硕士入学考试：2021年[数学一]考试真题与答案解析.pdf

硕士入学考试：2021 年数学一考试真题与答案解析硕士入学考试：2021 年数学一考试真题与答案解析一、选择题一、选择题若函数在处连续，则1 cos,0(),0 xxf xaxbx0 x（A）（B）（C）（D）12ab 12ab 0ab 2ab 答案解析：，要使函数在00011 cos12lim()limlim2xxxxxf xaxaxa0lim()(0)xf xbf处连续，必须满足所以应该选（A）0 x 1122baba2设函数是可导函数，且满足，则()f x()()0f x fx（A）（B）（C）（D）（A）（B）（C）（D）(1)(1)ff11()()ff 11()()ff 11()()ff 答案解析：设，则，也就是是单调增加函2()()g xf x()2()()0g xf x fx2()f x数也就得到，所以应该选（C）22(1)(1)(1)(1)ffff3函数在点处沿向量的方向导数为22(,)f x y zx yz(1,2,0)(1,2,2)n（A）（B）(C）（D）12642答案解析：，所以函数在点处的梯度为，22,2fffxyxzxyz(1,2,0)4,1,0gradf 所以在点处沿向量的方向导数为22(,)f x y zx yz(1,2,0)(1,2,2)n 应该选（D）014,1,0(1,2,2)23fgradf nn 甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线1()vv t2()vv t（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为，计时开始后乙追上甲的时10,20,3刻为，则（）0t（A）（B）010t 01520t（C）（D）025t 025t 答案解析：由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，表示时刻内所走的路程本题中的阴影面积分别表示21()()TTS tv t dt12,T T123,SSS在时间段内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在时乙追 0,10,10,25,25,3025t 上甲，应该选（C）5设为 单位列向量，为 阶单位矩阵，则nEn（A）不可逆 （B）不可逆TETE（C）不可逆 （D）不可逆2TE2TE答案解析：矩阵的特征值为 和个，从而T11n0,2,2TTTTEEEE的特征值分别为；显然只有存在零0,1,1,12,1,1,11,1,1,13,1,1,1TE特征值，所以不可逆，应该选（A）6已知矩阵，则 200021001A210020001B100020002C（A）相似，相似 （B）相似，不相似,A C,B C,A C,B C（C）不相似，相似 （D）不相似，不相似,A C,B C,A C,B C答案解析：矩阵的特征值都是 是否可对解化，只需要关心,A B1232,12的情况对于矩阵，秩等于 1，也就是矩阵属于特征值存在A0002001001EAA2两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是AC对于矩阵，秩等于 2，也就是矩阵属于特征值只有B0102000001EBA2一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然不相似故选择,B C（B）7设是两个随机事件，若，则的充分,A B0()1P A0()1P B(/)(/)P A BP A B必要条件是（A）（B）（A）（B）(/)(/)P B AP B A(/)(/)P B AP B A（C）（D）（C）（D）(/)(/)P B AP B A(/)(/)P B AP B A答案解析：由乘法公式：可得下面结论：()()(/),()()(/)P ABP B P A B P ABP B P A B()()()()(/)(/)()()()()1()()P ABP ABP AP ABP A BP A BP ABP A P BP BP BP B类似，由可得()()(/),()()(/)P ABP A P B A P ABP A P B A()()()()(/)(/)()()()()1()()P ABP ABP BP ABP B AP B AP ABP A P BP AP AP A所以可知选择（A）所以可知选择（A）8设为来自正态总体的简单随机样本，若，则12,(2)nXXXn(,1)N11niiXXn下列结论中不正确不正确的是（）（A）服从分布 （B）服从分布 21()niiX2212nXX2（C）服从分布 （D）服从分布21()niiXX22()n X2解：（1）显 然且 相 互 独 立，所 以22()(0,1)()(1),1,2,iiXNXin服从分布，也就是（A）结论是正确的；21()niiX2()n（2），所以（C）结论也是正确的；222221(1)()(1)(1)niinSXXnSn（3）注意，所以（D）结论也是221(,)()(0,1)()(1)XNn XNn Xn正确的；（4）对于选项（B）：，所221111()(0,2)(0,1)()(1)22nnnXXXXNNXX以（B）结论是错误的，应该选择（B）二、填空题二、填空题9已知函数，则 21()1f xx(3)(0)f解：由函数的马克劳林级数公式：，知，其中为展()0(0)()!nnnff xxn()(0)!nnfn ana开式中的系数nx由于，所以24221()1(1),1,11nnf xxxxxx (3)(0)0f10微分方程的通解为 230yyy答案解析：这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程有一对2230rr共共轭的根，所以通解为12ri 12(cos2sin2)xyeCxCx11若曲线积分在区域内与路径无关，则 .221Lxdxaydyxy22(,)|1Dx yxya 答案解析：设，显然 在区域内具2222(,),(,)11xayP x yQ x yxyxy(,),(,)P x y Q x y有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有1QPaxy 12幂级数在区间内的和函数为 111(1)nnnnx(1,1)答案解析：111121111(1)(1)()(1)1(1)nnnnnnnnnxnxxxxx所以21(),(1,1)(1)s xxx 13设矩阵，为线性无关的三维列向量，则向量组101112011A123,的秩为 123,AAA答案解析：对矩阵进行初等变换，知矩阵 A101101101112011011011011000A的秩为 2，由于为线性无关，所以向量组的秩为 2123,123,AAA14设随机变量的分布函数，其中为标准正态分X4()0.5()0.52xF xx()x布函数，则 EX 答案解析：随机变量的概率密度为，所以X4()()0.5()0.25()2xf xF xx4()()0.5()0.25()240.25()0.25 2(24)()22()2xE Xxf x dxxx dxxdxxxdxtt dtt dt三、解答题三、解答题15（本题满分 10 分）设函数具有二阶连续偏导数，求，(,)f u v(,cos)xyf ex0|xdydx202|xd ydx答案解析：，；12(,cos)(,cos)(sin)xxxdyfex efexxdx01|(1,1)xdyfdx2111122222122(,cos)(,cos)sin(,cos)cos(,cos)sin(,cos)sin(,cos)xxxxxxxxxxd ye fexefex exfexxfexdxxe fexxfex2011122|(1,1)(1,1)(1,1)xd yfffdx16（本题满分 10 分）求21limln 1nnkkknn答案解析：由定积分的定义120111201limln 1limln 1ln(1)11ln(1)24nnnnkkkkkkxx dxnnnnnx dx17（本题满分 10 分）已知函数是由方程()y x333320 xyxy答案解析：在方程两边同时对 求导，得x （1）2233330 xy yy 在（1）两边同时对 求导，得x2222()0 xy yy yy也就是222()1xy yyy 令，得当时，；当时，0y 1x 11x 11y 21x 20y 当时，函数取极大值；11x 0y 10y ()yy x11y 当时，函数取极小值21x 0y 10y ()yy x20y 18（本题满分 10 分）设函数在区间上具有二阶导数，且，证明：()f x0,1(1)0f0()lim0 xf xx（1）方程在区间至少存在一个实根；()0f x 0,1（2）方程在区间内至少存在两个不同实根2()()()0f x fxfx0,1证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件可知，存在，0()lim0 xf xx01及，使得，由于在上连续，且，由零点定理，1(0,)x1()0f x()f x1,1x1()(1)0f xf存在，使得，也就是方程在区间至少存在一个1(,1)(0,1)x()0f()0f x 0,1实根；（2）由条件可知，由（1）可知，由洛尔定理，存在0()lim0 xf xx(0)0f()0f，使得；(0,)()0f设，由条件可知在区间上可导，且，()()()F xf x fx()F x0,1(0)0,()0,()0FFF分 别 在 区 间上 对 函 数使 用 尔 定 理，则 存 在 0,()F x使 得，也 就 是 方 程12(0,)(0,1),(,)(0,1),1212,()()0FF在区间内至少存在两个不同实根2()()()0f x fxfx0,119（本题满分 10 分）设薄片型 是圆锥面被柱面所割下的有限部分，其上任一点的密S22zxy22zx度为，记圆锥面与柱面的交线为2229 xyzC（1）求在布上的投影曲线的方程；CxOy（2）求 的质量S.M答案解析：（1）（1）交线的方程为，消去变量，得到C2222zxyzxz222xyx所以在布上的投影曲线的方程为CxOy222.0 xyxz（2）利用第一类曲面积分，得222222222222222222222(,)9911864SSxyxxyxMx y z dSxyz dSxyxyxydxdyxyxyxy dxdy20（本题满分 11 分）设三阶矩阵有三个不同的特征值，且123,A 3122.（1）证明：；()2r A（2）若，求方程组的通解123,Ax答案解析：（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以是非零矩阵，也A就是()1r A 假若时，则是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有，又()1r A 0r()2r A 因为，也就是线性相关，也就只有31220123,()3r A()2r A（2）因为，所以的基础解系中只有一个线性无关的解向量由于()2r A 0Ax，所以基础解系为；31220121x又由，得非齐次方程组的特解可取为；123,Ax111 方程组的通解为，其中 为任意常数Ax112111xk k21（本题满分 11 分）设二次型在正交变换下的标准形222123123121323(,)2282f x x xxxaxx xx xx xxQy为，求 的值及一个正交矩阵221122yyaQ答案解析：二次型矩阵21411141Aa因为二次型的标准形为也就说明矩阵有零特征值，所以，故221122yyA0A 2.a 114111(3)(6)412EA 令得矩阵的特征值为0EA1233,6,0 通过分别解方程组得矩阵的属于特征值的特征向量，()0iEA x13 111131属于特征值特征值的特征向量，的特征向量，2621102130311261 所以为所求正交矩阵12311132612,036111326Q 22（本题满分 11 分）设随机变量相互独立，且的概率分布为，的概率密,X YX1022P XP XY度为2,01()0,yyf y其他（1）求概率；P YEY（）（2）求的概率密度ZXY答案解析：（1）1202()2.3YEYyfy dyy dy所以230242.39P YEYP Yydy（2）的分布函数为ZXY(),0,20,2,2112221()(2)2ZYYFzP ZzP XYzP XYz 。