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高 等 数 学 上 册第一章 函数与极限（一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性） ；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数 f(x) 〕 在x0 连续limf 〔 x〕f 〔 x0 〕x x0第一类：左右极限均存在；间断点 可去间断点、跳动间断点其次类：左右极限、至少有一个不存在；无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论；（二） 极限1、 定义1） 数列极限2） 函数极限左极限：f 〔x0 〕limf 〔 x〕右极限：f 〔x0 〕limf 〔x〕x x0 x x02、 极限存在准就1） 夹逼准就：1） ynxn zn 〔 nn0 〕2） lim ynnlim zn anlim xn an2） 单调有界准就：单调有界数列必有极限；3、 无穷小（大）量1） 定义：如lim0 就称为无穷小量；如 lim 就称为无穷大量；2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k 阶无穷小Th1~ o〔 〕 ;Th2~ , ~, lim存在，就limlim（无穷小代换）4、 求极限的方法1） 单调有界准就；2） 夹逼准就；3） 极限运算准就及函数连续性；4） 两个重要极限：a) limsin x 1b) lim 〔11x〕 xlim 〔11) 〕 x ex 0 x x 0 x x5） 无穷小代换：（ x 0 ）a) ex1 ~ x（ ax1 ~ x ln a ）ln〔1 x〕 ~ xlog 〔1 x〕 ~ xb) （a ln a ）其次章 导数与微分（一） 导数f 〔 x 〕limf 〔 x〕f 〔 x0 〕1、 定义：左导数：0 xf 〔 x0 〕x0limx x0f 〔 x〕 f 〔x0 〕x x0x x0右导数：f 〔 x 〕 limf 〔 x〕 f 〔x0 〕0x x0x x0函数 f(x) 〕 在x0 点可导f 〔 x0 〕f 〔 x0 〕2、 几何意义：f 〔 x0 〕为曲线 yf 〔 x〕 在点x0 ,f 〔 x0 〕处的切线的斜率；3、 可导与连续的关系：4、 求导的方法1） 导数定义；2） 基本公式；3） 四就运算；4） 复合函数求导（链式法就） ；5） 隐函数求导数；6） 参数方程求导；7） 对数求导法；5、 高阶导数1） 定义：d 2 ydx2d dydx dx2） Leibniz 公式：uv 〔 n〕nnC k u〔 k 〕 v〔 n k 〕k 0（二） 微分1） 定义： yf 〔 x0x〕 f〔 x0 〕A x o〔x〕 ，其中 A 与 x 无关；2） 可微与可导的关系：可微 可导，且 dyf 〔 x0 〕 xf 〔 x0 〕dx第三章 微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1、 Rolle 定理：如函数f 〔 x〕满意：1） f〔 x〕C[ a,b]； 2 ）f 〔 x〕D〔a,b〕 ； 3 ）f 〔a〕f 〔b〕 ；就 〔a,b〕, 使f 〔 〕 0 .2、 Lagrange 中值定理：如函数f 〔 x〕满意：1） f〔 x〕C[ a,b]； 2 ）f 〔 x〕D〔a,b〕 ；就 〔a, b〕, 使f〔b〕f 〔a〕f 〔 〕〔 ba) .3、 Cauchy 中值定理：如函数f 〔 x〕,F 〔 x〕满意：1 ） f〔 x〕, F 〔x〕C[a, b]； 2 ）f 〔 x〕, F〔x〕D〔a,b〕； 3 ）F 〔 x〕0, x〔a, b〕就 〔 a, b〕, 使f 〔b〕f 〔a〕f 〔 〕F 〔b〕F 〔a〕F 〔 〕（二） 洛必达法就（三） Taylor 公式n 阶 Taylor 公式：在 x0与 x 之间.当 x00 时，成为 n 阶麦克劳林公式：在 0 与 x 之间 .常见函数的麦克劳林公式：e1xx 1 21） 2. x1 xn n.e xn 1〔n 1〕.在 0 与 x 之间， x ；2 ）357sin x x x x x〔 1〕 m 1x 2 m 1sin〔 2m 1〕2x2 m 13. 5. 7.〔2m 1〕.〔2m 1〕.在 0 与 x 之间， x ；x2 x4 x63） cos x 12. 4. 6.〔 1〕 m2 mx1〔2m22〕.cos2m2〔2m〕.x2 m在 0 与 x 之间， x ；x24） ln〔1 x〕 x 2x3 x43 4nx〔 1〕 n 1n〔 1〕n xn〔n 1〕〔11〕 n 1在 0 与 x 之间，1 x 15 ）〔1 x〕 1 x〔 1〕 x22.〔 1〕〔3.2) x3〔 1〕 〔n.n 1〕 xn〔 1〕〔 n〕〔1〔n 1〕.n 1x〕n 1，在 0 与 x 之间，1 x 1 .（四） 单调性及极值1、 单调性判别法：f 〔 x〕C[ a, b] ，f 〔 x〕D 〔a,b〕，就如 f〔x〕0 ，就f 〔 x〕单调增加；就如f 〔 x〕0 ，就f 〔 x〕单调削减；2、 极值及其判定定理：a) 必要条件：f 〔 x〕 在x0 可导，如x0 为f 〔x〕的极值点，就f 〔 x0 〕 0 .b) 第一充分条件：f 〔x〕 在x0 的邻域内可导， 且 f〔 x0 〕0 ，就①如当 x x0时， f〔 x〕0 ，当 xx0 时， f〔x〕0 ，就x0 为极大值点；②如当 x x0时， f〔 x〕0 ，当 xx0 时， f〔 x〕0 ，就x0 为微小值点；③如在x0 的两 侧 f〔 x〕不变号，就x0 不是极值点；c) 其次充分条件：f 〔 x〕 在x0 处二阶可导，且f 〔 x0 〕0 ， f〔 x0 〕0 ，就①如 f〔 x0 〕0 ，就x0 为极大值点； ②如 f〔x0 〕0 ，就x0 为微小值点；3、 凹凸性及其判定，拐点1） f〔 x〕在区间 I 上连续，如x1, x2I , f〔 x1x2 〕2f 〔 x1 〕2f 〔x2 〕，就称f 〔 x〕在区间 I 上的图形是凹的；如x1 , x2I , f〔 x1x2 〕2f 〔 x1 〕2f 〔 x2 〕，就称f 〔x〕在区间 I 上的图形是凸的；2）判定定理：f 〔 x〕在[ a, b] 上连续，在〔a,b〕 上有一阶、二阶导数，就a) 如 x〔a,b〕, f〔 x〕0 , 就f 〔x〕在[ a,b]上的图形是凹的；b) 如 x〔a,b〕, f〔 x〕0 , 就f 〔x〕在[ a,b]上的图形是凸的；3）拐点：设 yf 〔 x〕 在区间 I 上连续，x0 是f 〔x〕的内点，假如曲线 yf 〔 x〕 经过点 〔 x0 ,f 〔x0 〕〕时，曲线的凹凸性转变了， 就称点〔 x0,f 〔 x0 〕〕为曲线的拐点；（五） 不等式证明1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；3、 利用极值（最值）；（六） 方程根的争论1、 连续函数的介值定理；2、 Rolle 定理；3、 函数的单调性；4、 极值、最值；5、 凹凸性；（七） 渐近线1、 铅直渐近线：limf 〔 x〕，就 xa 为一条铅直渐近线；x a2、 水平渐近线：limxf 〔 x〕b ，就 yb 为一条水平渐近线；3、 斜渐近线：limxf 〔 x〕 xk lim 。