【总结】二次函数图像与性质总结(含答案).docx

精品资料 欢迎下载二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2 的性质：a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0 向上 0 ，0x 0 时， y 随 x 的增大而增大； xy 轴0时， y 随x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 0 ．x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0时， y 随a 0 向下 0 ，0y 轴x 的增大而增大； x0 时， y 有最大值 0 ．a 的肯定值越大，抛物线的开口越小；2. y ax2c 的性质：上加下减；a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0 向上 0 ，cx 0 时， y 随 x 的增大而增大； xy 轴0时， y 随x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 c ．a 0 向下 0 ，cx 0 时， y 随 x 的增大而减小； xy 轴0时， y 随x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 c ．3. y a x h2的性质：左加右减；a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0 向上h ，0x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， yX=h 随 x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 0 ．a 0 向下h ，0X=hx h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 0 ．24. y a x hk 的性质：a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0 向上 h ，kx h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， yX=h随 x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．a 0 向下 h ，kX=hx h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．精品资料 欢迎下载二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式2y a x hk ，确定其顶点坐标 h ，k ；⑵ 保持抛物线y ax2 的外形不变，将其顶点平移到 h ，k处，详细平移方法如下：y=ax 2向上 〔k>0〕【或向下 〔k <0〕】平移 |k |个单位y=ax 2+ k向右 〔h>0〕【或左 〔 h<0〕】平移 |k| 个单位y=a〔x-h〕2向右 〔h>0〕 【或左 〔h<0〕 】平移 |k| 个单位向上 〔k>0〕 【或下 〔k<0〕 】平移 |k|个单位向上 〔k>0〕 【或下 〔k<0〕】平移 |k|个单位向右 〔h>0〕【或左 〔h<0〕】平移 |k| 个单位y=a〔x-h〕2+k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．概括成八个字“左加右减，上加下减” ．方法二：⑴ y ax2bx c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位， yax2bx c 变成2y axbx cm （或 yax 2bx c m ）⑵ y ax2bx c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， yax 2 bxc 变成y a〔 xm〕 2b〔 x m〕c （或 ya 〔xm〕 2b〔 xm〕 c ）三、二次函数2y a x hk 与 y axbx c 的比较从解析式上看，22y a x hk 与 y ax2bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2y a x b 2a4ac b2 4a，其中 hb ，k 2a4ac b2．4a四、二次函数y ax2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y axbx c 化为顶点式y a 〔x h〕k ，确定22其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0 ，c、以及 0 ，c关于对称轴对称的点 2h ，c 、与 x 轴的交点x1 ，0 ，x2 ，0（如与 x 轴没有交点，就取两组关于对称轴对称的点） .画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点 .精品资料 欢迎下载五、二次函数2y axbx c 的性质1. 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为2ab 4ac b2， ．2a 4a当 x b 2a时， y 随 x 的增大而减小； 当 x2b 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x b 2a 2a时， y 有最小值4ac b ．4a2. 当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为x b ，顶点坐标为2ab ，4ac b ．当22a 4ax b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x 2ab 时， y 随 x 的增大而减小；当 x 2ab 时， y2a有最大值24ac b ．4a2六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y axbx c （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；2. 顶点式：y a〔 x h〕2k （ a ， h ， k 为常数， a0 ）；3. 两根式：y a 〔 x x1 〕〔 x x2 〕 （ a0 ， x1 ，x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .2留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 4 ac0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数2y axbx c 中， a 作为二次项系数，明显a 0 ．⑴ 当 a⑵ 当 a0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．总结起来， a 打算了抛物线开口的大小和方向， a 的正负打算开口方向， a 的大小打算开口的大小．2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 打算了抛物线的对称轴．⑴ 在 a 0 的前提下，当 b 0 时，当 b 0 时，当 b 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；2ab 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2ab 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a精品资料 欢迎下载⑵ 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b 0 时，当 b 0 时，当 b 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2ab 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2ab 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 打算了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴 x概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项 cb 在 y 轴左边就 ab 2a0 ，在 y 轴的右侧就 ab 0 ，⑴ 当 c⑵ 当 c⑶ 当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ；0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯独确定的．二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式， 通常利用待定系数法． 用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点，挑选适当的形式，才能使解题简便． 一般来说，有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 ．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称y a 2x b x关c于 x 轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；2y a x hk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2y a x h k ；2. 关于 y 轴对称y a 2x b x关c于 y 轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；2y a x hk 关于 y 轴对称后，得到的解析式是2y a x h k ；精品资料 欢迎下载3. 关于原点对称y a 2x b x关c于原点对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；2y a x h关k 于原点对称后，得到的解析式是2y a x h k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）22y a 2x b x关c于顶点对称后，得到的解析式是y axbx c b ；2a2y a x hk 关于顶点对称后，得到的解析式是2y a x h k ．5. 关于点 m ，n 对称2y a x hk 关于点 m ，n对称后，得到的解析式是2y a x h 2m2n k依据对称的性质， 明显无论作何种对称变换， 抛。