第5讲教师角平分线北师大版.doc

第5讲 角平分线学习目标：能够证明角平分线的性质定理、 判定定理能够利用尺规作已知角的平分线能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题重点：角平分线的性质定理、判定定理难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题 学习过程知识精讲.知识点角的平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线1、点到直线的距离：这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离A2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质:文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.几何表达:••• 0P平分/ MON（/ 1 = /2）, PUOM PB丄 ON （已知）••• PA= PB （角平分线的性质）思考：这一性质定理的根据是什么？（2）角平分线的判定：文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.几何表达：••• PA丄 OM PB丄 ON PA= PB （已知）•••/ 1 = Z 2 （OP平分/ MON（角平分线的判定） 思考：这一判定定理的根据是什么？3、 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等4、 点P是厶ABC的三条角平分线的交点，且 PE丄BC于E, PF丄AC于F, PD丄AB于D,则有 二、典型例题A例1.如图所示，在△ ABC中，/ C= 90° , AC= BC DA平分/ CAB交BC于D,DE丄 AB 于 E, AB=10 求^ BDE的周长例2、如图，在四边形 ABCD中, AB// CD点E是BC的中点，DE平分/ ADC求证: AE是/ DAB的平分线.过点E作EHL AB于点H,反向延长 EH交DC的延长线于点 G,过点E作EF丄AD 于点F,•/ AB// CD EHL AB,••• EG! DC•••点E是BC的中点，• CE=BE在厶 CGEM^ BHE中,/ GCE=ZBCE= EB/ CEG=Z BEH•••△ CGE^A BHE• GE=EH•/ DE平分/ ADC• GE=EF• GE=EH• EF=EH• AE是/ DAB的平分线.例3、如图所示,已知△ ABC的角平分线BM CN相交于点P,那么AP能否平分 / BAC?请说明理由•由此题你能得到一个什么结论？C思考：画一个任意三角形并作一个内角、一个外角的平分线相交；两个外角的 平分线相交，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系.例 4、如图 4 ,在厶 ABC中，/ ABC=100 , / ACB=20 , CE平分/ ACB D是 AC上一点，若/ CBD=20，求/ ADE的度数.图4分析：由于CE平分/ ACB可过点E作/ ACB的两边的垂线，通过证明DE是/ ADB 的平分线解决问题•解：作 EN^CA EMLBD, EP丄CB,垂足分别是 N、M P.因为/ ABD玄 ABC-/ CBD=100 -20 ° =80°,/ PBA=180 -100 ° =80°, 所以/ PBA=/ ABD因为 EML BD于 M EPL CB于 P,所以 EP=EM又 CE平分/ ACB ENL CA EPL CB 所以 EN=EP所以EN=EM所以ED平分/ ADB1 1所以/ ADEd / ADBj X 40° =20° .需要添加辅助线构造全等三角形的题目 ，较为常用的构造法有：(1 )作平行线.(2) 作垂线.(3) 延长特殊线段构造相等线段 •(4) 连接图形中的特殊点.(5 )求作特殊图形的对角线.二 探究1、如图，CDL AB, BE! AC,垂足分别为 D、E , BE CD相交于 O,且/ 1 = / 2。

求证：OB = OCo2、如图，AB = AC, DE%A ABC的AB边的垂直平分线, D为垂足，DE交BC于E 求证：BE + EC = AB o•/ DE是AB的垂直平分线, / \:.AE= BE•/ AE+ EC= AC 卜 f \:.BE+ EC= AC又••• AB=AC 一’••• BE+EC=AB B C3、如图，在厶 ABC中，AC = BC , / C = 90 ° , AD是厶ABC的角平分线,DEI AB, 垂足为Eo(1) 已知CD = 1 cm ,求AC的长；(2) 求证：AB = AC + CD oC D 3(1 )解：I/ C=90°,人是厶ABC的角平分线， DEI AB,••• DE=CD=1•/ AC=BC / C=90°,• / B=45°,• △ BDE是等腰直角三角形，• bd=/2deV^ ,• AC=BC=CD+BD=+1(2)证明：在厶 ACD^D^ AED中，AD= ADDE= CD• △ ACD^A AED( HL),• AC=AE•••△ BDE是等腰直角三角形，• BE=DE=CD•/ AB=AE+BE• AB=AC+CD4、用尺规作图法作下列各个角的平分线。

5、如图，求作一点 P,使PC = PD,并且点P到/AOB两边的距离相等B6、（ 1）利用角平分线的性质，找到△ ABC内部距三边距离相等的点2)在右图△ ABC所在平面中，找到距三边所在直线 距离相等的点三 提升1、如图，CDL AB, BEL AC,垂足分别为 求证：/ 1 = / 2CD、E, BE CD相交于 0,且 OB = 0GACPDL AB, PEL BC, PFL AC,贝UPD=2cm 若使 PE=2cm 贝y PE与2、 如右图，已知 BEL AC于E, CFL AB于F, BE、 求证：AD平分/ BAC证明：••• BEL AC于 E, CFL AB于 F,•••/ BFD=/ DEC=90 ,在厶BDF和厶CDE中，二時 -^CD£(对序角相琴》BD^CDr•••△ BDF^A CDE( AAS,• DE=DF又••• BEL AC, CFL AB,• AD平分/ BAG3、 填空：(1)如图1,点P ABC三条角平分线交点，PD PE PF.(2)如图2 , P是/ AOB平分线上任意一点，且OB的关系是 (3)如图3 , CD为Rt△ ABC斜边上的高，/ BAC的平分线分别交 CD CB于点E、 F , FG丄 AB,垂足为 G 贝U CF FG / 1 + / 3= 度，/ 2+ /4= 度，/ 3 / 4 , CE CF.图1 图2 图34、已知：如图在△ ABC中，/ C=90° , AD平分/ BAC交BC于D,若BC=32且 BD： CD=9： 7 , 求: D至U AB边的距离.J过点D作DEI AB,贝U DE是点D到AB的距离•/ BD CD=9 7,••• CD=BC< 7/16=32 X 7/16=14 ,•/ AD平分/ CAB• DE=CD=147 £）C — 32x = 14分析：画图分析（如下图），由题意可得： 9十7 ,由角平分线性质可得：故点D到且B边的距离为14.故填14.练习1. 在 Rt △ ABC中，/ C= 90°, AD是角平分线，若 BC= 10, BD： CD= 3 : 2，则点D到AB的距离是（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 102. 到三角形三边距离相等的点是（ ）A.三条高的交点 B. 三条中线的交C.三条角平分线的交点 D.不能确定3. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为 A、B C,现计划修一个油库,要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（ ）A. 一处 B.二处 C.三处 D.四处•••△ ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，• △ ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是厶ABC两条外角平分线的交点，过点 P 作 PEI AB, PDL BC, PF丄 AC,• PE=PF PF=PD• PE=PF=PD•••点P到厶ABC的三边的距离相等，• △ ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点 有3个；综上，至U三条公路的距离相等的点有 4个.•可供选择的地址有 4个.故选D.•••点P到AB BC CD距离都相等，••• BP、CP分别是/ ABC和/ BCD的平分线， 丄 2•••/ CBP=2 / ABC / BCP总 / BCD 丄•••/ CBP+Z BCP€ (/ ABC+Z BCD ,•/ AB// CD•••/ ABC+Z BCD=180 ,2• Z CBP+Z BCP€ X 180° =90°,• Z P=180° - (Z CBP+Z BCP =180° -90° =90°.故答案为：90°.5、如图，已知 AB// CD 0为Z CAB Z ACD的平分线的交点. OE!AC,且OE=2则两平行线AB CD间的距离等于•/ AB// CD• MN! AB即 OML AB,ON! CD•/ OA平分Z BACOEL AC,OML AB• OM=OE=2•/ OC平分Z ACDOEL AC,ONL CD• OE=ON• MN=OM+ON=41、填空(1 )、如图，若点P在Z AOB的角平分线上，PE!OA PD丄OB则有(2)、如图，若 PE!OA PD!OB 且 PD = PE,贝U2、女口图，E是线段AC上的一点，AB丄EB于B, AD! ED于D,且Z 1 =Z 2, CB= CB 求证：Z 3 = Z 4。

3、如图，在△ ABC中，BE± AC AD丄 BQ AD BE相交于点 P, AE = BD 求证：P在/ ACB的角平分线上•••/ AEB=/ BDA=90 .在 Rt △ ADB和 Rt △ BEA中AB= ABBD= AE• / BAD玄 ABE / ABD/ BAE ,• AP=BP AC=BC在厶APC和△ BPC中AP= BPAC= BCPC= PC• △ APC^A BPC( SSS ,• / ACP=/ BCP•••点P在/ ACB的角平分线上.角平分线作法：在角AOB中，画角平分线方法一：1. 以点0为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角 AOB两边于点 M N2. 分别以点 M N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点 P3•作射线0P则射线0P为角AOB的角平分线当然，角平分线的作法有很多种下面再提供一种尺规作图的方法供参考方法二：1. 在两边OA 0B上分别截取 OM 0A和 ON 0B且使得 0M=0, OA=OB2. 连接AN与BM他们相交于点 P；3. 作射线0P |则射线0P为角AOB的角平分线。