高考物理总复习知识讲解物理学中微元法的应用.doc

物理学中微元法的应用编稿：李传安 审稿：张金虎【高考展望】随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力高考试题屡屡出现“微元法”的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容知识升华】“微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。

利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想方法点拨】 应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程；（2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的典型例题】类型一、微元法在运动学、动力学中的应用例1、设某个物体的初速度为，做加速度为的匀加速直线运动，经过时间t，则物体的位移与时间的关系式为，试推导思路点拨】把物体的运动分割成若干个微元，极短，写出图像下微元的面积的表达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移解析】作物体的图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由于每一个小元段时间极短，速度可以看成是不变的，设第段的速度为，则在时间内第段的位移为，物体在t时间内的位移为，在图像上则为若干个微小矩形面积之和。

当把运动分得非常非常细，若干个矩形合在一起就成了梯形OAPQ，如图丙所示图线与轴所夹的面积，表示在时间t内物体做匀变速直线运动的位移面积，又，所以【总结升华】这是我们最早接触的微元法的应用总结应用微元法的一般步骤：（1）选取微元，时间极短，认为速度不变，“化变为恒”，（2）写出所求量的微元表达式，微元段的意义是位移，写出位移表达式，（3）对所求物理量求和，即对微元段的位移求和， 举一反三【变式1】加速启动的火车车厢内的一桶水，若已知水面与水平面的夹角为θ，则火车加速行驶的加速度大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图所示，取水面上质量为的水元为研究对象，其受力如图所示，应用正交分解或平行四边形定则，可求得质量为的水元受到的合力为，根据牛顿第二定律可知， 则，方向与启动方向相同变式2】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度拉水平面上的物体A，当绳子与水平方向成θ角时，求物体A的速度答案】【解析】设物体A在θ角位置时间向左行驶距离，滑轮右侧绳长缩短，如图， 当绳水平方向的角度变化很小时，有，两边同除以得 ，当这一小段时间趋于零时，收绳的平均速率就等于瞬时速率即收绳速率所以物体A的速率为.类型二、微元法在功和能中的应用例2、(2015 北京卷) 真空中放置的平行金属板可以用作光电转换装置，如图所示。

光照前两板都不带电以光照射A板，则板中的电子可能吸收光的能量而逸出假设所有逸出的电子都垂直于A板向B板运动，忽略电子之间的相互作用保持光照条件不变a和b为接线柱已知单位时间内从A板逸出的电子数为N，电子逸出时的最大动能为Ekm元电荷为e1)求A板和B板之间的最大电势差Um，以及将a、b短接时回路中的电流I短2)图示装置可看作直流电源，求其电动势E和内阻r3)在a和b之间连接一个外电阻时，该电阻两端的电压为U外电阻上消耗的电功率设为P；单位时间内到达B板的电子，在从A板运动到B板的过程中损失的动能之和设为ΔEk请推导证明:P=ΔEk　　(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题中做必要的说明)【答案】(1) 　Ne　(2) 　　(3)外电阻两端的电压为U，则电源两端的电压也是U解析】(1)由动能定理，Ekm=eUm，可得短路时所有逸出电子都到达B板，故短路电流 I短=Ne(2)电源的电动势等于短路时的路端电压，即上面求出的Um，所以 电源内阻 (3)外电阻两端的电压为U，则电源两端的电压也是U由动能定理，一个电子经电源内部电场后损失的动能ΔEke=eU设单位时间内有N个电子到达B板，则损失的动能之和ΔEk=NΔEke=NeU根据电流的定义，此时电源内部的电流I=Ne此时流过外电阻的电流也是I=Ne，外电阻上消耗的电功率P=IU=NeU所以P=ΔEk举一反三【变式】（2014 上海徐汇模拟）如图所示，一台农用水泵装在离地面的一定高度处，其出水管是水平的．现仅有一盒钢卷尺，请你粗略测出水流出管口的速度大小和从管口到地面之间在空中水柱的质量(已知水的密度为ρ，重力加速度为g)． (1)除了已测出的水管内径l外，还需要测量的物理量是____________(写出物理量名称和对应的字母)；(2)水流出管口的速度v0的表达式为________________(请用已知量和待测量的符号表示)；(3)空中水柱的质量m的表达式为____________(请用已知量和待测量的符号表示)．【答案】(1)水的水平射程x，管口离地的高度h (2) (3) 【解析】 根据平抛运动的规律知，水平方向上有x=v0t，竖直方向上有 ，联立以上二式可得初速度；空中水的质量.例3、从地面上以初速度竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为，且落地前球已经做匀速运动．求：（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；（2）球抛出瞬间的加速度大小；（3）球上升的最大高度H．【思路点拨】（1）（2）求解不难。

3）用微元法求解，首先根据牛顿第二定律写出加速度的表达式，再用，取微元然后写出与关系式，最后求和答案】见解析解析】（1）球从抛出到落地重力做功为零，根据动能定理 克服空气阻力做功（2）阻力与其速率成正比抛出瞬间阻力 匀速运动时抛出瞬间阻力的大小为根据牛顿第二定律解得抛出瞬间的加速度大小为 （3）上升时加速度为，根据牛顿第二定律 取极短时间，速度的变化量，有式中 上升全过程对等式两边求和左边求和 （末减初） （）代入解得，又前面已求出所以球上升的最大高度 . 【总结升华】取微元，根据相应的物理规律写出所求问题用微元表示的函数表达式，最后求和，注意各物理量的物理意义，解析中已经写得很清楚了类型三、微元法在动量中的应用例3、一根质量为M，长度为L的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图所示，求链条下落了长度时，链条对地面的压力为多大？【思路点拨】在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力，这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速冲击.【答案】【解析】设开始下落的时刻t=0，在t时刻落在地面上的链条长为，未到达地面部分链条的速度为，并设链条的线密度为.由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零.从t时刻起取很小一段时间，在内又有落到地面上静止.地面对作用的冲量为 因为所以 解得冲力：，其中就是t时刻链条的速度，故 ，链条在t时刻的速度即为链条下落长为时的瞬时速度，即，代入F的表达式中，得 即t时刻链条对地面的作用力，也就是t时刻链条对地面的冲力. 所以在t时刻链条对地面的总压力为 【总结升华】通过取微元分析，把变速冲击问题转化为恒定速度的冲击问题，这就体现了“化变为恒”的思想。

举一反三【变式1】一艘帆船在静水中由风力推动做匀速直线运动帆面的面积为S，风速为，船速为（），空气的密度为，则帆船在匀速前进时帆面受到的平均风力大小为多少？【答案】【解析】取图所示的部分空气为研究对象，应用“长方体模型”，这部分空气的质量为,这部分空气经过时间后速度都由变为，取船前进方向为正方向，由动量定理得：所以【变式2】处于运转状态的重量为G直升飞机停在空中不动，则直升机输出功率P为多大？设此时螺旋桨推动空气向下运动的速度为答案】【解析】设时间内有质量为的空气撞击机翼，空气的密度为，对于截面积为S的空气柱的质量根据动量定理： 即所以飞机停止在空中受力平衡， 可求得螺旋桨的推动空气做功：所以直升机输出功率：类型四、微元法在电场中的应用例4、如图所示，一个半径为R的带电圆环，带电荷量为+Q，带电圆环的中心为O，在通过O点与圆面垂直的直线上有一点A，距离O点为L，A点有一带电荷量为+q的点电荷，求该点电荷受到的电场力．【思路点拨】带电圆环不是点电荷，用“对称”“等效”或“割补”的方法将非点电荷问题转化为点电荷问题，实际上就是利用“微元法”，把带电圆环平均分为N小段，每段都可以看着点电荷，这个微小的点电荷的电荷量为，再利用库仑定律求相互作用力。

答案】 沿OA方向 【解析】把带电圆环平均分为N小段，每段都可以看着点电荷，这个微小的点电荷的电荷量为，则与间的库仑力的大小为F，如图所示．设F、夹角为，A点到圆环边缘距离为r，则由库仑定律得，，由几何知识，，根据对称性（每个微元电荷与之间的库仑力的竖直分量的矢量和为零）有：该点电荷受到的电场力的大小就等于每个微元电荷与之间的库仑力的水平分量之和，．方向沿OA方向 【总结升华】带电圆环是线电荷，应用微元法就是把它均匀分成N段，每段的电荷量为总电量除以N，，再利用库仑定律求相互作用力，各个微元电荷与q的作用力的方向都不同，把分解成水平方向和竖直方向，就清楚地知道竖直分量的矢量和为零，水平分量大小相等方向相同，将水平分力求和，即拓展：如果在A点不放点电荷，求A点的电场强度的大小和方向答案】．方向沿OA方向举一反三【变式】一半径为R的绝缘球壳上均匀地带有电荷量为+Q的电荷，另一电荷量为+q的点电荷放在球心O上，由于对称性，点电荷所受的力为零．现在球壳。