作业06 从分式根式的意义到函数的定义域（答案版）.docx

06 从分式，根式的意义到函数的定义域【基础内容与方法】1.分式的的意义和根式的意义在专题三已有详述．2.函数的概念：设A，B是非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记法为：y＝f(x)，x∈A．3.定义域：x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域．这里要指出，函数定义中强调“三性”----任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．4.方法指引(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化；(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．类型一：依据函数形式结构来进行定义域的求取方法：利用函数的形式结构，从分式，根式的意义来找限定条件．例1：求下列函数的定义域：(1)y＝1x+1－；(2)y＝．解析：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤5且x≠3，即函数定义域为{x|x≤5，且x≠3}．类型二：已知f (x)的定义域，求f [(x)]的定义域方法：指出:若已知的定义域x ∈(a, b)，求的定义域，其方法是：由a <(x) < b求得x的范围，即为的定义域．例2：已知函数的定义域为[1, 4]，求的定义域．解析：由，得，即或，解得x ≤ 1，或.∴函数的定义域为(- ∞, - 1]∪[, +∞).考点练习一：1．函数y＝的定义域为(　　)A．(－∞，1] B．[－1,1]C．[1,2)∪(2，＋∞) D.∪解析：选D　由题意得解得即－1≤x≤1且x≠－，所以函数的定义域为∪.故选D.2．函数f(x)＝(a>0且a≠1)的定义域为________．解析：由题意得解得即0－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}．4．试求下列函数的定义域：(1)f(x)＝(x－1)2＋1；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝x－．[解析：(1) 函数的定义域为R．(2)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}．(3)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．5．记函数f(x)=的定义域为A，求A．解析：由2－≥0, 得≥0, 它等价于即x<－1或x≥1 ∴A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞] ．考点练习二6.　若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是(　　)A．[0,4) B．(0,4) C．[4，＋∞) D．（0,4]解析：由题意得mx2＋mx＋1≥0，当m=0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则m＞0,∆=m2−4m≤0,解得0＜m≤4,故选D.7．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，则函数y＝f(x)的定义域为________．解析：∵y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，∴x∈[－， ]，x2－1∈[－1,2]，∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2] ．8．若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．解析：函数f(x)的定义域为不等式ax2+abx+b≥0的解集，不等式ax2+abx+b≥0的解集{x|1≤x≤2},则a＜0,1+2=−b，12=ba解得a=−32，b=−3∴a＋b=−92．9．若函数f（2x）的定义域是[-2，2]，则函数y=f（x+1）的定义域是 ______． 解析：由函数f（2x）的定义域是[-2，2]，得-2≤x≤2．∴-4≤2x≤4，即函数f（x）的定义域是[-4，4]，再由-4≤x+1≤4，得：-5≤x≤3．∴函数y=f（x+1）的定义域是[-5，3]．故答案为：[-5，3]．10．若函数f(x)＝的定义域为R，则m的取值范围为多少？解析：要使原函数有意义，必须mx2＋x＋3≠0，由于函数的定义域是R，故mx2＋x＋3≠0对一切实数x恒成立．当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f(x)的定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意．当m≠0时，有Δ＝12－12m<0，解得m>．故综上可知，m的取值范围是{m|m>}．答案：{m|m>}．11．已知函数f (x)的定义域为[-1, 2]，求g(x) = f (x) + f (-x)的定义域.解析： 由题意得 ，即 ，解得：- 1 ≤ x ≤ 1. ∴定义域为[- 1, 1] ．12．已知f（x+1）的定义域为（2，4），（1）求f（x）的定义域；（2）求f（2x）的定义域．解：（1）∵f（x+1）的定义域为（2，4），∴2＜x＜4，则3＜x+1＜5，即f（x）的定义域为（3，5）；（2）∵f（x）的定义域为（3，5）；∴由3＜2x＜5得32＜x＜52，即f（2x）的定义域为（32，52）．。