多重随机等效平面桁架模型的幻化数及单元尺寸影响研究.pdf

第八届全国现代结构工程学术研讨会 多重随机等效平面桁架模型的幻化数 及单元尺寸影响研究 远方李春涛 ( 天津大学建筑工程学院天淬3 0 0 0 7 2 ) 提要：典型非均匀脆性村料如混凝土、岩石等，其内部充斥着微裂纹、微空隙等初始缺陷；在传统的数值仿真模型中，一般都要 划分大量的计算单元来描述这类材料中的微裂纹、微空隙以及其不均匀性，使仿真数值试验用时较长，在一定程度上限制 了技术的J 传统喇格模型最大的问题就是离散化后，大晕单元和结点使数值试验的难度增加，对于较大尺寸构件 甚至无法进行模拟；用于模拟材料在压缩载荷作用下的应力一应变曲线反映出了比较脆的问题多重随机等效平面桁架模 型是在传统网格模型的基础上发展形成，本文通过对多重随机等效平面桁架模型中单元尺寸和幻化数的影响研究，保证了 在结点增加不多的情况下，杆件可以大幅增加，从而降低计算爱；确保微元体单元间有足够的联系反映不均匀材料内部的 真实状况．一定程度} ：解决了材料在压缩荷载作用F 应力—应变曲线反映出比较脆的问题；同时通过研究不同单元尺寸和 幻化数时应力一应变曲线的脆性指数，为较大尺寸构件的模拟提供了一一种计算上的可能性 关键词：多重随机等效平面桁架模型；数值仿真试验；非均匀脆性材料，幻化数，单元尺寸 一、引言 经典的材料力学理论以及正处于发展阶段的断裂力学和损伤力学均对材料的连续性和均匀性有二定要求，而 工程中大量使用的混凝土、岩土等非均匀脆性材料恰恰在很大程度上不能满足这种要求，寻求理想的数理模型一 直是科研人员长期为之奋斗而未克服的难题。

以混凝土、岩土为代表的非均匀脆性材料的共同特点是内部存在大量缺陷，受力后，伴随变形，缺陷会笈展 成裂纹并随荷载增加进一步扩展，相互贯通材料的破坏过程实际上是由内部损伤积累导致整体失稳的过程 文献[ 1 ] 详细论述了这类材料的特点和研究现状，并提出了混凝土数值试验的理论和方法 建立在细观力学理论基础上的数值试验在一定程度上提供了分析研究混凝土、岩石等非均匀脆性材料力学性 能的途径它们基于一定的计算模型，如网格模型( L a t t i c em o d e I ) [ 2 ] 、随机粒子模型( R a n d o mP a r t i c l e m o d e l ) [ 3 ] 、M o h a m e d 和R a n s e n 的微观模型[ 4 】，所有这些模型都源于这样一个观点，即通过细观层次上的本构关 系描述宏观层次上的力学性能；本文借鉴这种思想建立多重随机等效平面桁架模型[ 5 ] ，该模型以传统网格模型( L a t t i c em o d e l ) 为出发点，借鉴了其将需要计算的连续体材料离散化为平面桁架单 元网格，但采用了与传统三角形、四边形网格单元形式不同的八结点方形基本单元[ 6 ] ? 并且考虑了结点的扰动 和多重随机幻化叠加等{ 将自动元胞机原理中的元胞单元法[ 7 ] 应用到模型中来，该方法将结构的整体求解变成 局部分析求解，通过力在局部区域问的不平衡传递达到最终的整体平衡：且具有以下优点： ( I ) 不需组装整体刚度矩阵，在大型结构求解方面有潜在优势。

( 2 ) 具有高度的并行能力 元胞单元法求解的过程可描述如下： ( 1 ) 借用有限元法的离散和插值技术将待解的结构划分为一系列单元和结点 ( 2 ) 以各结点为对象作如下循环运算 ①对当前计算结点的邻结点施加零位移约束( 即固定不动) ，所谓邻结点是指与计算结点同属某个单元的结 点 ②求计算结点的位移( 含转角) 若把计算结点及其邻结点所在的区域看作一个元胞( 小的子结构> ，则该 元胞的约束条件为周边固定，仅一个结点( 当前计算结点) 可产生运动该结点位移可用有限元( 刚度法) 求解， 若用先处理法，最多只需求解一个六元一次方程组，因为一个结点最多有6 个方向的位移( 含转角) ’ ③求邻结点的约束反力由计算结点的位移和其邻结点的零位移求出计算结点所属单元的结点力由此算 得邻结点的约束反力 ④将计算结点的荷载置零将邻结点的约束反力反向叠加到相应结点荷载中去 工业建筑2 0 0 8 增刊6 3 9 第八届全国现代结构工程学术研讨会 ⑤将计算结点位移与前次循环累加并存储 ( 3 ) 在每次循环结束时，检查各结点位移是否满足精度要求，若不满足继续下次循环，’’直到满足为止，循 环结束时得到平衡状态时各结点位移的近似值。

( 4 ) 由结点位移和单元几何物理方程求解单元应力应变等 元胞单元法的求解过程是以结点为对象作循环计算的，模犁中结点随机扰动、多重幻化叠加的新思想，增加 了剖分单元间的相互联系而非单元数量，实现对细观层次足够细致的状态描述，从而大大降低了结点数量，缩短 了计算时间 二、多重随机等效平面桁架的构成 ( 一) 等效平面桁架结点的扰动 Y X 图l 材料结构、基本平面桁架结构和随机扰动平面桁架结构的等效关系图 参照文献[ 6 ] 给出的建立在自动元胞机基础上的平面桁架构造方法，取材料结构微元体单元和基本桁架结构 的基本等效桁架单元，其中等效桁架单元外围尺寸与微元体单元等大，微元体单元的长度、宽度、厚度分别为a 、 a 、t ，平面内应变分别为“、Y 、7x y ，，弹性模量“0 ，剪切模量u ，泊松比“，基本等效桁架单元的杆件在 单元中心汇聚，称为结点为了反映材料的不均匀性，将结点在各自所在微元体单元范围内作随机扰动，形成基 本随机等效桁架，见图1 ，其中边界结点的处理规则为：顶点结点保持不动，各边上结点在单元范围内的边线上 作随机扰动 ” ( 二) 等效平面桁架结构的多重叠加 虽然结点随机扰动后所形成的平面桁架结构在一定程度上反映了材料的不均匀性，但是由于杆件较少。

不足 以反映材料内部的复杂情况，为了进’一步描述各微元体单元问的复杂联系，本文提出了结点和结构的幻化概念 即认为每一微元体单元中仅用～个结点不足以代表该微元体单元的状态，因此在每一微元体单元内，仿造基本等 效桁架单元的结点关系，同步构造附加结点，由此产生的结点称为幻化结点，产生的结构为幻化结构每次幻化 都形成了与初始结构构造相同的等效平面桁架．因此整体仿真模型可以看作是基本随机等效平面桁架结构的多重 叠加，故称为多重随机等效平面桁架结构[ 5 】各幻化结构除了在内部保持初始结构的构造关系外，在各幻化结 构间也建立相同的结构关系这种幻化过程可重复进行，重复的次数称为幻化数为了使微元体单元内的幻化结 点相互连接形成结构，幻化数至少等于2 图2 为图1 中基本等效平面桁架结构经两次幻化形成的多重随机等效平 面桁架结构． 图3 详细说明了幻化结构的形成过程图3 ( a ) 为基本等效桁架结构，图3 ( b ) 为经过一次幻化形成的等效 桁架结构，图3 ( c ) 为经过两次幻化形成的等效桁架结构 设基本等效平面桁架结构的节点数为N ，杆件数为B 幻化数为H ，则幻化后的等效平面桁架结构的节点数 D 和杆件数m 分别为： D = f H + 1 J Ⅳ 工业建筑2 0 0 8 增刊 第八届全国现代结构工程学术研讨会 m = ( Ⅳ十- ) 2 占+ ! ! L 掣j v ( 2 ) 对比( 1 ) 、( 2 ) 式可以看出，随着幻化数目H 的增加。

杆件数目的增加速度远大于节点数目的增加速度， 这正是多重随机等效平面桁架结构昀霞要价值所在，即在节点增加不多的情况下杆件可以大幅增加，从而可以 降低计算量，缩短计算时间，同时确保微元体单元问有足够的联系反映材料的真实状况 图2 基本等效平面桁架经两次幻化形成的平面桁架结构 A 图3 幻化结构的形成过程 三、等效平面桁架杆件截面面积的计算公式 取面积为s 非均匀脆性材料作为研究对象，相对于其等效平面桁架结构，该部分材料称为连续体根据连续 体庳变能和其等效平面桁架应变能相等的原则，建屯二者的等效关系方程[ 5 】：第￡根杆的截面面积、长度分别 为^ i 、‘i ，则多重随机等效平面桁架杆件截面面积的计算公式： ，，T 2 A = 6 ．5 6 ————_ ；≥——一 ( 3 ) 9 1 ，I t + 1 尸一l ／H + 1 J 应用多重随机等效平面桁架模型进行二维仿真试验的前提条件为： “= 0 ．3 9( 4 ) 工业建筑2 0 0 8 增刊 第八届全国现代结构工程学术研讨会 G = 0 ．4 6 B ( 5 ) 四、多重幻化数及单元尺寸影响分析 ’首先本文从典型非均匀脆性材料单向压缩应力一应变曲线的一般形式着手进行分析，典型非均匀脆性材料单 向压缩应力一应变曲线如图4 图4 典型非均匀脆性材料单向压缩应力一应变曲线 ‘- 一 由单向压缩应力一应变曲线可以看出。

当荷载达到“比例极限( A 点) ”以前，荷裁与变形接近直线关系( O A 段) ；荷载超过“比例极限”以后，变形增大的速度超过荷载增大的速度，荷载与变形之问不再接近线性关系( A B 段) ，而是呈现出不同程度的非线性，而且越接近极限容许衙载( B 点) ，变形的增大速度超过荷载增大的速 度越多，即呈现出的非线性程度越大，其应力—应变曲线明显的弯向应变轴方向；超过极限容许荷载以后，此时 材料的承载能力下降，荷载减小而变形迅速增大，以致完全破坏，这里需要注意的是虽然变形迅速增大，但不是 直接破坏，而是有一定的变形过程 针对单向压缩荷载作用下的应力一应变曲线定义脆性指数这个量，如图5 所示 表 型 ／＼ ‘I 一 图5 脆性指数的定义 肚苦 ‘渤 工业建筑2 0 0 8 增刊 第八届全国现代结构工程学术研讨会 立方体单向压缩试验为背景采用位移加载控制，单向抗压试验加载位移初始步长为0 ．O l 珊B ／步，以O ．0 0 5 毗／步 的步长逐级加载 图6 给出了在不同单元数目时，{ q l 化数为2 情况下单向压缩荷载作用下的应力一应变曲线’ 废变 图6 不同单元数目在单向压缩载荷作用下的应力一应变曲线 由图6 可知，在同一幻化数下，不同单元数目时基本上不影响数值试件的峰值强度，但随着单元数目的增多， 曲线的脆性指数减小。

这样可以解决传统网格模型中曲线较脆的问题，峰值后的那部分曲线精确将反映出材料超 过极限容许荷载以后荷载减小而变形增大这一过程但单元数目的增多，限于计算机容量及计算能力的限制， 难以进行正常的模拟分析 ( 二) 幻化数的影响分析 ‘ ： 多重随机幻化数的重要意义在于在结点增加不多的情况下杆件可以大幅增加，从而可以降低计算量，缩短 计算时间，同时确保微元体单元问有足够的联系反映不均匀材料的真实状况这里分析幻化数不同时，数值试样 的宏观力学响应所受的影响 对上述试验采用不同幻化数进行模拟，单元尺寸均为2 0 2 0 衄，图7 给出了在不同幻化数且其他参数均相同 情况下单向压缩荷载作用下的应力一应变曲线 由图7 可知，数值试件的峰值与图6 非常接近，当幻化数大于等于2 时．曲线整体呈现出了不同的非线性；在 不幻化( 只考虑结点的随机扰动) 时，应力一应变曲线的脆性指数较大，出现了材料受压时曲线过脆的问题当 幻化数为3 时过脆的弊端得到一定改善这是由于在模型中引入了扰动随机性来反映试件的不均匀性引起的，由 于模型中各个单元空间排列的千差万别，必然导致某些不同单元的杆件开始损伤，使得总体的破坏形态有一定的 差别。

工业建筑2 0 ∞增刊 蚤 葚 嵌 度变 图7 不同幻化数时单向压缩载荷作用下的应力一应变曲线 第八届全国现代结构工程学术研讨会 虽然总体的破坏形态有一定的差别，但用于模拟试件的桁架杆大多表现为拉伸损伤，也就是它们的破坏机制 是相同的，这种破坏形态的离散性在实验室也是屡见不鲜的，正如M i h a s h i 和W i t t m a n n [ 8 】等提到的“一些典型的 非常复杂的非均匀脆性材料，如混凝土、岩石等其断裂是一种高度局部化的现象，有关它们断裂行为测试的差异 是这种材料。