人教九年级上册第21章一元二次方程知识点总结计划及典型习题.doc

人教版九年级上册第21章一元二次方程知识点总结计划及典型习题一元二次方程一、本章知识构造框图设未知数，列方程数学识题 实质问题ax2 bx c a0(0)开平方法解方降配方法次程公式法分解因式法数学识题的解实质问题的答案检 验xb2b2a4ac二、详细内容（一）、一元二次方程的观点1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式；2．正确辨别一元二次方程中的各项及各项的系数2bxc（1）明确只有当二次项系数a0时，整式方程ax0才是一元二次方程2）各项确实定(包含各项的系数及各项的未知数).（3）娴熟整理方程的过程3．一元二次方程的解的定义与查验一元二次方程的解4．列出实质问题的一元二次方程（二）、一元二次方程的解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，进而把一元二次方程转变为一元一次方程求解；2．依据方程系数的特色，娴熟地采用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．领会不一样解法的互相的联系；4．值得注意的几个问题：2(1)开平方法：对于形如 x n2 n a或( ) ( 0)ax b 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.2形如 x n的方程的解法：当n0时，xn;第1页 / 当n0时，x1x20;当n0时，方程无实数根。

2（2）配方法：经过配方的方法把一元二次方程转变为xmn()的方程，再运用开平方法求解配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左侧，常数项移到方程的右侧；②“系数化1”：依据等式的性质把二次项的系数化为1；2③配方：将方程两边分别加前一次项系数一半的平方，把方程变形为xmn()的形式；④求解：若n0时，方程的解为xmn，若n0时，方程无实数解3）公式法：一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的根xb2b2a4ac2ac当40b时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；2 ac当 4 0b 时，方程有两个实数根 ,且这两个实数根相等，写为bx x1 ；22a当b24ac0时，方程无实数根.2公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确立 a, b, c 的值；③代入 b 4ac上当算其值，判断方程能否有实数根；④若b24ac0代入求根公式求值，不然，原方程无实数根因为这样能够减少计算量此外，求根公式对于任何一个一元二次方程都合用，此中也包含不完整的一元二次方程4）因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依照：假如两个因式的积等于0，那么这两个因式起码有一个为0，即：若ab0，则a0或b0；②因式分解法的一般步骤：若方程的右侧不是零，则先移项，使方程的右侧为零；把方程的左侧分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可获得原方程的两个解。

5）采用适合方法解一元二次方程①对于无理系数的一元二次方程，可采用因式分解法，较之其他方法可能要简易的多，只可是应注意二次根式的化简问题②方程若含有未知数的因式，采用因式分解较简易，若整理为一般式再解就较为麻烦6）解含有字母系数的方程（1）含有字母系数的方程，注意议论含未知数最高项系数，以确立方程的种类；（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不可以用因式分解的可采用其他方法，此时必定不要忘掉对字母的取值进行议论三）、根的鉴别式1．认识一元二次方程根的鉴别式观点，能用鉴别式判断根的状况，并会用鉴别式求一元二次方程中切合题意的参数取值范围1）=b24ac第2页2bxc（2）根的鉴别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax0（a0）①当a00时方程有实数根；（当a00时方程有两个不相等的实数根；当a00时方程有两个相等的实数根； ）②当a00时方程无实数根；从左到右为根的鉴别式定理；从右到左为根的鉴别式逆定理2．常有的问题种类（1）利用根的鉴别式定理，不解方程，鉴别一元二次方程根的状况（2）已知方程中根的状况，怎样由根的鉴别式的逆定理确立参数的取值范围（3）应用鉴别式，证明一元二次方程根的状况①先计算出鉴别式（重点步骤）；②用配方法将鉴别式恒等变形；③判断鉴别式的符号；④总结出结论.例：求证：方程(a21)x22ax(a24)0无实数根。

4）分类议论思想的应用：假如方程给出的时未指明是二次方程，后边也未指明两个根，那必定要对方程进行分类议论，假如二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；假如二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根5）一元二次方程根的鉴别式常联合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面剖析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧（6）一元二次方程根的鉴别式与整数解的综合（7）鉴别一次函数与反比率函数图象的交点问题（四）、一元二次方程的应用1.数字问题：解答这种问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式2.几何问题：这种问题要联合几何图形的性质、特色、定理或法例来找寻等量关系，建立方程，对结果要联合几何知识查验3.增添率问题（降落率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a），增添率（x），变化的次数（n），n变化后的基数（b）,这四者之间的关系能够用公式axb(1)表示4.其余实质问题（都要注意查验解的实质意义，若不切合实质意义，则舍去）五）新题型与代几综合题（1）有100米长的篱笆资料，想围成一矩形库房，要求面积不小于600平方米，在场所的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的库房，但面积只有400平方米，不合要求，问应怎样设计矩形的长与宽才能切合要求呢？（2）读诗词解题（列出方程，并估量出周瑜逝世时的年纪）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年光属周瑜？（36岁）(3)已知：a,b,c分别是ABC的三边长，当m0时，对于x的一元二次方程第3页2mbx2mmaxc(x)()20有两个相等的实数根，求证：ABC是直角三角形。

2xb2c2a2xc22（4）已知：a,b,c分别是ABC的三边长，求证：方程()0b没有实数根2x2mxm2m （5）当m是什么整数时，对于x的一元二次方程440mx与x44450的根都是整数？（m1）2m1 2（6）已知对于x的方程x0，此中m为实数，（1）当m为什么值时，方程没有实2x2x2x2m数根？（2）当m为什么值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根答案：（1）m2（2）x1,12.（六）有关练习（一）一元二次方程的观点1．一元二次方程的项与各项系数把以下方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：（1）5x223x(5x2,3x,2)2x2x（2）26x150(6x,15,2)2y（3）3y(y1)7(y2)5(3,4,9)y（4）(mm)(mm)(m2)275m(2m2,0,3)（5）2 4( 3) 2 a2(5a 1) a (3a ,2 , 5)2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其余字母的值2m(3)4(1)m为什么值时，对于x的方程(m2)xmxm是一元二次方程m2）2x 7x 8（2）若分式 0x 1，则 x （ x 8）3．由方程的根的定义求字母或代数式值2xa2(1)对于x的一元二次方程(a1)x10有一个根为0，则a（a1）2bxca(2)已知对于x的一元二次方程ax0(0)有一个根为1，一个根为1，则abc，abc（0，0）（3）已知c为实数，而且对于x的一元二次方程x23xc0的一个根的相反数是方程x23xc0的一个根，求方程x23xc0的根及c的值。

0，-3，c=0）（二）一元二次方程的解法1．开平方法解以下方程：第4页2 2（1） 5 125 0x （ x1 5, x2 5 ） （2）169( x 3) 289 （56 22x1 ,x ）213 1322（3）y3610（原方程无实根）（4）(13)m0（m1m20）2．配方法解方程：2 x 2 y（1） x 2 5 0 （ x 1 6 ） （2） 5 1 0y （5 21x ）23．公式法解以下方程：（1） 3x2 6x 2 （3 32x ） （2） p 3 2 3p3（ p1 p 3 ）22（3） 7 y 11y112 n（ y1 , y 0 ） （4） 9n 5 2 （原方程无实数根）274．因式分解法解以下方程：122y（1）x90（x6）（2）4450y（y19,y25）42 x（3） 8 10 3 0x （1 32 xx1 , x ） （4） 7x 21 0 （ x1 0, x2 3 ）24 22 x x（5） 6 3 3 2 2 6x （3 22 xx1 , x ） （6） (x 5) 2( 5) 1（ x1 x2 6 ）22 35．解法的灵巧运用（用适合方法解以下方程）：72（1） 2( 2x 7) 128 （ 2x ） （2）22 1 2( 2 2 ) 22m m m m （ 2 6m ） 26．解含有字母系数的方程（解对于x的方程）：（1）x22mxm2n20(xmnxmn1,)22 2 2 2（2） a ( x x 1) a(x 1) (a 1)x（议论 a）（三）一元二次方程的根的鉴别式1．不解方程鉴别方程根的状况：2 2（1）4 x x 3 7x（有两个不等的实数根） （2）3(x 2) 4x（无实数根）2（3） 4x 5 4 5x（有两个相等的实数根）2x2．k为什么值时，对于x的二次方程kx690（1）有两个不等的实数根（k1且k0）（2）有两个相等的实数根（k1）（3）无实数根（k1）2有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．3．已知对于ｘ的方程4x(m2)x1m第5页( 1m 2, x1 x2 或 2 3m 10, x1 x2 ) 22axa2a4．若方程x2(1)450有实数根，求：正整数a.（a1,a2,a3）2x2mxm25．对随意实数m，求证：对于x的方程(m1)240无实数根.2kxk6．k为什么值时，方程(k1)x。