线性代数课件55正定二次型.ppt

§5 正定二次型正定二次型则称则称为为正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型，，定义定义1 1如果对任何如果对任何已知二次型已知二次型为；为；则称则称为为半正定二次型半正定二次型半正定二次型半正定二次型，，定义定义2 2如果对任何如果对任何为为半正定矩阵半正定矩阵半正定矩阵半正定矩阵；；则称则称为为负定二次型负定二次型负定二次型负定二次型，，定义定义3 3如果对任何如果对任何为为负定矩阵负定矩阵负定矩阵负定矩阵；；则称则称为为半负定二次型半负定二次型半负定二次型半负定二次型，，定义定义4 4如果对任何如果对任何为为半负定矩阵半负定矩阵半负定矩阵半负定矩阵；；例如例如为为正定正定二次型二次型为为负定负定二次型二次型为为半正定半正定二次型二次型为为半负定半负定二次型二次型正定二次型的判别：正定二次型的判别：对称矩阵对称矩阵 A A 为正定为正定A A 的特征值全为正．的特征值全为正．定理定理1 1 n n 元实二次型元实二次型它的标准形的它的标准形的n n 个系数全为正个系数全为正. .为为正定正定正惯性指数为正惯性指数为正惯性指数为正惯性指数为n n例例1 判别二次型是否正定判别二次型是否正定.解解: :它的顺序主子式它的顺序主子式故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的. .例例2 判别二次型是否正定判别二次型是否正定.解解: :二次型的矩阵为二次型的矩阵为用特征值判别法用特征值判别法. .故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型. .即知即知是正定矩阵，是正定矩阵，负定二次型的判别：负定二次型的判别：对称矩阵对称矩阵 A A 为负定为负定A A 的特征值全为负．的特征值全为负．定理定理2 2 n n 元实二次型元实二次型它的标准形的它的标准形的n n 个系数全为负个系数全为负. .为为负定负定负惯性指数为负惯性指数为负惯性指数为负惯性指数为n nA A 的奇数阶主子式为负，的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正．偶数阶主子式为正．例例3 判别二次型的正定性判别二次型的正定性.解解: :例例4 判别矩阵的正定性判别矩阵的正定性.可见可见A A不是负定的，也不是正定的不是负定的，也不是正定的. .A A的三个顺序主子式为的三个顺序主子式为解解：正定矩阵的简单性质正定矩阵的简单性质1. 设设为正定阵，则为正定阵，则也为正定阵也为正定阵.2. 若若均为正定阵，则均为正定阵，则也为正定阵也为正定阵.思考题思考题。