角平分线性质和判定.docx

角平分线性质和判定一. 教学内容：1. 角平分线的作法.2. 角平分线的性质及判定.3. 角平分线的性质及判定的应用.二. 知识要点：1. 角平分线的作法（尺规作图）① 以点O为圆心，任意长为半径画孤，交OA、OB于C、D两点;② 分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画孤，两孤交于点P；③ 过点P作射线OP，射线OP即为所求.2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.①推导已知：OC平分ZMON，P是OC上任意一点，PA±OM，PBXON， 垂足分别为点A、点B.求证：PA = PB.证明：VPAXOM，PBXON・.・ZPAO=ZPBO = 90°VOC 平分 ZMON・.・Z1 = Z2在△?入和八PBO中，.•.△PAO*PBO・PA=PB②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，・「OP 平分ZMON （/1 = /2）, PA±OM, PBXON, ・.・PA=PB.（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.①推导已知：点 P 是ZMON 内一点，PAXOM 于 A, PBXON 于 B,且 PA = PB.求证：点P在ZMON的平分线上.证明：连结OP{PA=PB. °P=0P.\RtAPAO^RtAPBO （HL）・.・Z1 = Z2・.・OP平分ZMON即点P在ZMON的平分线上.②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.）如图所示,VPAXOM, PB±ON, PA = PB・.・Z1 = Z2 （OP平分ZMON）3. 角平分线性质及判定的应用① 为推导线段相等、角相等提供依据和思路;② 实际生活中的应用.例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公 路桥头的距离为300米.在下图中标出工厂的位置，并说明理由.4. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个 三角形三条边所在直线的距离的关系.L U J C DG ）俯个内增的箫平会我 （2）—个内角和一H卜角的免平分线 （3）两个外角的角平分线三. 重点难点：1. 重点：角平分线的性质及判定2. 难点：角平分线的性质及判定的应用【考点分析】本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现， 但角平分线的性质及判定有时出现在综合题题目当中，因此还是比较重要 的.【典型例题】例 1.已知：如图所示，/C=/C'=90°，AC=AC'.求证：（1）/ABC=/ABC‘；（2） BC = BC'（要求：不用三角形全等判定）.分析：由条件ZC=ZCZ=90，AC=AC'，可以把点A看作是ZCBC'平分线上的点，由此可打开思路.证明：（1）.../C=/C'=90。

已知），•.•AC1BC, ACZ±BCZ（垂直的定义）.又 V AC=ACZ （已知），.••点A在ZCBC'的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线 上）..•ZABC=ZABCZ.（2）VZC=ZCz,ZABC=ZABCz,.•180°-（ZC+ZABC）=180°-（ZCz+ZABCz）（三角形内角和定理）. 即 ZBAC=ZBACZ,VAC±BC,ACZ±BCZ,・・・BC = BC'（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）.评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作 用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样 性.例2. 如图所示，已知△ ABC中，PE〃AB交BC于E，PF〃AC交BC于F，P是AD 上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分ZBAC，并说 明理由.分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的 判定定理.根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出Z1 = Z2,再利用平行 线推得Z3 = Z4,最后用角平分线的定义得证.解：AD平分ZBAC.VD到PE的距离与到PF的距离相等，..•点D在ZEPF的平分线上..•Z1 = Z2.又 VPE#AB，AZ1 = Z3.同理，/2=/4..•Z3 = Z4，AAD 平分ZBAC.评析：由角平分线的判定判断出PD平分ZEPF是解决本例的关键.“同 理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”.例3.如图所示，已知△ ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分 ZBAC ?请说明理由.由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要 作出点P到三边的垂线段.解：AP平分ZBAC.结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.理由：过点P分别作BC, AC, AB的垂线，垂足分别是E、F、D.VBM是ZABC的角平分线且点P在BM上，・・・PD = PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）.同理PF=PE，・・PD = PF.・・・AP平分ZBAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）.例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的 平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建 立平面直角坐标系.（1） 学校距铁路的距离是多少？（2） 请写出学校所在位置的坐标.分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公 路的距离相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号.解：（I）：点P在公路与铁路所夹角的平分线上，..•点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，又..•点P到公路的距离是400m，..•点P （学校）到铁路的距离是400m.（2）学校所在位置的坐标是（400，—400）.评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等.例5.如图所示，在△ ABC中，ZC = 90°，AC = BC，DA平分ZCAB交BC于D， 问能否在AB上确定一点E，使ABDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E， 并给出证明；若不能，请说明理由.分析：由于点D在ZCAB的平分线上，若过点D作DEXAB于E,则DE = DC.于 是有BD+DE = BD + DC = BC=AC,只要知道AC与AE的关系即可得出结论.解：能.过点D作DEXAB于£,则左BDE的周长等于AB的长.理由如下：VAD 平分/CAB, DC±AC, DE±AB,・.・DC = DE.在 RtAACD 和 RtAAED 中，，.\RtAACD^RtAAED (HL).・AC=AE.又...AC = BC,..・AE = BC.「•△BDE 的周长 = BD+DE+BE = BD + DC + BE = BC+BE=AE + BE=AB.评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要 解决的问题之间的联系.本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化.这 是初中几何中常用的一种数学思想.【方法总结】学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的 点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解 决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉 了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当 于重新证明了一次这两个结论.所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕 远路.【模拟试题】(答题时间：90分钟)一. 选择题1.如图所示，OP平分/AOB, PCXOA于C, PDXOB于D,则PC与PD的大小关 系是( )A. POPD B. PC = PDC. PCVPD D.不能确定2.在 Rt^ABC 中，/C = 90°, AD 是角平分线，若 BC=10, BD : CD = 3 : 2，则 点D到AB的距离是（）A. 4 B. 6 C.8 D. 103. 在^ABC中，/C = 90°, E是AB边的中点，BD是角平分线，且DEXAB，则 （）A. BOAE B. BC=AE C. BCVAE D.以上都有可能4. 如图所示，点P是ZBAC的平分线AD上一点，PEXAC于点E，已知PE = 3, 则点P到AB的距离是（）A. 3 B. 4 C.5 D. 65. 如图所示，在△ ABC中，/C = 90°，AD平分ZBAC，AE = AC，下列结论中错 误的是（）A. DC = DE B. ZAED = 90° C. ZADE=ZADC D. DB = DC6. 到三角形三边距离相等的点是（）A.三条高的交点 B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点 D.不能确定7. 如图所示，AABC 中，ZC = 90°，AC = BC，AD 平分ZCAB 交 BC 于 D，DELAB 于E，且AB = 6cm，则^DEB的周长为（）A. 4cm B. 6cm C.10cm D.以上都不对8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库， 要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）二处C.三处D.四处9. 如图所示，点P是ZCAB的平分线上一点，PFXAB于点F, PEXAC于点E, 如果PF=3cm，那么PE=.10. 如图所示，DB±AB, DC±AC, BD = DC, ZBAC = 80°,则ZBAD= ZCDA=.11. 如图所示，P在ZAOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD = PE时，必 须满足的条件是.12. 如图所示，ZB=ZC，AB=AC，BD = DC，则要证明AD是ZBAC的线.需要通过 来证明.如果在已知条件中增加/B与/C互补后，就可以通过 来证明.因为此时BD与DC已经分别是 的距离.13. 如图所示，C为/DAB内一点，CDXAD于D，CBXAB于B，且CD = CB，则点 C在.14. 如图所示，在RtAACB中，/C = 90°, AD平分ZBAC交BC于点D.(1) 若BC = 8, BD = 5,则点D到AB的距离是.(2) 若BD : DC = 3 : 2,点D到AB的距离为6,则BC的长为.15. (1).「OP平分ZAOB，点P在射线OC上，PDXOA于D, PEXOB于E,「・(依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等).(2)VPD±OA, PE±OB, PD = PE,..・OP 平分ZAOB (依据：).三.解答题16. 已知：如图，在RtAABC中，ZC = 90°, D是AC上一点，DEXAB于E,且 DE=DC．(1) 求证：BD平分ZABC；(2) 若ZA = 36°，求ZDBC的度数.17. 如图：AABC中，AD是ZBAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且Z EDF+ZBAF=180°.(1) 求证：DE = DF；(2) 若把最后一个条件改为：AE>AF,且ZAED+ZAFD= 180°,那么结论还成 立吗？18. 如图，Z1 = Z2, AE±OB于E, BD±OA于D, AE与BD相交于点C.求。