【物理金典力学】第四章 弹性与塑性力学的解题方法.ppt

第四章 弹性与塑性力 学的解题方法 老师：王贵君教授4-1 按位移求解弹性力学问题 n一 基本假定弹性力学中的基本假定：理想弹性体中的线性 问题，连续、均匀、各向同性的完全弹性体，在 外力作用下，只产生小变形n二 解题方法求解的15个基本未知量：求解的方程：3个平衡微分方程(1-39)，6个几何方 程(2-8)（即微分方程），6个物理方程(3-13)（即广 义胡克定律）n三 位移问题 1 思路先把位移u,v,w求出2 推导按位移求解弹性力学问题，可以取位移u,v,w作 为基本未知量在物理方程式中，可以利用几何方程式将应变 用位移表示，这样便可得到用位移表示的应力 分量如下：(4-1) 将式（4-1）中的各应力分量代入平衡微分方程 ，得到 ：其中G为剪切弹性模量， 为体力 最后可得 ： 式中 称为拉普拉斯算子，且 为体积应变，且 类似的得到另外两个用位移表示的平衡微分方程 ，也叫拉梅位移方程，其形式为： （4-2 ） 由于 其中 为拉梅弹性常数， 为广义胡克定律中的泊 松比 ，因而式（4-2）也可写为 ：（4-3）3 边界条件位移边界条件：已知物体表面的位移，则边界 条件可直接带入式中，很容易提出。

应力边界条件：已知物体表面的表面力，按照式（4-1）所表示的应力带入下列力的边界条 件（l,m,n为方向余弦函数）得：则边界条件可写为 ：（4-4） 在求解问题时，使所求得位移函数u,v,w在物体 内部满足方程式（4-2），在边界上满足条件（4-4 ）或者是直接给出的位移边界条件，那么，将所求 得的位移代入几何方程便可求出应变，利用式（4- 1）便可求得应力分量 四： 讨论缺点：按位移求解弹性力学问题，未知函数的个 数比较少，即仅有三个未知量u,v,w但必须求解 三个联立的二阶偏微分方程，而不能按应力求解问 题时那样简化为求解一个单独的微分方程 优点：从原则上讲，按位移求解问题是普遍使用 的方法,特别是在数值解中得到了广泛的应用，例 如在有限元、差分法等数值计算方法中，得到了很边界可表示为：l=m=0,n=-1;体力分量： ，这些条件无疑是简化了求解的公式 边界条件为位移边界条件 见(图4-1)受均布压力作用的半空间体 解：荷载和弹性体对z轴对称，且是半空间体，可 假设u=0,v=0,w=w(z)，因此体积应变为：五 例题设有半空间体，单位体积的质量为 ，在水平边 界面上受均布压力q的作用，试用位移法求各位移 分量和应力分量，并假设在z=h处z方向的位移w=0 分析：半空间体的概念：边界面为xy面，荷载和弹 性体对z轴对称，位移可表示为：u=0,v=0,w=w(z);很好的应用。

将以上各式代入拉梅位移方程式（4-2）的前两 式后，得恒等式，得第三式为 ：积分得 ： （1）常数A,B由不定积分得来，可由边界条件确定， 在边界上l=m=0,n=-1， 代入式（4-4）的前两式得恒等式，第三式为： (2) 将(1）代入（2）得 :（3 ）由条件 得 （4 ）将（3）（4）代入w的表达式,得 将上式代入式（4-1）后，得 见图4-1受均布压力作用的半空间体返回 制作人制作人: :张聚昆张聚昆20062006年年1111月月2121日日。