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§2 二次曲面介绍二次曲面介绍二次曲面：二次方程所表示的曲面二次曲面：二次方程所表示的曲面.椭圆柱面椭圆柱面 双曲柱面双曲柱面抛物柱面抛物柱面 二次锥面二次锥面1 1 椭球面椭球面椭球面椭球面方程方程 所表示的曲面所表示的曲面.abcyx zo可以看成是球面可以看成是球面沿沿 轴和轴和 轴压缩一下得到轴压缩一下得到. .椭球面的简单性质：椭球面的简单性质：（（1 1）） 对称性：关于原点，坐标轴，坐标对称性：关于原点，坐标轴，坐标平面对称平面对称. .（（2 2）） 有界性：椭球面上点的坐标适合有界性：椭球面上点的坐标适合也就是说椭球面可以被包含在六个平面也就是说椭球面可以被包含在六个平面所围成的长方体里所围成的长方体里.用一族平面用一族平面z = hz = h去截椭球面，截线去截椭球面，截线为椭圆，其方程为：为椭圆，其方程为：用用y = my = m截曲面截曲面用用x = nx = n截曲面截曲面abcyx zo这些椭圆的顶点这些椭圆的顶点分别在分别在 平面平面abcyx zo椭球面与椭球面与 平面的交为：平面的交为：和和椭球面可以看成是由一个椭圆变动椭球面可以看成是由一个椭圆变动产生的，这个变动的椭圆的顶点分产生的，这个变动的椭圆的顶点分别在两个正交的椭圆上运动别在两个正交的椭圆上运动. .这两个椭圆有一对共同的顶点并且这两个椭圆有一对共同的顶点并且正交，也就说它们所在的平面垂直正交，也就说它们所在的平面垂直.蓝色的椭圆蓝色的椭圆绿色的椭圆绿色的椭圆椭球面的中心：对称中心。

椭球面的中心：对称中心主轴：对称轴主轴：对称轴主平面：对称平面主平面：对称平面假如假如 半长轴半长轴 ，，半中轴半中轴 ，半短轴，半短轴 .abcyx zo2 2 单叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面方程方程 所表示的曲面所表示的曲面.可以看成是单叶旋转双曲面可以看成是单叶旋转双曲面向向 平面压缩得到平面压缩得到 xyoz2 单叶双曲面的简单性质：单叶双曲面的简单性质：（（1 1）） 对称性：关于原点，坐标轴，坐标对称性：关于原点，坐标轴，坐标平面对称平面对称. .（（2 2）） 用平面用平面 去截，截线是个椭圆去截，截线是个椭圆这个椭圆的顶点在这个椭圆的顶点在 平面平面（（3 3〕曲面在〕曲面在 平面的截线为平面的截线为和和这是两条有共同的虚轴和虚轴长的双曲线，它们这是两条有共同的虚轴和虚轴长的双曲线，它们所在的平面互相垂直所在的平面互相垂直. . xyoz3 双叶双曲面双叶双曲面方程方程 所表示的曲面所表示的曲面.可以看成是双叶旋转双曲面可以看成是双叶旋转双曲面向向 平面压缩得到平面压缩得到 双叶双曲面的简单性质：双叶双曲面的简单性质：（（1 1）） 对称性：关于原点，坐标轴，坐标对称性：关于原点，坐标轴，坐标平面对称平面对称. .（（2 2）） 用平面用平面 去截，截线去截，截线是个椭圆是个椭圆这个椭圆的顶点在这个椭圆的顶点在 平面平面曲面在曲面在 平面的截线平面的截线和和这是两条有共同的实轴和实轴长的双曲线，它们这是两条有共同的实轴和实轴长的双曲线，它们所在的平面互相垂直所在的平面互相垂直. .椭球面，单叶双曲面，和双叶双曲面都有对椭球面，单叶双曲面，和双叶双曲面都有对称中心，所以称做中心二次曲面。

称中心，所以称做中心二次曲面abcyx zo xyoz椭球面椭球面单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面可以看成是旋转抛物面可以看成是旋转抛物面向向 平面压缩得到，平面压缩得到， 所表示的曲面所表示的曲面.4 椭圆抛物面椭圆抛物面xzy0.xzy0（（1 1〕关于〕关于 平平面对称面对称. .（（2 2〕用平面〕用平面 去截去截曲面，得到椭圆曲面，得到椭圆椭圆的顶点在椭圆的顶点在 平面，而曲平面，而曲在这两个平面的截线为抛物线在这两个平面的截线为抛物线和和用用z = hz = h截曲面截曲面得到得到用用y = 0y = 0截曲面得到截曲面得到用用x = kx = k截曲面得到截曲面得到xzy05 双曲抛物面〔马鞍面）双曲抛物面〔马鞍面）所表示的曲面所表示的曲面. .对称性：对称于对称性：对称于 平面和平面和 轴轴. .椭圆抛物面，双曲抛物面没有对称中心，所以叫做椭圆抛物面，双曲抛物面没有对称中心，所以叫做无心二次曲面无心二次曲面xzy0xzy0.椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面§3 二次方程的化简二次方程的化简二次曲面：三元二次方程所表示的曲面二次曲面：三元二次方程所表示的曲面.三元二次方程的一般形状；三元二次方程的一般形状；作业：作业：1313〔〔1 1，，2 2，，4 4））1515，，16.16.。