2022年海淀区第二学期高三数学期中练习参考答案.docx

海淀区 2021~2022 学年第二学期期中练习高三数学参考答案 2022.03一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）答案 B A C B D A C C A B二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分题号 （11） （12） （13） （14） （15）答案 2 2；11（只需 a > 0即可）π 2； ①②④4 2说明： 12 题、14 题两空前 3 后 2；15 题全选对 5 分，漏选 1 个 3 分，漏选 2 个 2 分，不选0 分三、解答题共 6 小题，共 85 分16）（本小题共 14 分）解：（Ⅰ） f (x) 满足条件②和条件③.由 f (x) = 2sin xcos x + Acos 2x ，得 f (x) = sin 2x + Acos 2x = 1+ A2 sin(2x +j) ,π π(- = =AB n 2 2a 1 × ´ + 7× ´ + 72，所以 a = 3 ，所以 1 2 12 3 1 2AA = AO + AA = + = .（18）（本小题 14 分）解：（Ⅰ）早睡人群睡眠指数 25%分位数估计在第 3 组，晚睡人群睡眠指数 25%分位数估计在第 2 组.（Ⅱ）X 的取值范围是{0 ，1，2，3}，0 3P X C æç ö÷ æç ö÷ =（ =0）=4 1 1 0 3è 5 ø è 5 ø 1251 2P X C æç ö÷ æç ö÷ =（ =1）=4 1 12 1 3è 5 ø è 5 ø 1252 1P X C æç 4 ö÷ æç 1 ö÷ = 48（ =2）=2 3è 5 ø è 5 ø 1253 0P X C æç ö÷ æç ö÷ =（ =3）=4 1 64 3 3è 5 ø è 5 ø 125所以随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 3P 1125121254812564125所以随机变量 X 的数学期望 1 12 48 64 12E（X）= 0´ +1´ + 2´ + 3´ = . 125 125 125 125 5（Ⅲ）这种说法不正确.3例如：当第 1 组均值为 0，第 2 组均值为 51，第 3 组均值为 66，第 4 组均值为76，第 5 组均值为 91，则睡眠指数的均值为0´ 0.001+ 51´ 0.111+ 66´0.346 + 76´0.486 + 91´0.056= 0´ 0.001+ 66´ 0.346 + 76´ 0.486 + 91´ 0.056 + 51´ 0.056 + 51´ 0.055< 0´ 0.001+ 66´ 0.346 + 76´ 0.486 + 71´ 0.112 + 51´ 0.055< 76´ 0.001+ 76´ 0.346 + 76´ 0.486 + 76´0.112 + 76´0.055 = 76所以这种说法不正确.法 2. 例如：当第 1 组均值为 0，第 2 组均值为 51，第 3 组均值为 66，第 4 组均值为 76，第 5 组均值为 91，则睡眠指数的均值为0´ 0.001+ 51´ 0.111+ 66´0.346 + 76´0.486 + 91´0.056< + ´ + ´ + ´ + ´ = < .0 51 0.12 66 0.35 76 0.50 91 0.06 72.68 76所以这种说法不正确.（19）（本小题 14 分）解：（Ⅰ）因为 f (x) = (ax2 - x +1)ex ，所以 f (0) =1， f ¢(x) = x(ax + 2a -1)e ，x所以 f ¢(0) = 0 ，所以切线为： y =1.（Ⅱ） f ¢(x) = x(ax + 2a -1)e .x（1）当 a = 0时， f ¢(x) = -xe ，令 f ¢(x) = 0 ，得 x = 0 ，xf (x)与 f ¢(x)的情况如下：푥 (−∞, 0) 0 (0, +∞)푓′(푥) + 0 −푓(푥) ↗ ↘此时， f (x)在 x = 0 处取得极大值，符合题意；（2）当 a > 0时，令 f ¢(x) = 0 ，得 x = 0 ，或x1= - 2 .a① 当 0 1< a < 时, 21a- > , f (x)与 f ¢(x)的情况如下：2 0푥 (−∞, 0) 0(0,1푎− 2)1푎 1푎− 2 (− 2, +∞)푓′(푥) + 0 − 0 +4푓(푥) ↗ ↘ ↗此时， f (x)在 x = 0 处取得极大值，符合题意；② 当1a = 时，21a- = ， f ¢(x)³ 0 ， f (x)单调递增，无极大值，不符合题意；2 0③ 当 1a > 时, 21a- < , f (x)与 f ¢(x)的情况如下：2 0푥 1푎(−∞,− 2)1푎 1푎− 2 (− 2,0)0 (0, +∞)푓′(푥) + 0 − 0 +푓(푥) ↗ ↘ ↗此时， f (x)在 x = 0 处取得极小值，不符合题意；（3）当 a < 0 时，1a- < . f (x)与 f ¢(x)的情况如下：2 0푥(−∞,1푎− 2)1푎 1푎− 2 (− 2,0)0 (0, +∞)푓′(푥) − 0 + 0 −푓(푥) ↘ ↗ ↘此时， f (x)在 x = 0 处取得极大值，符合题意.综上，a Îæç-¥ 1 ö÷,è 2 ø.æ 1ù（Ⅲ） 0,ç úè 4û.（20）（本小题 15 分）1解：（Ⅰ）由l : y = (x - 2) 可知 A(0,-1),B(2,0),12x2椭圆方程C : + y =1,243所以，离心率 e = .2（Ⅱ）方法一：由ì y = kx + m，得(4k2 +1)x2 + 8kmx + 4m2 - 4 = 0 ，í + =x2 4y2 4î由 D = 64k2m2 - 4(4k2 +1)(4m2 - 4) > 0 ，得 4k +1> m .2 2设P(x , y ),Q(x , y ),1 1 2 25则8km 4m - 42x + x = - , x x =1 2 2 1 2 24k +1 4k +1，由题意得1D(x , x -1), E(x , x - 2 - y )，1 1 1 1 12因为 B,E,Q三点共线，且直线 BQ 斜率存在，所以y x - 2 - yk = k ，即 2 = 1 1BQ BEx - 2 x - 22 1，所以0 = (x - 2)y - (x - 2)(x - 2 - y )1 2 2 1 1= (x - 2)(kx + m) - (x - 2)(x - 2 - kx - m)1 2 2 1 1= (2k -1)x x + (m + 2 - 2k)(x + x )。