"蚊d宙 PQ些，里，pfpt®依次为绝d/ A对轨迹、牵连轨迹和相对轨迹的曲率半径。

解题要领1牵连运动为平移时的加速度合成泄理只对“牵连运动为平移时”成立，因此，判立牵连运动 是否为平移至关重要.2牵连运动为平移时的加速度合成定理涉及的三个加速度，每一加速度都可能有切向和法向加 速度但是，法向加速度只与速度有关，因此，可以通过速度分析予以求解，从而在此处是作 为已知的剩下的三个切向加速度的大小方向共有六个因素，能且只能有2个未知量时方可求 解3因加速度合成泄理涉及的矢量较多，一般不用几何作图的方法求解，而是列投影式计算，千 万不能写成“平衡方程”的形式4在加速度分析中，因动点和动系的选择不当而出现了一种似是而非的分析过程教材中例 5.3.5的一个典型错误解法如下：$例：半径为r的半圆凸轮移动时，推动靠在凸轮上的杆0A绕0轴转动，凸轮底而直径DE的延 长线通过0点，如图所示若在卩=30°的图示瞬时位巻，已知凸轮向左的移动速度为u,加速 度为“且与U反向，求此瞬时O&杆的角速度e与角加速度a o2“解”：取04杆上与凸轮相接触的B点为动点，动系固结在凸轮上设0&杆的角 速度和角加速度分别为和1）速度分析：根据速度合成立理，可画出速度平行四边形如图所a示由几何关系可得匕=几 sin 30° = —ii, d c 2vr = vc cos 30c方向如图所示。

由此可求得o&杆在图示瞬时的角速度为3 一叫=1 U y/3uOB rctg30c 2 6r转向如图所示2）加速度分析：根据牵连运动为平移时的加速度合成左理，有“；+ =叫 + “； + ":大小：OBa OBco2方向：丄04 指向0点加速度矢量关系图如图b所示在这个矢量关系式中，各加速度分量的大小、方向共有十个要素，已知八个要素，可以求解将图示的加速度矢量关系向CB方向投影，得4 = -耳 s in 30一 a： = 一“ s in 30一 工=一纟一（地=一卜 + 口，BC 2 r [ 2 4r 丿a：为负值说明町的真实指向应与图设的指向相反由此，可求得O&杆在图示瞬时的角加速度 的大小为k| pal a/2 + 3u2/4r J3（a u2}a = -：^=- = = = = — —I *OB BCctg30° y/3r 2r（3 2r转向如图所示（由a：的真实指向决左）上述解法是“避免”了取OA杆为动系时岀现的科氏加速度，错在何处这不难从杆OA的 转动方程R sin 0 = —x对时间求导求得OA杆的角速度和角加速度值得到验证，式中x = OA.可以看到，速度分析 的结果是正确的，而加速度分析结果是错误的。

原因是“取OA杆上与凸轮相接触的8点为动 点”，此动点只在此瞬时与凸轮相接触，随后就分道扬镀了，其相对轨迹不是凸轮轮解线，相对 轨迹不淸楚，因此，上而分析中“用凸轮轮廓线的半径作为相对轨迹的曲率半径的计算是错误 的2牵连运动为转动时的加速度合成上理牵连运动为转动时点的加速度合成左理：当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度，等于该瞬 时动点的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和英中科氏加速度为«c=2cocxvr,当相对速度矢量与牵连角速度矢量垂直时，相对速度顺着牵连角速度转90°的方向就是科氏加速度的方向，大小为q. = 2cdj「•当点作曲线运动时，其加速 度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成a\ +公 +a\ ・<1 a c c I r c（解题要领：1在加速度分析中要特别注意动系是否有角速度，如果有，就要考虑科氏加速度2牵连运动为转动时的加速度合成是理涉及的矢量较多，最多有7个矢量，分析和列投影式时不要遗漏了3法向加速度和科氏加速度只与速度和角速度有关，因此，在加速度分析时应作为是已知的4牵连运动为转动时的加速度合成左理只可以解2个未知量第五章点的合成运动 习题解答5-1在图a、b所示的两种机构中，已知O}O2 = a = 200 mm» ®=3rad/s。

求图示位垃时杆的角速度解：（1）取杆O"上的A点为动点，杆O/为动系匕由va=vc+vr作速度平行四边形（如题5-1图a所示）,得=旦=J =乞=1 5 rad/s , O.A 2■（逆时针）（2）取滑块A为动点，杆0/为动系，Vc =acox，由Va = vc + vr作速度平行四边形（如题54图b所示），得vc 2v.A = ——=—^aco.,cos30° V3=2 rad/s.（逆时针）題5-2图5・2图示曲柄滑道机构中，杆BC为水平，杆DE保持铅直 曲柄长OA = 0.1 m,并以匀角速度Q = 20 rad/s绕0轴转动， 通过滑块人使杆BC作往复运动求当曲柄水平线的交角分别为0 = 0. 30\ 90°时杆BC的速度解：取滑块A为动点，动系为BCE杆va = OA- 0 = 2 nVs .由Va = Vc + Vr得 Vc =叫Si】】©当 0 = 0° 时，vc = 0 :当 0 = %T 时，vc = 1 n/s :当 0 = 90 时，vc = 2 nVs ・5・3图示曲柄滑道机构中，曲柄长OA = r,并以匀角速度e饶O轴转动装在水平杆上的 滑槽DF与水平线成60°角。

求当曲柄与水平线交角0 = 0、30°、60°时，杆BC的速度解：取滑块A为动点，动系为杆BC,匕=OA・e = S•作速度矢量图如图示由正弦龙理sin(180°-60°) sin(^-30°)解得由于机器转速的变化，调速器A70・ sin(0・3OJ当0 = 0°时，V3 ve= — cor.当0 = 30"时，气=0 ：当0 = 60"时，V3 ―vr =- —tyr (向右).5-4如图所示，瓦特离心调速器以角速度0绕铅垂轴转动重球以角速度©向外张开如该瞬间10rad/s , ①=1.2rad/s球柄长/= 500mm，悬挂球柄的支点到铅垂 的距离为e = 50mm,球柄与铅垂轴间所成的夹角0 = 30° ° 求此时重球绝对速度的大小BT题5-4图解：取重球为动点，转轴AB为动系，则vr = Ico,方向如图示：牵连速度叫=（f+ /sii】0b，方向与ADB垂直根据蔦=叫+»「由勾股定理得va=7ve2+vr2 =3.059 m/s・5・5图示L形杆3CD以匀速"沿导槽向右平动，BC丄CQ, BC=h°靠在它上而并保持接触的直杆OA长为/,可绕0轴转动试以x的 函数表示出直杆0A端点人的速度。

解：以/■形杆上的B为动点，0A杆为动系，则 动点相对于动系做直线运动匕=卩，设ZOBC 为8,由速度合成泄理得c hvr =v\cos3 = -v f由此可求得才誌尹磐严Y YV/7dz吨）lhh2 + X2，J 胪 + 牙2 V5・6如图所示，摇杆0C绕0轴转动，拨动固左在齿条AB上的销钉K而使齿条在铅直导轨内移动齿条再传动半径r = 100mm的齿轮几连线是 水平的，距离/=400 mm«在图示位置，摇杆角速度 6? = 0.5rad/s, 0 = 30=试求此时齿轮D的角速度解：解法一：分两步计算1）计算齿条A3的速度取K为动点，OC杆为动系，则Vc=OKC0・由速度合成左理得：也可以利用以下关系解出吋由tan^ = -,^arctan-, g”V ICOu . = U = ——= " d COS CQS1（PAB（2）计算齿轮D的角速度coD = =—"二—=-=2.67 rad/s ・（逆时针）r rcos* （p 3解法二：设齿轮D和齿条的啮合点到K点的距离为力，则/? = /tan® 0 = —3 ,从而d/z d /f 、 Ico 畑=不=别仙0）"不而代入数据,0.4 x 0.5 4 ,vAR = = m/s.cos" 30° 15其中负号表示匕诃是沿力减小的方向，即向下。

齿轮D的角速度为vD = - = - = 2.67 m/s.（逆时针）r 35・7绕轴O转动的圆盘及直杆04上均有一导槽，两导槽间有一活动销子M如图所示，b = 0」m设在图示位置时，圆盘及直杆的角速度分别为© =9rad/s和◎ = 3rad/s o求此瞬时销子M的速度大小解:取销子M为动点.分别将动系1, 2固结在盘和杆04上,则"為©叫厂為知方向与0A垂直.由速度合成定理Va=Vel+Vrr Va = Vc2 + Pr2将此式向水平方向投影，得一 I：】 cos 60 ° + 0 = -vc2 cos 60° - vr2 cos 308由此解出题5-9图代入数据得 vr2 = 0.4 nVs , vc2 = 0.346 nVs ,所以销子速度 Va = 7vc22 + vr22 = 0.529 m/s.5・8如图所示，曲柄长OA = 400mm,以等角速度0 = O.5rad/s绕O轴逆时针转动曲柄 的A端推动水平板8,使滑杆C沿铅直方向上升当曲柄与水平线间的夹角8 = 30°时，试求 滑杆C的速度和加速度解：选OA杆的A点为动点，水平板B为动系，它做平移动1） 速度分析.va=va=OAC0^由va=vc+vr作速度平行四边形，匕=v cost? = OA cosi9c u代入数据，人=173 nVs.方向向上（2） &加速度分析.aa = aA = OA ar i 由=ac +aT 画加 °r "速度如图所示 aac = cl sin 9 = OA " sin i9， %V u代入数据，= 50 ninVs方向向下5-9半径为R的半圆形凸轮D以等速％沿水平线向右运动，带动从动杆沿铅直方向上升，如图所示。

求0 = 30°, 杆的速度和加速度解：OA杆的A点为动点，凸轮为动系，它做平移.（2）速度分析.叫=片），由Va=Vc+ 。