[数学]第二章第四节曲面面积.doc

1第二章 曲面论第四节 曲面面积1、 正则曲面的概念设曲面有向量方程，),(vurr 其中，是中的一),(vu2R个区域也就是说，有参数向量 方程 )),(),,(),,((),(vuzvuyvuxvurr，，),(vu如果与曲面上的点有一一对应关系，且，)(),(1Cvurr，，则称0|vurr),(vu为正则曲面 2、正则曲面面积的定义 设正则曲面有参数向量方程表示，),(vurr ),(vu2我们来定义曲面的面积用曲线和曲线把曲面uv分成小块每一小块在曲面的 切平面上的投影的面积可以近似 地表示为||||vrurvu，vurrvu||||这样，和式vurrvu||||就可当作的面积的近似值 加密曲线和曲线，通过极限过uv程，我们就把此极限值定义为曲面 的面积定义 18.1 设正则曲面有参数向量方程表示，,),(vurr ),(vu我们称，dudvrrvu||||)( 为曲面的面积，3并且记 ，dudvrrdvu||||称为曲面的面积元素，d 简称面元特别地，平面图形的面积： 设是平面上的区域，参数方Dxy程,其中)0 ,,(),(yxyxrr.这时Dyx),(,,)0 , 0 , 1 (xr)0 , 1 , 0(yr从而,) 1 , 0 , 0(yxrrdxdydxdyrrdyx||||则。

dydxDD)(这正是我们在过去给出的平面 图形面积的定义.这说明,一般曲 面面积的定义与过去已经给出的 平面图形面积的定义没有冲突43、曲面面积的几种计算公式（1）设正则曲面有参数向量方 程，)),(),,(),,((),(vuzvuyvuxvurr ，),(vu由于，),,(uz uy uxru  ，),,(vz vy vxrv  vurr vx vx vxuz uy uxkji    ，kvuyxjvuxzivuzy ),(),( ),(),( ),(),( 于是dudvvuyx vuxz vuzy21222])),(),(()),(),(()),(),([()( ；（2）设正则曲面有参数向量方 程，)),(),,(),,((),(vuzvuyvuxvurr5，),(vu由于),(sin||||||||||||2222 vuvuvurrrrrr),(cos||||||||||||||||22222 vuvuvurrrrrr，222),(||||||||vuvurrrr记 ，2222)()()(||||uz uy uxrEuvurrF),,(uz uy ux   ),,(vz vy vx   ，uy vx ux  vz uz vy  ，2222)()()(||||vz vy vxrGv从而，有， 2||||FEGrrvu于是。

dudvFEG 2)(（3）当曲面是由显式表达时，Dyxyxfz),(),,(6Dyxyxfyxr),()),,(,,(， )),,(, 0 , 1 (yxfrxx)),,(, 1 , 0(yxfryy，22)(1||||xfrEx，yxrrFyf xf  ，22)(1||||yfrGy2||||FEGrryx，22)()(1yf xf 于是dxdyyf xfD22)()(1)(设曲面的方程为，Dyxyxfz),(),,( 其中为有界闭区域,D在上有连续的偏导数,法向量),(yxfD,则的面积表示为}1),,(),,({yxfyxfnyxr7… … (1)dxdynD||||)(vxyzoni,iDz fx,yS图(1)注意到,||||1)],([)],([11cos 22nyxfyxfxxr 所以公式(1)也表示为 dD|cos|1)(… … （2）例例 1 求圆锥面被圆柱面22yxz截下的部分的面积如图(2).xyx22S解解 ,22),(yxyxf8. 2222),(,),( yxyyxf yxxyxfyx ,所以 .2||||nr 422SdSxyzo图图(2)例例 2 求球面的面积.2222RzyxS解解 球面的参数方程为 . }cos,sinsin,cossin{RRRr r，}sin,sincos,coscos{RRRrr.}0 ,cossin,sinsin{RRrr.}cossin,sinsin,cossin{22222RRRrrnrrr,于是有sin||||2Rn r, ddRSsin2.}20 ,0| ),{(因此有.220024sinRddRS 球面参数方程的本质是平面上的区域到 三维空间的球面上的映射,表示面积的变化率.222||||CBAnr9（4）旋转曲面的面积曲线o1), 0)()((bxaxfxfy 绕轴旋转所得旋转曲面的面积。

x显然，曲面的方程为，222))((xfzy由此得旋转曲面在正方向的方程z为，由此得22))((yxfz，，22)()()(yxfxfxf xz22)(yxfy yz，22)()(1yz xz 222 2 )())((1))((yxfxfxf于是，面积dxdyyz xzD22)()(12)(，dxdyyxfxfxfD222)())((1)(2)(其中是旋转曲面在平面的投影Dxy区域，10，bxaxfyxfyxD),()(: ),{(于是)()(222 )())((1)(2)(xfxfbayxfdydxxfxf2( ) ( )2( ) 1 (( )) (arcsin)|( )bf x f xayf xfxdxf x，dxxfxfba2))((1)(2（我们看到，这里证明得到 的公式与用定积分时用微元法得到 公式一致的） 曲线o2绕轴旋转)0)((bxaxfyy所得旋转曲面的面积则曲面方程为，):)((222222bzxaDzxfydxdzzy xyD22)()(1)(rdrrfdba220))((1。

dxxfxba2))((12114、计算曲面面积的步骤 （1）为曲面求得一个符合要求 的参数表示 ，)),(),,(),,((),(vuzvuyvuxvurr),(vu或显表示，Dyxyxz),(),,(定出它们的定义域或，D 靠画图形和空间想象力； （2）计算面积元dudvrrdvu||||dudvFEG2或者；dxdyyxd22)()(1（3）代入公式转化为计算二重积 分，然后按二重积分的计算方法技 巧进行5、计算曲面面积举例例 1 计算下列曲面的面积：12（1）锥面被圆柱22yxz面截下的部分；xyx222（2）圆柱面被圆柱222azx面截下的部分222ayx解 （1）所截得的曲面为：，22yxz，}1) 1( : ),{(22yxyxD；dxdydxdyyz xzd2)()(122面积；2)(22)(DdxdyD（2） 由图象的对称性，所截得 的上半曲面为：，22xaz，}: ),{(222ayxyxDdxdy xaadxdyyz xzd 2222)()(1 13于是所截得曲面的面积dxdy xaaSD 222)(2dy xaadxxaxaaa2222222。

2822aadxaa 由对称性，得这两个柱面 所围成的封闭曲面的面积216aS 例 2 计算下列曲面的面积：（1） 圆柱面 介乎222ayx平面和之间的0 zx0 zx部分；（2）球面被椭圆柱2222azyx面所截下的部)0( 12222 abby ax分14解（1）所截得曲面在第一卦限的曲面为：，22xay；xzax0 ,0dxdz xaadxdzzy xyd 2222)()(1 ， 于是利用对称性，所求的面积 为dz xaadxSxa 02208adx xaxa 0228；2 0228| )(8axaaa（2）由图象的对称性，所截得的 上半曲面为：，222yxaz，}1: ),{(2222 by axyxDdxdy yxaadxdyyz xzd 22222)()(1 15， 由积分区域位于第一象限部分为，220 ,0xaabyax于是利用对称性，所求的面积为dy yxaadxSxaaba220222042axaab dx xaya 002222 |arcsin8。

aba arcsin82特别地，当时，得到球面ab 面积24 aS例 3 求马鞍面被圆柱面xyaz 所截下的部分曲面222ayx)0(a的面积解 所截得的曲面为：，xyaz1，}: ),{(222ayxyxD16dxdyayxadxdyyz xzd222 22)()(1， 于是所截得曲面的面积dxdyayxaSD222 )(rdrarada02220araa02322|)(3112) 122(322 a 例 4 求抛物面被azyx222)0(a柱面截下的部xyayx22222)(分曲面的面积 解 所截得的曲面为：，)(2122yxaz，}2)( : ),{(2222xyayxyxDdxdyayxadxdyyz xzd222 22)()(1，17于是所截得曲面的面积，dxdyayxaSD222 )(由对称性，再采用极坐标变 换计算此二重积分，在第一象限内，,cosrx sinry ，，2sin22ar20，rdrddxdy 利用在第一、第三象限内的 对称性，得rdraradSa 2sin022 2 02 2 draaa2sin 023222 02|)(3112 da] 1)cos[(sin31232 023)cos(sin])cos(sin2[3122 22 02ada 3| ])cos(sin31)cos(sin2[3122 2 032aa 183| ])cos(sin31)cos(sin2[3122 2 032aa 。

3310 3122 2aa)320(92 a例 5 求螺旋面：，,cosrx sinry ，，hz ar 0的面积20解 因为，),sin,cos(hrrr)0 ,sin,(cos),sin,cos(hrr),cos,sin(hrr， 所以 ，，1E0F22hrG，222hrFEGdrdFEG 2)(drrhda 0222019arhrhrhr0222 22|。