高中数学复习专题讲座(第3讲)运用向量法解题的思路及方法.doc

 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j1C1 D1B1 A1C DB AC1 D1B1 A1CDBA题目  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 高中数学复习专题讲座  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j t/.jt/.j hp:/.xjktygcow126:/.jt /.jm@/.j htp:/.xjkygco126t:/.j t/w.jt/.j头 hp:/.xjktygcom@126:/.jt /.jw/.j运用向量法解题重难点归纳  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j　二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j2 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j3 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？典型题例示范讲解  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 例 1 如图，已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j(1)求证  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　C 1C⊥BD  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j(2)当 的值为多少时，能使 A1C⊥平面 C1BD？请1D给出证明  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 命题意图  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j知识依托  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j错解分析  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j技巧与方法  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　利用 ⊥ · =0 来证明两直线垂直，只要证明ab两直线对应的向量的数量积为零即可  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j(1)证明  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　设 = , = , ,依题意，| |=| |， 、CBDab、 中两两所成夹角为 θ ， 于 是CB 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j2= － ，DBab= ( － )1CAc= · － · =| |·| |cosθ － | |·| |cosθ =0,∴C 1C⊥BD  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.jab(2)解  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　 若使 A1C⊥平面 C1BD，只须证 A1C⊥BD，A 1C⊥ DC1，由 ()()D=( + + )·( － )=| |2+ · － · －| |2abcabc=| |2－| |2+| |·| |cosθ －| |·| |·cosθ =0,得当| =| |时，A 1C⊥DC 1，同理可证当| |=| |时，A 1C⊥BD，∴ =1 时，A 1C⊥平面 C1BD 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j1D例 2 如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA 1=2，M、N 分别是A1B1、A 1A 的中点  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j(1)求 的长；N(2)求 cos的值；1,CB(3)求证  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　A 1B⊥C 1M 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j命题意图  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j知识依托  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系 O－xyz,进而找到点的坐标和求出向量的坐标  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j错解分析  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j技巧与方法  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　可以先找到底面坐标面 xOy 内的 A、B、 C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j(1)解  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　 如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 O－xyz  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j依题意得  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　B (0，1，0)，N(1，0，1)∴| |=  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 3)()()(2(2)解  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　 依题意得  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　A 1(1，0 ，2) ，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.jMNC1 B1A1C BAoxzy 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j3∴ = =(0，1，2)1BA(,2)C=1×0+(－1)×1+2×2=3| |=1 6)02()1()0(22| 5CB11 30cos, .1|||6BAC(3)证明  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　依题意得  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　C 1(0，0，2)，M ( )2,(,)(,)CMAB∴ 1 10,,2ABCM∴A 1B⊥C 1M 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j例 3 三角形 ABC 中， A(5，－1)、 B(－1，7)、 C(1，2)，求  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　(1) BC边上的中线 AM 的长；(2)∠ CAB 的平分线 AD 的长；(3)cos ABC 的值  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j解  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 　 (1)点 M 的坐标为 xM= )9,0(,27;02yM291||(50)(1).A2222(2)| 70,|(5)(1)5BACD 点分 的比为 2 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j C∴x D= 317,3D224|(5)().A(3)∠ABC 是 与 的夹角，而 =(6，8） ， =(2，－5）  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.jBCBACMNC1 B1A1CBAoxzyDMC(1,2)B(-1,7)A(5,-1)oyx 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j4226(8)5269s 145|| 0BAC学生巩固练习  头htp:/w.xjkygcom@126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 设 A、B、C、D 四点坐标依次是(－1，0) ，(0，2)，(4，3)，(3，1) ，则四边形 ABCD 为( )A 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j正方形 B 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j矩形 C 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j菱形 D 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j平行四边形2 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 已知△ABC 中， = ， = ， · <0，S △ABabaABC= ,| |=3,| |=5,则 与 的夹角是( )45abaA 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j30° B 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j－150° C 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j150° D 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j30°或 150°3 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 将二次函数 y=x2 的图象按向量 平移后得到的图象与一次函数ay=2x－5 的图象只有一个公共点(3，1)，则向量 =_________ 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j4 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 等腰△ABC 和等腰 Rt△ABD 有公共的底边 AB，它们所在的两个平面成 60°角，若 AB=16 cm,AC=17 cm,则 CD=_________ 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j5 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 如图，在△ABC 中，设 = ， = ， = , ABaCbAPc=λ ,(0<λ <1), =μ (0<μ <1),试用向量 ， 表ADaEb示  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 6 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为 a2 头htp:/w.xjk。