2009—数三真题标准答案及解析.docx

精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -全国硕士讨论生入学统一考试数学三试题一、挑选题： 1～ 8 小题，每道题 4 分，共 32 分，以下每道题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .x x3（ 1）函数f 〔 x〕sin的可去间断点的个数为x〔A〕1. 〔B〕2. 〔C〕3. 〔D〕 无穷多个 .（ 2）当 x0 时，f 〔 x〕x sin ax 与g〔 x〕x2 ln〔1bx〕 是等价无穷小，就(A) a1 ， b1. （ B ） a61 ， b 1 .6〔C〕 a1， b1. （ D ） a61 ， b 1 .6（ 3）使不等式x sin t dtln x 成立的 x 的范畴是1 t〔A〕 〔0,1〕 . 〔B〕 〔1, 〕 . 〔C〕 〔 , 〕 . 〔D〕 〔 , 〕 .2 2（ 4）设函数 y f x 在区间 1,3 上的图形为f 〔x〕1O-2 -1 12 3 x就函数xF x f t dt 的图形为0f〔x〕 f 〔x〕1 1O-2 1-1〔A〕2 3 xO1-2-1〔B〕2 3 x精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -f 〔x〕 f 〔x〕1 1-1 O 12 3 xO-2 12 3 x-1(C) 〔D〕（5）设A, B 均为 2 阶矩阵，A , B* 分别为A, B 的相伴矩阵，如 | A | 2,|B | 3 ，就分块矩阵 O A 的B O相伴矩阵为O3B*O 2B*〔A〕〔C〕2A*O2B*. 〔B〕O3A*. 〔D〕O3A*O3B*.O2A*.O1 0 0（6）设A, P 均为3 阶矩阵， P T 为 P 的转置矩阵，且 PT AP 010，002如 P 〔 1,2 , 3 〕, Q〔 1 2 , 2 ,3 〕 ，就QT AQ 为210110〔A〕110 .〔B〕 120.0020022 0 0〔C〕 0 1 00 0 2. 〔D〕1 0 00 2 0 .0 0 2（ 7）设大事 A 与大事 B 互不相容，就(A) P〔 AB〕 0 . 〔B〕P 〔 AB 〕P〔 A〕P〔 B 〕 .〔C〕 P〔 A〕 1P 〔 B〕 . 〔D〕P〔A B〕 1 .（ 8 ） 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 ， 且 X 服 从 标 准 正 态 分 布N 〔 0 , 1，〕Y 的 概 率 分 布 为P{ Y为0 } P { Y1} 1 ，记2Fz 〔Z 〕 为随机变量 Z XY 的分布函数，就函数Fz 〔 Z 〕 的间断点个数精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -〔A〕 0. 〔B〕1. 〔C〕2 . 〔D〕3.二、填空题： 9~14 小题，每道题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .e ecos x（9） lim .x 0 3 1 x2 1（10）设 z〔 x ey 〕x ，就z.x 〔1,0〕（11）幂级数en 〔 1〕n 2xn 的收敛半径为 .n 1 n（12）设某产品的需求函数为Q Q 〔P〕 ,其对应价格 P 的弹性 p0.2 ，就当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 元.3 0 0（13）设 〔1,1,1〕T , 〔1,0,k 〕T ，如矩阵 T 相像于 000，就 k.000〔14〕 设X1 ，X 2 , ,X n 为来自二项分布总体B〔 n,2p 〕的简洁随机样本， X 和 S 分别为样本均值和样本方差，记统计量T X S ，就 ET .2三、解答题： 15～ 23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .（15）（此题满分 9 分）求二元函数f 〔 x, y〕x2 2 y2y lny 的极值 .（16）（此题满分 10 分）运算不定积分ln〔11 x 〕dx 〔xx0〕 .（17）（此题满分 10 分）运算二重积分 〔x y〕dxdy ，其中 DD（18）（此题满分 11 分）{〔 x, y〕 〔x1〕2〔 y 1〕22, y x} .（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，如函数f 〔x〕 在 a,b 上连续，在a, b 上可导，就a, b ，得证f 〔b〕f 〔a〕f ' 〔 〕b a .'（Ⅱ） 证明： 如函数 f 〔 x〕 在 x 0处连续， 在 0, ,〔 0〕 内可导， 且 limf ' 〔 x〕A ，就f 〔0〕存在，x 0且 f ' 〔0〕 A .（19）（此题满分 10 分）精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -设 曲 线y f 〔x〕， 其 中f 〔x〕是 可 导 函 数 ， 且f 〔 x〕 0. 已 知 曲 线y f 〔 x〕与 直 线 y0, x 1 及x t 〔t 1〕 所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线的方程 .（20）（此题满分 11 分）1 1 1 1设 A= 1 1 1 , 1 1 .20 4 2 2（Ⅰ）求满意A 2 1 ， A 3 1 的全部向量 2 ， 3 .（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量 2 , 3 ，证明 1 , 2 , 3 线性无关 .（21）（此题满分 11 分）设二次型f 〔 x , x , x 〕 ax 2 ax 2 〔a 1〕x 2 2x x 2x x .1 2 3 1 2 3 1 3 2 3（Ⅰ）求二次型 f 的矩阵的全部特点值 .（Ⅱ）如二次型 f 的规范形为 y 2y 2 ，求 a 的值 .1 1（22）（此题满分 11 分）e x 0 y x设二维随机变量 〔 X , Y〕 的概率密度为f 〔 x, y〕0 其他（Ⅰ）求条件概率密度fY X 〔 y x〕 ；（Ⅱ）求条件概率 P X 1 Y 1 .（23）（此题满分 11 分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以 X 、Y 、 Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数 .（Ⅰ）求 P X 1 Z 0 ；（Ⅱ）求二维随机变量 〔 X ,Y 〕 的概率分布 .全国硕士讨论生入学统一考试数学三试题解析一、挑选题： 1～ 8 小题，每道题 4 分，共 32 分，以下每道题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .x x3（ 1）函数f 〔 x〕sin的可去间断点的个数为x〔A〕1. 〔B〕2. 〔C〕3. 〔D〕 无穷多个 .【答案】 C.【解析】x x3f xs i n x就当 x 取任何整数时， f x 均无意义故 f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是x x3 0 的解x1,2,30, 1x x3lim lim1 3x2 1x 0 sin x x 0 cos xx x3lim lim1 3x2 2x 1 sin x x 1 cos xx x3lim lim1 3x2 2x 1 sin x x 1 cos x故可去间断点为 3 个，即 0, 1（ 2）当 x0 时，f 〔 x〕x sin ax 与g〔 x〕x2 ln〔1bx〕 是等价无穷小，就(A) a1 ， b1. （ B ） a61 ， b 1 .6〔C〕 a1， b1. （ D ） a61 ， b 1 .6【答案】 A.【解析】f 〔 x〕x sin ax, g 〔x〕x2ln〔1bx〕 为等价无穷小，就f 〔x〕x sin ax xsin ax1 a cosax a2 sin ax。