排列组合解题技巧.docx

排列组合 21 法1、相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一组，当做一个大元素参与排列例1. A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）A.60种 B.48种 C.36种 D.24种*把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人全排列，A4二24种42、 相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列， 再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端例2.七人并排站成一列，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A.1440不申B.3600种 C.4820种 D.4800种*除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A2种，不同的排法种数是56As A2 = 3600 种563、 定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的 方法例3. A,B,C,D,E五人并站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A.24种 B.60种 C.90种 D.120种* B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一 半，即1 As = 60种。

254、 标号排位问题分步法（错位排列）：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排 入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成例 4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A.6种 B.9种 C.11种 D.23种*先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个 方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3 x 3 x1 = 9种填法5、 有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担 这三项任务，不同的选法种数是（）种A.1260 B.2025 C.2520 D.5040 *先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另 外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C2C1C1二2520种2）12名同学分别10 8 7 到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案有（ ）A. C4 C4C4种 B.3C4 C4C4种 C.C4 C4 A3种 D.—12 8 4 种12 8 4 12 8 4 12 8 3 A336、全员分配问题分组法例 6.（1）4 名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案 有多少种？*把四名学生分成3组有C 2种方法，再把三组学生分配到三所学校有 A3种，故共有43C2A3二36种方法。

说明：分配的元素多余对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分 43配2） 5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A.480种B. 240种 C.120 种 D.96 种7、 名额分配问题隔板法例 7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ *10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的 9个空位中插入6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C6二84种98、 限制条件的分配问题分类法例 8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？*因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案A4种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学8生有A3方法，所以共有3A3种；③若乙参加而甲不参加同理也有3A3种；④若甲乙都参加，8 8 8则先安排甲乙，有7种方法，然后再排其余8人到另外两个城市有A2种，共有7A2方法。

88所以共有不同的派遣方法总数为A4 + 3A3 + 3A3 + 7A2二4088种88889、 多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分 别计数，最后总计例 9.（1）由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中各位数字小于十位数字的共有（）A.210种 B.300种 C.464种 D.600种*按题意，个位数字只可能是0丄2,3和4共5种情况，分别有A5、A1A1 A3、A1A1 A3、A1A1 A35 4 3 3 3 3 3 2 3 3和 A1A3 个，合并总计300个332）从1,2,3 ,100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？*被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7 整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记作A二考,14,21…98｝共有14个元素，不能被 7整除的数组成的集合记作B二仁2,3,4,…,100｝共有86个元素；由此可知，从A中任取2个元素的取法有C2,从A中任取一个，又从B中任取一个共有C1 C1 ,两种情形共符合14 14 86要求的取法有C2 + C1 C1二1295种。

14 14 86（3）从1,2,3…,100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？*将I二｛,2,3,…,100｝分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A =仃,8,12…100｝；能被 4除余1的数集B二｛,5,9,…,97｝，能被4除余2的数集C二任6,10,…,98｝，能被4除余3 的数集D二《,7,11,…,99｝，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符 合要求；从A中任取一个数，再从B, C,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C2 + 3C1 C1 + C2种25 25 25 2510、 交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 n（A u B ）= n（A）+ n（B ）- n（A n B ）例10•从6名运动员中选出4人参加4 X100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒， 共有多少种不同的参赛方案？*设全集I二幺人中任取4人参赛的排列｝ ， A二甲跑第一棒的排列｝， B二乙跑第四棒的排列｝，根求集合元素个数的公式得参赛方法共有 nG）- n（A）- n（B）+ n（A n B）= A4 - A3 - A3 + A2 = 252 种。

655411、 定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它 的元素例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少 种？*老师在中间三个位置上选一个有A1种，4名同学在其余4个位置上有A4种方法；所以共34有 A1 A4 = 72 种3412、 多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理例12X1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A.36种B.12 0 种 C.720种 D.1440种*前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A6二720种6（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元 素排在后排，有多少种不同排法？（）A.140种 B.80种 C.70种 D.35种*（1）逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有C3 - C3 - C3二70种⑵至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况:甲型1945台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有C2C1 + C1C2二70台。

5 4 5 414、 选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上， 可用先取后排法例14. （1）四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？*“先取”四个球中的二个为一组，另二组各一个球的方法有C2种，“再排”在四个盒中每4次排3个有A3种，故共有C2A3二144种4 4 4（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同 的分组方法？*先取男女运动员各2名，有C2C2种，这四名运动员混合双打练习有A2种排法，故共有5 4 2C2C2A2 = 120 种54215、 部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不 符合条件数，即为所求例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A.70种 B.64种 C.58种 D.52种*正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C4四面体，但6个表面和6个对角面的四8个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C4 -12二58个8（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A.150 种 B.147 种 C.144 种 D.141 种* 10个点中任取4个点共有C4种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，10每面内四点共面的情况为C4，四个面共有4C4个；②过空间四边形各边中点的平行四边形66共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共 6个。

所以四点不共面的情况的种数是C4 一4C4 一3一6 = 141 种10 616、 圆排问题线排法：把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相 同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列 n个普通排列：件a2,々…,a ；役，a3,耳'…，a，《；…，a，件…在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重n!合，故认为相同，n个元素的圆排列数有二种因此可将某个元素固定展成线排，其它的nn -1元素全排列例 1 6. 5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？*首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有A4种，然后再让妹妹插入其间，每位均可插入其4姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式24 x 25 = 768种不同站法说明：从n 个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有丄Am种不同排法mn17、 可重复的排列求幂法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有mn种方 法例 17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ *完成此事共分6步，第一步：将第一名实习生分配到车间有7 种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依此类推，由分步计数原理知共有76种不同方案。

18、 复杂排列组合问题构造模型法例18•马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？*把此问题当作一个排队模型，在6盏亮灯的。