2016年高中数学导数高考真题.docx

高中数学导数高考真题一．选择题（共 7 小题） 2﹣e| x| 在[ ﹣2，2] 的图象大致为（ ）1．函数 y=2xA． B ．C． D．2 的图象是（ ） 2．函数 y=sinxA． B． C ．D．3．若函数 f（x）=x﹣ sin2x+asinx在（﹣∞， +∞）单调递增，则 a 的取值范围是（ ）A．[ ﹣1，1] B．[ ﹣1， ] C．[ ﹣ ， ] D．[ ﹣1，﹣ ] 3﹣12x的极小值点，则 a=（ ）4．已知 a 为函数 f（x）=xA．﹣4 B．﹣2 C．4 D．25．若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相第 1 页（共 37 页）垂直，则称y=f（x）具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是（ ）A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x36．函数 f（x）= 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜07．设函数 f （′x）是奇函数 f（x）（x∈R）的导函数， f（﹣ 1）=0，当 x＞0 时，xf （′x）﹣ f（x）＜ 0，则使得f（x）＞ 0 成立的 x 的取值范围是（ ）A．（﹣∞，﹣ 1）∪（ 0，1） B．（﹣ 1，0）∪（ 1，+∞） C．（﹣∞，﹣ 1）∪（﹣ 1，0） D．（0，1）∪（ 1，+∞）二．填空题（共8 小题） x，f（′x）为 f（x）的导函数， 则 f（′0）的值为 ．8．已知函数 f（x）=（2x+1）e9．函数 f（x）= （x≥ 2）的最大值为 ．﹣x﹣1﹣x，则曲线 y=f（x）在点 10．已知 f（x）为偶函数，当 x≤ 0 时， f（x）=e（1，2）处的切线方程是 ．11．已知 f（x）为偶函数，当 x＜0 时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线 y=f（x）在点（ 1，﹣ 3）处的切线方程是 ．12．若直线 y=kx+b是曲线 y=lnx+2的切线，也是曲线 y=l（n x+1）的切线，则 b= ．x 在其极值点处的切线方程为 ． 13．函数 y=xe 2 与 y=x所围成的封闭图形的面积为 ．14．曲线 y=x 3+x +1 的图象在点（ 1，f（1））处的切线过点（ 2，7），15．已知函数 f（x）=ax则 a= ．第 2 页（共37 页）三．解答题（共15 小题）16．已知函数 f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当 a=4时，求曲线 y=f（x）在（ 1，f（1））处的切线方程；（II）若当 x∈（ 1，+∞）时， f（x）＞0，求 a 的取值范围． a﹣x+bx，曲线 y=f（x）在点（ 2，f（2））处的切线方程为 y=17．设函数 f（x）=xe（e﹣1）x+4，（Ⅰ）求 a，b 的值；（Ⅱ）求 f（x）的单调区间． 2+（2a﹣1）x，a∈R．18．设 f（x）=xlnx﹣ax（Ⅰ）令 g（x）=f ′（x），求 g（x）的单调区间；（Ⅱ）已知 f（x）在 x=1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围． 2﹣a﹣lnx，g（x）=﹣，其中 a∈R，e=2.718⋯为自然19．设函数 f（x）=ax对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当 x＞1 时，g（x）＞0；（Ⅲ）确定 a 的所有可能取值， 使得 f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．20．设函数 f（x）=lnx﹣x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当 x∈（ 1，+∞）时， 1＜ ＜x；（3）设 c＞1，证明当 x∈（0，1）时， 1+（c﹣1）x＞cx．x+a（x﹣1）2． 21．已知函数 f（x）=（x﹣2）e（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围．22．设函数 f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中 a，b∈R．（1）求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x1）=f（x0），其中 x1≠x0，求证： x1+2x0=3；（3）设 a＞0，函数 g（x）=| f（x）| ，求证： g（x）在区间[ 0，2] 上的最大值不第 3 页（共37 页）小于 ．23．设函数 f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中 a＞0，记| f（x）| 的最大值为A．（Ⅰ）求 f ′（x）；（Ⅱ）求 A；（Ⅲ）证明： | f ′（x）| ≤ 2A． x 的单调性，并证明当 x＞0 时，（x﹣2）ex+x+224．（Ⅰ）讨论函数 f（x）= e＞0；（Ⅱ）证明：当 a∈[ 0，1）时，函数 g（x）= （x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数 h（a）的值域． 3﹣ax﹣b，x∈R，其中 a，b∈R．25．设函数 f（x）=x（1）求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x1）=f（x0），其中 x1≠x0，求证： x1+2x0=0；（3）设 a＞0，函数 g（x）=| f（x）| ，求证： g（x）在区间[﹣1，1] 上的最大值不小于 ．x+a（x﹣1）2 有两个零点． 26．已知函数 f（x）=（x﹣2）e（Ⅰ）求 a 的取值范围；（Ⅱ）设 x1，x2 是 f（x）的两个零点，证明： x1+x2＜2．27．已知 f（x）=a（x﹣lnx）+ ，a∈R．（I）讨论 f（x）的单调性；（II）当 a=1时，证明 f（x）＞ f ′（x）+ 对于任意的 x∈[ 1，2] 成立．3+a x2+b x +c． 28．设函数 f（x）=x（1）求曲线 y=f（x）在点（ 0，f（0））处的切线方程；（2）设 a=b=4，若函数 f（x）有三个不同零点，求 c 的取值范围；（3）求证： a2﹣3b＞0 是 f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件． x+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．29．已知函数 f（x）=a第 4 页（共37 页）（1）设 a=2，b= ．①求方程 f（x）=2 的根；②若对于任意x∈R，不等式 f（2x）≥ mf（x）﹣6 恒成立，求实数 m 的最大值；（2）若 0＜a＜1，b＞1，函数 g（x）=f（x）﹣2 有且只有 1 个零点， 求 ab 的值． 3+ ，x∈[ 0，1] ，证明：30．设函数 f（x）=x（Ⅰ） f（x）≥ 1﹣x+x2（Ⅱ） ＜f（x）≤ ．第 5 页（共37 页）高中数学导数高考真题参考答案与试题解析一．选择题（共7 小题） 2﹣e| x| 在[﹣2，2] 的图象大致为（ ）1．（2016?新课标Ⅰ）函数 y=2xA． B ．C． D．【分析】 根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】 解：∵ f（x）=y=2x2﹣e| x| ，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x| =2x2﹣e| x| ，故函数为偶函数，当 x=±2 时， y=8﹣e2∈（ 0，1），故排除 A，B；当 x∈[ 0，2] 时，f（x）=y=2x2﹣ex，x=0 有解， ∴f （′x）=4x﹣e故函数 y=2x2﹣e| x| 在[ 0，2] 不是单调的，故排除 C，故选： D【点评】本题考查的知识点是函数的图象， 对于超越函数的图象， 一般采用排除法解答．2 的图象是（ ） 2．（2016?浙江）函数 y=sinx第 6 页（共37 页）A． B． C ．D．【分析】 根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可．【解答】 解：∵ sin（﹣ x）2=sinx2，∴函数 y=sinx2 是偶函数，即函数的图象关于y 轴对称，排除 A，C；由 y=sinx2=0， 2=kπ，k≥ 0，则x则x=± ，k≥ 0，故函数有无穷多个零点，排除 B，故选： D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断， 根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键．比较基础．3．（2016?新课标Ⅰ） 若函数 f（x）=x﹣ sin2x+asinx 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ）A．[ ﹣1，1] B．[ ﹣1， ] C．[ ﹣ ， ] D．[ ﹣1，﹣ ]【分析】 求出 f（x）的导数，由题意可得 f ′（x）≥ 0 恒成立，设t=cosx（﹣1≤ t≤ 1），即有 5﹣4t2+3at≥ 0，对 t 讨论，分 t=0，0＜t≤ 1，﹣1≤ t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】 解：函数 f（x）=x﹣ sin2x+asinx 的导数为f ′（x）=1﹣ cos2x+acosx，由题意可得 f ′（x）≥ 0 恒成立，即为1﹣ cos2x+acosx≥ 0，第 7 页（共37 页） 2x+acosx≥ 0，即有﹣cos设t=cosx（﹣1≤ t≤ 1），即有 5﹣4t2+3at≥ 0，当 t=0 时，不等式显然成立；当 0＜t≤ 1 时，3a≥ 4t﹣，由 4t﹣在（ 0，1] 递增，可得 t=1 时，取得最大值﹣1，可得 3a≥﹣1，即 a≥﹣；当﹣1≤ t＜0 时，3a≤ 4t﹣，由 4t﹣在[﹣1，0）递增，可得 t=﹣1 时，取得最小值 1，可得 3a≤ 1，即 a≤ ．综上可得 a 的范围是 [﹣， ] ．故选： C．【点评】 本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．3﹣12x 的极小值点，则a=（ ） 4．（2016?四川）已知 a 为函数 f（x）=xA．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【分析】 可求导数得到f（′x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a 的值．【解答】 解：f ′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2 时，f ′（x）＞ 0，﹣2＜x＜2 时，f ′（x）＜ 0，x＞2 时， f ′（x）＞0；∴x=2是 f（x）的极小值点；又 a 为 f（x）的极小值点；∴a=2．故选 D．【点评】考查函数极小值点的定义， 以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．第 8 页（共37 页）5．（2016?山东）若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则称 y=（f x）具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是（ ）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3【分析】 若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数 y=f（x）的导函数上存在两点， 使这点的导函数值乘积为﹣ 1，进而可得答案．【解答】 解：函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数 y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣ 1，当 y=sinx时，y′=co，sx满足条件；当 y=lnx 时，y′=＞0 恒成立，不满足条件；当 y=ex时，y′=xe＞0 恒成立，不满足条件；当 y=x3 时，y′=3。