考研辅导线性代数行列式ppt课件.ppt

几点要求与留意：几点要求与留意：1考研学时有限，教师讲解不能够考研学时有限，教师讲解不能够面面俱到，只能画龙点睛，教师所起的只面面俱到，只能画龙点睛，教师所起的只是引导的作用，师生必需相互配合默契才是引导的作用，师生必需相互配合默契才能发扬最大的效益能发扬最大的效益讲解主要讲授：常见题型，解题讲解主要讲授：常见题型，解题分析，分析，第一章第一章 行列式行列式行列式的常用计算方法：化三角形；递推法；行列式的常用计算方法：化三角形；递推法；数学归纳法，公式法数学归纳法，公式法知识要点知识要点线性代数中与行列式有关的内容：线性代数中与行列式有关的内容： 时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组AX=0有非零解，有非零解，但非齐次线性方程组没有独一解〔能够无解或但非齐次线性方程组没有独一解〔能够无解或无穷解〕无穷解〕 时，时，A可逆，可用可逆，可用A*求逆；求逆；对对n个个n维向量维向量 可用其行列式可用其行列式判其线性相关性；判其线性相关性；6.可用顺序主子式判二次型可用顺序主子式判二次型 的正定性的正定性4.可定义矩阵可定义矩阵A的秩；的秩；5.利用特征多项式利用特征多项式 求矩阵的特征值，求矩阵的特征值，且且从从1987年全国统考以来，行列式的题以填空、年全国统考以来，行列式的题以填空、选择为主，题量不多，且偏重于计算。

选择为主，题量不多，且偏重于计算 对于落到行列式的考题，大致为三种类型，对于落到行列式的考题，大致为三种类型，一是数字型行列式的计算，一是笼统型行列式一是数字型行列式的计算，一是笼统型行列式的计算，还有就是行列式值的断定〔特别是行的计算，还有就是行列式值的断定〔特别是行列式能否为零？〕列式能否为零？〕 在这些考题中不仅调查行列式的概念、性在这些考题中不仅调查行列式的概念、性质及计算，还涉及到矩阵、向量、方程组、特质及计算，还涉及到矩阵、向量、方程组、特征值二次型等知识点征值二次型等知识点一、数字型行列式的计算一、数字型行列式的计算1.〔〔6分〕设分〕设 n 元线性方程组元线性方程组Ax=b，其中，其中 ，， ，，.评注：此题关于三对角线行列式的评注：此题关于三对角线行列式的计算通常用递推法计算通常用递推法〔〔96年数四考题中出现过〕年数四考题中出现过〕例如，此题按第一列展开，有例如，此题按第一列展开，有证明行列式证明行列式注：注：1.递推公式由递推公式由也可直接往下推由同窗们完成也可直接往下推由同窗们完成2.假设不是证明，而是求假设不是证明，而是求 呢？呢？ 3.假设要求解方程呢？例如见下题：留给读者假设要求解方程呢？例如见下题：留给读者(6分分)设设n元线性方程组元线性方程组Ax=b，其中，其中 (ⅠⅠ)当当a取何取何值时，，该方程方程组有独一解，并有独一解，并求求x1；；(ⅡⅡ)当当a取何取何值时，，该方程方程组有无有无穷多解，多解，并求通解。

并求通解 练习题练习题(1)参考：参考：评注：此题可以按第一行〔列〕直接展评注：此题可以按第一行〔列〕直接展开，建立递推公式；也可将各行〔列〕开，建立递推公式；也可将各行〔列〕加到第一行〔列〕再展开，不过在建立加到第一行〔列〕再展开，不过在建立，递推公式时一定要留意符号问题〔如，递推公式时一定要留意符号问题〔如将各列加到第一列再展开〕，否那么会将各列加到第一列再展开〕，否那么会出错！留作考生作练习出错！留作考生作练习(2).〔〔3分〕分〕设n阶矩矩阵那么那么提示：用行列式性质作，留意技巧：使第一提示：用行列式性质作，留意技巧：使第一行或列元素一致行或列元素一致参考答案：参考答案：评注：此注：此题除用行列式的性除用行列式的性质及展及展开开计算外，他能用特征算外，他能用特征值更更简便地便地求出求出该行列式的行列式的值吗?(提示：提示：R〔〔A〕＝〕＝1充要条件充要条件为A＝＝〔〔a1 a2····an〕〕T〔〔 b1 b2····bn〕〕且且A的特征的特征值为n，，0，，···，，0留意此留意此题A＝＝B－－E，其中，其中评注：除去用行列式的性注：除去用行列式的性质及展开公式及展开公式计算外算外,他能利用特征他能利用特征值更更简便地求出行列式的便地求出行列式的值吗？？综述综述对于数字型行列式的计算主要是按行、对于数字型行列式的计算主要是按行、列展开公式，但在展开之前往往先运列展开公式，但在展开之前往往先运用行列式的性质对其作恒等变形。

以用行列式的性质对其作恒等变形以期某行或某列有较多的零元素，这时期某行或某列有较多的零元素，这时再展开可减轻计算量．同时，也要注再展开可减轻计算量．同时，也要注意一些特殊公式，如上意一些特殊公式，如上(下下)三角、范三角、范德蒙行列式、拉普拉斯展开式的运用．德蒙行列式、拉普拉斯展开式的运用．虽然然单独命的独命的计算算题并不多，但在特征并不多，但在特征值问题中有中有较多型多型 行列式的行列式的计算，算，在性相关矩性相关矩阵可逆、可逆、n个未知数个未知数n个方程的齐次方程组、二个方程的齐次方程组、二次型的正定等问题中都会涉及到行列次型的正定等问题中都会涉及到行列式的计算，因此对行列式的计算要注式的计算，因此对行列式的计算要注重，不要因小失大．重，不要因小失大．二、笼统型行列式的计算二、笼统型行列式的计算1.〔〔3分〕假分〕假设4阶矩矩阵A与与B类似，矩似，矩阵A的特征的特征值为，，，，那么行列式(1).〔〔4分〕分〕设矩矩阵，，E为2阶单位矩位矩阵，矩，矩阵B满足足BA＝＝B＋＋2E，那么，那么练习一：要会计算这些题练习一：要会计算这些题:(2).〔〔4分〕分〕设3阶矩矩阵A的特征的特征值为1，，2，，2,E为3阶单位矩位矩阵，那么，那么(3)〔〔3分〕假分〕假设都是都是4维列向量，且列向量，且4阶行列式行列式，，那么，那么4阶行列式行列式〔〔A〕〕m＋＋n；； 〔〔B〕－〔〕－〔m＋＋n〕〕 (C) n-m; (D) m-n评注：作为笼统型行列式，此评注：作为笼统型行列式，此题主要调查行列式的性质题主要调查行列式的性质2〔〔4分〕分〕设矩矩阵，矩，矩阵B满足：足：ABA*=2BA*+E，其中，其中A*为A的伴随矩的伴随矩阵.那么那么留意：式留意：式AA*=A*A=E的运用及的运用及的性质的性质答案：答案：评注：此题没有必要解出，评注：此题没有必要解出，不要出错不要出错留意留意(3)〔〔4分〕分〕设均均为3维列向量，列向量，记矩矩阵，，假，假设，那么，那么留意：行列式与矩阵运算的不同；留意：行列式与矩阵运算的不同；参考答案：参考答案：另有另有B可分解为可分解为再利用范德蒙行列式的结果，留意矩阵再利用范德蒙行列式的结果，留意矩阵分解是常用的方法。

分解是常用的方法评注：此题还涉及到范评注：此题还涉及到范德蒙行列式另外，德蒙行列式另外，此题用行列式性质恒等此题用行列式性质恒等变形也是可行的，例如变形也是可行的，例如三、行列式能否三、行列式能否为零的判零的判别1、〔、〔3分〕齐次方程组分〕齐次方程组的系数矩的系数矩阵为A假设存在三存在三阶矩矩阵B≠0使得使得AB=0，那么，那么 且且〔〔A〕〕〔〔B〕〕且且〔〔C〕〕且且〔〔D〕〕且且注：作注：作为选择题，只需在，只需在与与评注：注：对于条件于条件AB=0该当有两个思当有两个思绪：：一是一是B的列向量是的列向量是齐次方程次方程组AX＝＝0的解的解二是秩的信息即二是秩的信息即，要有，要有这两种思索两种思索问题的的认识．另外，．另外，还可由可由AB=0可推出可推出A,B都不可逆〔反都不可逆〔反证〕〕也是也是处理理问题的一种思的一种思绪中选择一个，因此可以用特殊值代中选择一个，因此可以用特殊值代入入〔〔3分〕分〕 设A是是m×n矩矩阵B是是n×m矩矩阵，那么，那么 (B) 当当m＞＞n时，必有行列式，必有行列式．(C ) 当n＞m时，必有行列式 (D) 当当n＞＞m时，必有行列式，必有行列式 (A) 当当m＞＞n时，必有行列式时，必有行列式这样的题能快捷判别吗这样的题能快捷判别吗?2。

设设A是是n阶非零矩阵阶非零矩阵〔至少用两种方法作〕〔至少用两种方法作〕是是n阶矩矩阵，那么，那么 行列式行列式矩矩阵A不可逆不可逆秩秩r(A)