2011年高考复习数学阶段性测试题四（导数及其应用）含答案.doc

阶段性测试题四阶段性测试题四(导数及其应用导数及其应用)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符号题目要求的)1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s＝ t3－ t2＋2t，那么速度1332 为零的时刻是( ) A．0 秒 B．1 秒末 C．2 秒末 D．1 秒末和 2 秒末 [答案] D [解析] s′＝t2－3t＋2＝0， 令 s′＝0，得 t＝1 或 2，故选 D. 2．(文)已知二次函数 f(x)的图象如图所示，则其导函数 f ′(x)的图象大致形状是( )[答案] B [解析] 因为二次函数在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)递减，所以其导函数在(－∞，0)大 于 0，在(0，＋∞)小于 0，故选 B. (理)下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的 序号是( )A．①② B．③④C．①③ D．②④ [答案] B [解析] 因为三次函数的导函数为二次函数，其图象为抛物线，观察四图，由导函数与 原函数的关系可知，当导函数大于 0 时，其函数为增函数，当导函数小于 0 时，其函数为减 函数，由此规律可判定③④不正确． 3．已知曲线 C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线，它 们的倾斜角互补，则 a 的值为( )A. B．－2278C．2 D．－278 [答案] A [分析] 由三次函数图象可知，切线的斜率一定存在，故只需处理好“导数值”与“斜 率”间的关系即可． [解析] 设切点坐标为(t，t3－at＋a)． 切线的斜率为 k＝y′|x＝t＝3t2－a① 所以切线方程为 y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)②将点(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解之得：t＝0 或 t＝ .32分别将 t＝0 和 t＝ 代入①式，得 k＝－a 和 k＝－a，由它们互为相反数得，a＝.32274278 4．(文)若关于 x 的不等式 x3－3x2－9x＋2≥m 对任意 x∈[－2,2]恒成立，则 m 的取值 范围是( ) A．(－∞，7] B．(－∞，－20] C．(－∞，0] D．[－12,7] [答案] B [解析] 令 f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则 f′(x)＝3x2－6x－9， 令 f′(x)＝0 得 x＝－1 或 x＝3(舍去)． ∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20. ∴f(x)的最小值为 f(2)＝－20， 故 m≤－20，综上可知应选 B. (理)已知实数 a，b，c，d 成等比数列，且曲线 y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则 ad 等于( ) A．2 B．1 C．－1 D．－2 [答案] A [解析] ∵a，b，c，d 成等比数列，∴ad＝bc， 又(b，c)为函数 y＝3x－x3的极大值点，∴c＝3b－b3，且 0＝3－3b2， ∴Error!或Error!，∴ad＝2. 5．对于在 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( ) A．f(0)＋f(2)2f(1) [答案] C [解析] ∵(x－1)f′(x)≥0， ∴Error!，或Error!， ①若函数 y＝f(x)在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，则 f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，∴f(0)＋f(2)>2f(1)． ②若函数 y＝f(x)为常数函数，则 f(0)＋f(2)＝2f(1)．故选 C.6．设曲线 y＝在点处的切线与直线 x－ay＋1＝0 平行，则实数 a 等于( )1＋cosxsinx(π2，1)A．－1 B.12 C．－2 D．2 [答案] A[解析] ∵y′＝－sin2x－(1＋cosx)cosxsin2x＝－1－cosxsin2x∴f′＝－1，由条件知 ＝－1，(π2)1a∴a＝－1，故选 A. 7．(文)(08·广东)设 a∈R，若函数 y＝ex＋ax，x∈R 有大于零的极值点，则( ) A．a－1C．a≥－ D．a0，xf′(x)＋f(x)b，则必有( ) A．af(b)0)，求导得 y′＝，由条件知 f′(x)f(x)xxf′(x)－f(x)x2 b>0，∴2 时，y＝x·f′(x)>0，∴f′(x)>0， ∴y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递增； 同理 f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，∴y＝f(x)的极大值为 f(－2)，极小值为 f(2)，故选 C.第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上) 13．(文)已知函数 y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c 在 x＝2 处有极值，其图象在 x＝1 处的切 线平行于直线 6x＋2y＋5＝0，则 f(x)极大值与极小值之差为________． [答案] 4 [解析] ∵y′＝3x2＋6ax＋3b， ∴Error!⇒Error!， ∴y′＝3x2－6x，令 3x2－6x＝0，则 x＝0 或 x＝2， ∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.(理)定积分 －2dx＝________.3 ∫16＋6x－x2[答案] 25π4 [解析] 设 y＝，即(x－3)2＋y2＝25(y≥0)．16＋6x－x2∵ －2dx 表示以(3,0)为圆心，5 为半径的圆的面积的四分之一．3 ∫16＋6x－x2∴ －2dx＝.3 ∫16＋6x－x225π4 14．(文)函数 f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则 a 的取值范围是 ________． [答案] a>2 或 a0，解得 a>2 或 a3 [解析] y′＝－x2＋2bx－(2b＋3)，要使原函数在 R 上单调递减，应有 y′≤0 恒成立，∴Δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，∴－1≤b≤3，故使该函数在 R 上不是单调减 函数的 b 的取值范围是 b3. 16．(文)对正整数 n，设曲线 y＝xn(1－x)在 x＝2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an，则数列的前 n 项和是________．{ann＋1} [答案] 2n＋1－2 [解析] ∵y＝xn(1－x)，∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′·xn＝n·xn－1(1－x)－xn. f ′(2)＝－n·2n－1－2n＝(－n－2)·2n－1. 在点 x＝2 处点的纵坐标为 y＝－2n. ∴切线方程为 y＋2n＝(－n－2)·2n－1(x－2)． 令 x＝0 得，y＝(n＋1)·2n， ∴an＝(n＋1)·2n，∴数列的前 n 项和为＝2n＋1－2.{ann＋1}2(2n－1)2－1 (理)设函数 f(x)＝cos(x＋φ)(00 得，x2；令 f′(x)1 时，f(x)在[m，m＋3]上单调递增，∴f(x)max＝f(m＋3)，f(x)min＝f(m)．由 f(m＋3)－f(m)＝ (m＋3)3＋ (m＋3)2－2(m＋3)－ m3－ m2＋2m＝3m2＋12m＋≤13121312152得，－5≤m≤1，这与条件矛盾．452 ②当 0≤m≤1 时，f(x)在[m,1]上递减，在[1，m＋3]上递增，∴f(x)min＝f(1)，f(x)max为 f(m) 与 f(m＋3)中较大者，∵f(m＋3)－f(m)＝3m2＋12m＋＝3(m＋2)2－ >0，(0≤m≤1)，15292∴f(x)max＝f(m＋3)，∴|f(x2)－f(x1)|≤f(m＋3)－f(1)≤f(4)－f(1)＝恒成立，452 故当 0≤m≤1 时，原不等式恒成立， 综上，存在 m∈[0,1]符合题意． 19．(本小题满分 12 分)(文)设函数 f(x)＝x2－2tx＋4t3＋t2－3t＋3，其中 x∈R，t∈R， 将 f(x)的最小值记为 g(t)． (1)求 g(t)的表达式； (2)讨论 g(t)在区间[－1,1]内的单调性； (3)若当 t∈[－1,1]时，|g(t)|≤k 恒成立，其中 k 为正数，求 k 的取值范围． [解析] (1)f(x)＝(x－t)2＋4t3－3t＋3，当 x＝t 时，f(x)取到其最小值 g(t)，即 g(t) ＝4t3－3t＋3. (2)∵g′(t)＝12t2－3＝3(2t＋1)(2t－1)， 列表如下：t(－1，－ )12－12(－ ， )121212( ，1)12g′(t)＋0－0＋g(t)极大值g(－ )12极小值g( )12由此可见，g(t)在区间和上单调递增，在区间上单调递减．(－1，－12) (12，1)(－12，12)(3)∵g(1)＝g＝4，g(－1)＝g＝2(－12)(12)∴g(t)max＝4，g(t)min＝2， 又∵|g(t)|≤k 恒成立，∴－k≤g(t)≤k 恒成立，∴Error!，∴k≥4. (理)将一张 2×6 米的矩形钢板按图示划线，要求①至⑦全为矩形，且左右对称、上下 对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱．设水箱的 高为 x 米，容积为 y 立方米．(1)写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)x 取何值时，水箱容积最大？[解析] (1)依题意，水箱底的宽为(2－2x)米，长为＝(3－x)米，6－2x2 则水箱的容积 y＝(2－2x)(3－x)·x(00，函数单调递增；4－ 73当0，f(x)在区间(64,640)内为增函数．所以 f(x)在 x＝64 处取得最小值，此时 n＝ －1＝－1＝9，mx64064 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小．(理)已知 f(x)是一次函数，且 f(x)dx＝5， xf(x)dx＝.求dx 的值．1 ∫ 01 ∫ 01762 ∫ 1f(x)x [解析] ∵f(x)是一次函数， ∴可设 f(x)＝ax＋b(a≠0)．∵ f(x)dx＝ (ax＋b)dx1 ∫ 01 ∫ 0＝Error!＝ a＋b.1 012∴ a＋b＝5①12又∵ xf(x)dx＝ x(ax＋b)dx1 ∫ 01 ∫ 0 ＝Error!1 0＝ a＋ b.1312∴ a＋ b＝②1312176 解①②得 a＝4，b＝3， ∴f(x)＝4x＋3.∴dx＝dx＝dx2 ∫ 1f(x)x2 ∫ 14x＋3x2 ∫ 1(4＋3x) ＝(4x＋3lnx)| ＝4＋3ln2.2 121．(本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx 在点 x0处取得极大值 5，其导 函数 y＝f ′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如右图所示． (1)求 x0的值； (2)求 a，b，c 的值． [解析] (1)结合图象可得： x(－∞，1)1(1,2)2(2，＋∞) f ′(x)>000f(x)极大值极小值得到 f(x)在 x＝1 处取得极大值，所以 x0＝1. (2)解法 1：f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 由 f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f(1)＝5 得， Error!，解得 a＝2，b＝－9，c＝12. 解法 2：设 f ′(x)＝m(x－1)(x－2)＝mx2－3mx＋2m， 又 f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，所以 a＝ ，b＝－ m，c＝2m，m332f(x)＝ x3－ mx2＋2mx.m332∵f(1)＝5，∴ － m＋2m＝5，∴m＝6，m332∴a＝2，b＝－9，c＝12. [点评] 本题要求学生善于随机应变，根据实际情况，读图象，列表格，翻译不等式，定 极大值，很好的考查了学生思维的灵活性，将传统二次函数问题结合导数方式出现，很好的 兼顾了基础与能力的要求、新旧内容的衔接。