精品资料§2.6 对数与对数函数1．对数的概念如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamMn＝logaM.(2)对数的性质①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5. ( √ )(2)2log510＋log50.25＝5. ( × )(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2. ( √ )(4)log2x2＝2log2x. ( × )(5)当x>1时，logax>0. ( × )(6)当x>1时，若logax>logbx，则ab>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案 D解析 a＝log36＝1＋log32＝1＋， b＝log510＝1＋log52＝1＋，c＝log714＝1＋log72＝1＋，显然a>b>c.3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则 ( )A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg yC．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y答案 D解析 2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy)．故选D.4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．答案 (－，＋∞)解析 函数f(x)的定义域为(－，＋∞)，令t＝2x＋1(t>0)．因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在(－，＋∞)上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间是(－，＋∞)．5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________________．答案 ∪(2，＋∞)解析 ∵f(x)是R上的偶函数，∴它的图象关于y轴对称．∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，由f＝0，得f＝0.∴f(logx)>0⇒logx<－或logx>⇒x>2或04，所以f(3＋log23)＝()3＋log23＝×()log23＝×＝.题型二 对数函数的图象和性质例2 (1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是 ( )(2)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log3)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是 ( )A．c＝2>log49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f(0.2－0.6)0且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a＝________，b＝________.答案 (1)A (2)2 2解析 (1)b＝－0.8＝20.8<21.2＝a，c＝2log52＝log5220且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，x∈[0,2]时，t(x)最小值为3－2a，当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．∴3－2a>0.∴a<.又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪.(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数，∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴，即，故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华 解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误． 已知f(x)＝log4(4x－1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间[，2]上的值域．解 (1)由4x－1>0，解得x>0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设0b>c B．ab>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>a>b(3)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，a＝(20.2)·f(20.2)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(log39)·f(log39)，则a，b，c的大小关系是( )A．b>a>c B．c>a>bC．c>b>a D．a>c>b思维启迪 (1)利用幂函数y＝x0.5和对数函数y＝log0.3x的单调性，结合中间值比较a，b，c的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log23.4、log43.6、－log30.3＝log3的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x)＝xf(x)的单调性，再根据20.2，logπ3，log39的大小关系求解．解析 (1)根据幂函数y＝x0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即blog0.30.3＝1，即c>1.所以blog3>log43.6.方法二 ∵log3>log33＝1，且<3.4，∴log31，∴log43.6log3>log43.6.(3)因为函数y＝f(x)关于y轴对称，所以函数y＝xf(x)为奇函数．因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，且当x∈(－∞，0)时，[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)<0，则函数y＝xf(x)在(－∞，0)上单调递减；因为y＝xf(x)为奇函数，所以当x∈(0，＋∞)时，函数y＝x。
