自动控制系统的数学模型.ppt

第2章 线性系统的数学模型内 容 提 要 实际存在的自动控制系统可以是电气的 、机械的、热力的、化工的，甚至是生物学 的、经济学的等等，然而描述这些系统的数 学模型却可以是相同本章介绍了系统的各 类数学模型如微分方程，传递函数，方框图 ，信号流图的求取以及它们之间的相互关系 知 识 要 点 线性系统的数学模型，拉普拉斯变换，传递函数的定义，方框图的简化自动控制理论以自动控制系统为研究对象 ，无论是对控制系统进行分析还是对校正装置 进行综合，都需要建立控制系统的数学模型 所谓数学模型是指能够描述系统变量之间 关系的数学表达式工程系统一般都是动态系 统，时域内连续时间集中参数系统的数学模型 是反映系统输入量和输出量之间关系的微分方 程描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、脉冲传递函数和状态空间表达式等建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法 以数学模型为依据控制系统可以被分 类为连续系统和离散（时间）系统、线性 系统和非线性系统、定常系统和时变系统 等。

控制系统的数学模型不是惟一的，根 据不同的建模目的可以建立不同的数学模 型，即使对于相同的建模目的也可以建立 不同形式的数学模型，对于工程上常见的 线性定常连续系统，常用的数学模型有微 分方程和传递函数等 .建立控制系统数学模型的方法有解析法和 实验法两种解析法也称机理分析法，属于理 论建模的范畴，是通过分析控制系统的工作原 理，利用系统各组成部分所遵循的物理学基本 定律来建立变量之间的关系式实验法也称实 验辨识法，是通过实验对系统在已知输入信号 作用下的输出响应数据进行测量，利用模型辨 识方法，来建立反映输入量和输出量之间关系 的数学方程2.12.1数学模型的建立与定义方法数学模型的建立与定义方法 一、定义系统的数学模型是描述系统的输入与输出变量，以及内 部各变量之间关系的数学表达式、图表、曲线 二、数学模型的建立 1、方法 (1)解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理化 学定律，列出变量间的数学表达式 (2)实验方法：通过实验求出系统或元件各变量之间的关 系 2、型式 微分方程、传递函数、结构图、状态变量表达式 3、说明 数学模型的建立应该在模型的准确性和简化性之间作折衷 考虑。

线性系统的微分方程线性系统的微分方程 （1）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节 ，确定系统和环节的输入、输出变量，每个环节 可考虑列写一个方程；（2）根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、 化学定律)或通过实验等方法得出的基本规律，列 写各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性 化；（3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后 得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程；（4）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输 入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列 ，最后将系统归化为具有一定物理意义的形式， 成为标准化微分方程 电气系统中最常见的是由电阻元件、电容元件、 电感元件以及运算放大器等组成的无源或有源电路， 也称电气网络2.1.1 微分方程的建立例2-1 图2-1所示为典型 的RLC串联电路，以ui(t)为 输入量， uo(t)为输出量 列写该电路的微分方程 整理，可得描述系统输入量和输出量之间关系 的微分方程解：引入回路电流作为中间变量，列写变量关系方程——二阶线性定常系统 例2-3 图为一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统 时，系统将产生运动试列写外力F(t)与位移y(t)之 间的微分方程。

解 弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F1(t)和粘 性摩擦阻力F2(t)，根据牛顿第二定律有 ：其中F1(t)和F2(t)可由弹簧、阻尼器特性写出 式中 k —— 弹簧系数f —— 阻尼系数整理且标准化 令 称为时间常数 ；称为阻尼比；称为放大系数 得例2-4考虑图2-4所示液位控制系统，其中水箱水 位H为被控量，忽略次要因素，引起水箱水位变化 的物理量主要是输入流量Q1和负载流量Q2试确 定该系统，节流阀开度一定时水箱水位与输入流量 的关系方程 解：根据物质守恒定律，列出液位系统流体过程的 关系方程——非线性微分方程 式中，A为容器截面积当节流阀开度一定时，通过包 含连接导管和容器的液体流量为 式中，K为节流阀的流量系数将式（2-18）代入（2-17）中可得水箱水位与进水 流量的关系方程（2-17）（2-18）一般情况下，描述线性定常系统输入与输 出关系的微分方程为 :或一、比例环节1、数学表达式：c(t)=kr(t) （2-1） 式中c(t)为输出变量，r(t)为输入变量，k为该环节 的放大系数。

2、特点 输出量与输入量的频率无关，任何突变形式的输入都 能在输出中连续地按比例重现 3、实例 机械杠杆、齿轮、电位器、测速发电机、理想变压器 、电子放大器等 4、说明 实际比例环节都有惯性，但与系统中其他环节比较， 惯性要小得多，因而认为它无惯性二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）1、数学表达式 ：2、特点一阶惯性环节含有一个储能元件，输入 量的作用不能立即在输出端全部重现出来， 而是有一个延缓，即有惯性 3、实例例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur为 输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程图2-2 RC网络解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电 容电压uC为输出；（2）列微分方程组：由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ①由欧姆定律有： uR=R i ②由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③（3）消去中间变量由③式有： i=C ④将④式代入②式有：uR=RC ⑤将⑤式代入①式有RC +uC= ur ⑥（4）标准化：令RC=T，即该电路的充放电时间常数，代入⑥式有：T +uC= ur1、输入量（激励） 2、输出量（响应）3、被控制量 4、控制量（控制作用）5、反馈6、干扰（扰动）7、自动调节系统三、微分环节三、微分环节三、微分环节 数学表达式 ①理想情况(理想微分环节) c(t)=T②一般情况(有惯性微分环节) T+c(t)= T 2、特点：输出是输入对时间的微分，即输出是 输入的变化率。

3、实例例2-3： 如图2-4所示电容电阻串联电路，总电压 ur为输入，电阻上的电压uR为输出，试建立其微 分方程图 2-4 CR串联电路第2章 线性系统的数学模型 第2章 线性系统的数学模型 四、积分环节四、积分环节1、表达式： c(t)=k∫r(t)dt2、特点：输出量与输入量的积分成比例3、实例他激直流电动uj=常数uanυ例2-6 如图2-7所示，他激 直流电动机转轴角位移θ为 输出，电框电压ua为输入， 加恒定直流激励，并忽略电 枢回路的时间常数（即认为 电枢电流是瞬时增长到稳定 值），有：θ=k∫uadt第2章 线性系统的数学模型 五、振荡环节（二阶滞后环节）五、振荡环节（二阶滞后环节）1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统 的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌 握自动控制系统各组成部分及其功能2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的 反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的 对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的 基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系 统的性能指标打好基础 第2章 线性系统的数学模型 六、纯滞后环节（纯延迟环节）六、纯滞后环节（纯延迟环节）表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。

实例：延时继电器传递函数是线性定常连续系统最重要的数 学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形 式利用传递函数，不必求解微分方程就可以 求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号 作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数 的变化对控制系统性能的影响经典控制理论 的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析 法都是建立在传递函数基础上的2-2 传递函数 传递函数的概念及定义传递函数的概念及定义§2.§2.2 2 传递函数传递函数2.2.1 传递函数在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统的传递函数 即，若已知线性定常系统的微分方程为 式中c(t)为输出量，r(t)为输入量 设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对式 (2-47)取拉氏变换，得 则系统的传递函数为 或写为 传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示 2.2.2 传递函数的特点 1.作为一种数学模型，传递函数只适用于线性 定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变 换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算 2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定 常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系 统内在的固有特性，只与系统的结构、参数有 关，而与输入量或输入函数的形式无关。

3.传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的， 视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量 与输出量所必须的单位，它不能表明系统的物理特 性和物理结构许多物理性质不同的系统，有着相 同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相 同的微分方程描述一样 4.传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关 系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数阵表示 5.传递函数式可表示成 式中p1，p2……pn为分母多项式的根，称为传 递函数的极点；z1、z2、… zn为分子多项式的根，称为传递函数的零 点； 6.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为而D(s)=0称为特征方程传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n≥m这是由于实际系统的惯性所造成的 典型输入信号及其拉普拉斯变换单位阶跃函数 单位斜坡函数单位抛物线函数 单位脉冲函数，-函数 -函数的强度，也称单 位脉冲函数的冲量定义 为:2.2.3 典型环节的传递函数 控制系统由许多元件组合而成，这些元件的物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开具体结构和物理特点，从传递函数的数学模型来看，可以划分成几种典型环节，常用的典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、延迟环节等。

1. 比例环节 环节输出量与输入量成正比，不失真也无 时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环 节输入量与输出量之间的表达式为 c(t)=Kr(t) 比例环节的传递函数为 式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益 实际中分压器、测速发电机、忽略弹性变形 后的杠杆以及不考虑非线性和惯性的电子放大器 等都可以近似地认为是比例环节2. 惯性环节(非周期环节 ) 惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程 其传递函数为 式中 T—— 惯性环节的时间常数K—— 惯性环节的增益或放大系数 当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为 单位阶跃响应曲线 惯性环节的阶跃响应是单调上升的是非周期 过程，因而也称惯性环节为非周期环节 惯性环节实例很多，如图所示的R-L网络，输入为电压u，输出为电感电流i，其传递函数式中 3. 积分环节 输出量正比于输入量的积分的环节称为。