等差数列的前n项和公式推导及例题解析.docx

等差数列的前n项和•例题解析一、等差数列前n项和公式推导：(1) Sn=a1+a2+ an-1+an 也可写成Sn=an+an-1+ a2+a1两式相加得 2Sn= (a1+an)+(a2+an-1)+ (an+a1)=n(a1+an)所以 Sn=[n(a1+an)]/2 (公式一)(2) 如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则 an=a1+(n-1)d代入公式公式一得Sn=na1+ [n(n+1)d]/2 (公式二)-、对于等差数列前n项和公式的应用 、【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项.解依题意，得r , 10(10 -1)叫+ d = 140a +a +a +a +a =5a + 20d = 1251 1 3 5 7 9 1解得 a1=113，d=—22...・其通项公式为an=113+(n—1) - ( —22)= — 22n+135・.・a6= — 22X6 + 135 = 3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d， 再求其他的.这种先求出基本元素，再用它们去构成其他 元素的方法，是经常用到的一种方法.在本课中如果注意 到a6=ai + 5d，也可以不必求出an而直接去求a，所列方程组化简后可得）* 相减即得a +5d = 3,6 [a* + 4d = 25 i即a6 = 3 .可见，在做题的时候，要注意运算的合理性.当 然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提.【例2】 在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和.解 由已知，第一个数列的通项为an = 3n—1；第二个 数列的通项为bN=5N—3若 am = bN，则有 3n—1 = 5N—3on , 2（N -1）艮口 n=N+ 3若满足n为正整数，必须有N=3k+1（k为非负整数）.又 2W5N—3W197，即 1WNW40，所以N=1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66・・・两数列相同项的和为2 + 17 + 32+——197=1393【例3】选择题：实数a，b，5a，7, 3b，…，c组 成等差数列，且a+b + 5a+7 + 3b —— c = 2500,则a，b， c的值分别为A. 1, 3, 5B. 1, 3, 7C. 1, 3, 99 D. 1, 3, 9解 C由题设2b = a+5a n b = 3a又... 14 = 5a+3b,a=1, b = 3・.・首项为1,公差为2n(n -1)又 S = na + ——2 d,n(n -1),.・2500=n+ ——--2.・.n=502.*.a50=c=1+ (50 — 1) • 2=99a=1, b = 3, c = 99【例4】 在1和2之间插入2口个数，组成首项为1、 末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半 部分的和之比为9： 13,求插入的数的个数.解依题意 2 = 1+ (2n+2 — 1)d①前半部分的和S = (n+1) + 坚坝d ②n+1 2后半部分的和S，= (n+1) • 2 +• ( — d) ③n+1 2ndS (n +1)(1+ ) o由已知，有亍= nr=rS n+1 (n +1)(2 —顶)'nd1 +项 9 化简，得Td f2 - T解之，得nd = £ ④由①，有(2n+1)d=1由④，1⑤，解得d = 11, n = 5・.・共插入10个数.【例5】 在等差数列｛an｝中，设前m项和为Sm，前n 项和为 Sn，且 Sm = Sn，m#n，求 Sm+n解 VS = (m+n)a + 2(m+n)(m+n— 1)d=(m+n)[a + 2(m+n—1)d]Sm = Sn，mNnma + 2m(m—1)d=na + 2n(n—1)d整理得(m—n)a + 2(m—n)(m+n—1) = 0艮口 (m—n)[a + 2 (m+n— 1)d] = 0由m尹n，知a + 2(m+n—1)d= 0・Sm+n = 0【例6】 已知等差数列｛an｝中，S3=21，S6=64,求数列｛ |anl ｝的前n项和Tn分析 等差数列前n项和Sn=na； + 性；）d,含有两个未知数a；,d,已知S3和S6的值，解方程组可得ai与d,再对数 列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn来.解设公差为d,由公式Sn =na； + 性；） d/曰 J 3a + 3d = 21得[ba； + 15d = 24解方程组得：d=—2, ai = 9an = 9+ (n—1)(n—2) =—2n+11. ,一 11由a = — 2n+11>0得nV y = 5.5，故数列｛a ｝的前5项为正，其余各项为负.数列｛an｝的前n项和为：.n(n -1) .S = 9n+ 2 ( — 2)= —n2 + 10n.••当 nW5 时，Tn=—n2 + 10n当 n〉6 时，Tn = S5+|Sn — S5l=S5—(Sn — S5)=2S5 —Sn•Tn=2(—25+50)—(—n2+10n)=n2—10n+50[T = —n2 + 10n nW5艮时n n^N*n2 — 10n+50 n> 6说明根据数列｛an｝中项的符号，运用分类讨论思想可 求｛ |anl ｝的前n项和.【例7】 在等差数列｛an｝中，已知a6 + a9 + a12 + a15=34，求前20项之和.解法一由 ag + ag + ai2 + ai5 = 34得 4a1 + 38d = 34又 S = 20a + ^/d20 1 2= 20a1 + 190d= 5(4a1 + 38d)=5X34=170解法二 S =(ai +a20)X20 = 10(a +a ) 20 2 1 20由等差数列的性质可得：ag + ai5=a9 + ai2 = ai + a20 .\ai + a20=17S20 = 170【例8】 已知等差数列｛an｝的公差是正数，且a3・a7=一 12, a4+a6=—4,求它的前20项的和S20的值.解法一 设等差数列｛an｝的公差为d,则d〉0,由已知可得J(a + 2d)(a +bd) = — 12 ①[a1 + 3d+a1 + 5d= — 4 ②由②，有ai = —2—4d，代入①，有d2=4再由 d〉0，得 d = 2 .*.ai= — 10最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20 = 180解法二 由等差数列的性质可得：a4+a6 = a3 + a7 艮P a3 + a7=—4又a3 • a7=—12，由韦达定理可知： a3, a7 是方程 x2+4x — 12 = 0 的二根 解方程可得xi= — 6, x2 = 2...d〉0 「.{an}是递增数列・.a3^ 6, a7=2d = a7 — a3 =2, a = — 10, S =180 7 - 3 i 20【例9】 等差数列｛an｝、｛bn｝的前n项和分别为Sn和％,若S 2n a 品十n = ，则产等于T 3n +1 b[]2A. 1 B.-3199 200C.—— D.——299 301分析该题是将a妙与% = 旦 发生联系，可用等差数列的前n项 b T 3n +1和公式S =陷1：叩把前n项和的值与项的值进行联系.n 2n(a + a ) n(b + b ) 解法一 •.、=板 11 , Tn = 12 n7・.史=T b1 + ba +a 2n, , b + b 3n +1.・・2ai00 = ai + ai99, 2bi00=bi+bigg选C..a _ a+a _ 2 X199 _ 199，，屯=b； + b：； = 3X199 + 1 = 299解法二 利用数列｛an｝为等差数列的充要条件：Sn =an2 +bnS 2n . n —T 3n + 1可设 Sn = 2n2k, Tn=n(3n+1)k.a S -S 2n2k-2(n- 1)2k. . V — . - ： 1 — n(3n + 1)k - (n - 1)[3(n -1) + 1]k4n - 2 2n -16n - 2 3n -1.a _ 2 X100 -1 _ 199• •碓—3X100 -1 —城说明该解法涉及数列｛an｝为等差数列的充要条件Sn=an2+bn, 由已知J-匚二，将S和T写成什么？若写成S =2nk, T =(3n+1)k, T 3n + 1 n n n nk是常数，就不对了.【例10】 解答下列各题：(1) 已知：等差数列｛an｝中a2 = 3, ag = — 17，求ag；(2) 在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3) 已知：等差数列｛an｝中，a4 + ag + a15 + a17 = 50，求 S20；(4) 已知：等差数列｛an｝中，an=33 — 3n，求Sn的最大值.分析与解答, -17 - 3(1) a6 =a2 + (6 - 2)d d =―^—= —5 a9=ag+ (9 — 6)d=— 17 + 3X (— 5)=—32(2) ai=19, an+2=89, Sn+2 = 1350= (a1+an顼n+2)n+2 2., 2 X1350・・ n+ 2 = ——— = 25 n = 2319 + 89, 35a = a = a + 24d d = ^^, ….，一 11 , 一 1 、、，. 35 ,, …故这几个数为首项是21宥，末项是86宥，公差为宥的23个数.JL A JL A JL」(3) V a4 + a6 + ai5 + ai7=50又因它们的下标有4+17 = 6 + 15=21a4 + a17=a6 + a15=25(a +a ) X20S20 = = 10 X (气 + a17) = 250(4) Van=33 — 3n .・.a1 = 30(a + a ) • n (63 一 3n)n 3 63Sn = —2 = 2 =一 2n2 + Tn_ 3 21 3X 212=一 2(n 一 T)2 + 8・.・nEN,・・・当n=10或n=11时，Sn取最大值165.【例11】 求证：前n项和为4n2 + 3n的数列是等差 数列.证设这个数列的第n项为an，前n项和为Sn.当 nN2 时，&n = Sn—Sn-1「.an= (4n2 + 3n) — [4(n—1)2 + 3(n—1)]=8n—1当 n=1 时，a1=S1=4 + 3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n,都有an=8n —1又 an+1 — an= [8(n+1) —1] — (8n—1) =8...这个数列是首项为7,公差为8的等差数列.说明 这里使用了 “an=Sn — Sn-1”这一关系.使用这 一关系时，要注意，它只在nN2时成立.因为当n=1时， Sn-1=So,而So是没有定义的.所以，解题时，要像上边 解答一样，补上门=1时的情况.【例12】 证明：数列&｝的前n项之和Sn =。