线性代数第四章PPT课件.ppt

    考虑所有的n维行(或列)向量形成的集合, 由于这些行(列)向量均可看成1n(n1)的矩阵, 可以进行加法运算和数乘运算, 并且运算的结果仍然是n维行(列)向量. 即该集合关于加法运算和数乘运算是封闭的，在数学上我们称该集合关于这两个运算构成了一个运算系统，这个系统就是我们本章要定义的向量空间. ：：第四章第四章  向量间的线性关系与线向量间的线性关系与线性方程组空间性方程组空间1      向量之间关于这两个运算的关系, 即所谓的线性关系则是线性代数所要研究的核心内容. 利用这些理论去解释线性方程组求解过程, 将会发现对线性方程组的系数矩阵施行初等行变换并将其化为行阶梯型时, 这些阶梯型矩阵中其元素不全为零的行的数目其实是该矩阵行向量间和列向量间所共有的一个十分重要的数字特征, 从而我们能够更深入地了解线性方程组解的结构.2§4.1 向量空间向量空间和子空间的和子空间的定义定义§4.2  线性组合与线性表出线性组合与线性表出§4.3  线性相关与线性无关线性相关与线性无关§4.4  向量空间的基和维数向量空间的基和维数§4.5  极大无关组和向量组的秩极大无关组和向量组的秩§4.6  矩阵的秩矩阵的秩§4.7  线性方程组解的线性方程组解的结构结构§4.8  基变换和坐标变换基变换和坐标变换*3§4.1　定义及性质定义及性质   一、一、 向量空间的定义向量空间的定义     如上定义的如上定义的n维向量也称为维向量也称为n维维行向量行向量.  n维向维向量也可以用量也可以用列列的形式写出的形式写出, 称为称为列向量列向量:定义定义4.1.14.1.1　任意任意n个个( (实实) )数数a1, a2,…, an 构成的如构成的如下的下的n元有序组元有序组( (a1, a2,…, an) ) 称为称为n维维(实实)向量向量, , 每一每一ai称为此向量的第称为此向量的第i个个分量分量.4其中，其中，b1, b2,…, bn为任意（实）数为任意（实）数. 如无特别申如无特别申明，明，n维向量均为实向量维向量均为实向量.5通常通常, 记为记为R所有实数的集合所有实数的集合, 并记并记Rn为所有为所有n维维行向量的集合或所有行向量的集合或所有n维列向量的集合维列向量的集合. 现考虑为现考虑为所有所有n维行向量的集合的情形（同理可讨论为所有维行向量的集合的情形（同理可讨论为所有n维列向量的集合的情形）维列向量的集合的情形）.6向量的相等向量的相等: 两个向量两个向量 =(a1, a2,…, an) 和和 =(b1, b2,…, bn) 相等相等，当且仅当，当且仅当 ai= bi, i=1, 2, …, n, 并记为并记为 =  .零向量零向量:分量全为零的向量称为分量全为零的向量称为零向量零向量，记为，记为O=(0, 0, …, 0)负向量负向量:任一向量任一向量 =(a1, a2,…, an)的各分量反号得的各分量反号得到的向量称为到的向量称为  的的负向量负向量，记为，记为                            =( a1,  a2,…,  an) 7向量的和向量的和:设设 =(a1, a2,…, an)，，  =(b1, b2,…, bn),则则 与与 的的和和为为   +  =(a1+ b1, a2+ b2 ,…, an+ bn) 数乘向量数乘向量:设设 =(a1, a2,…, an )，，k是任一实数，是任一实数，则数则数 k与向量与向量 的的积积为为           k  =k(a1, a2,…, an) =(ka1, ka2,…, kan)向量的差向量的差:设设 =(a1, a2,…, an)，，  =(b1, b2,…, bn),则则 与与 的的差差为为      =(a1   b1, a2   b2 ,…, an   bn) 8       显然, 关于向量的加法和数乘, 定理2.1.1中运算律成立.  我们现在定义：9定义定义4.1.2  所有所有n维实向量的集合维实向量的集合Rn中定义了如上中定义了如上的向量加法和数乘向量两种运算的向量加法和数乘向量两种运算, (并满足如下的并满足如下的8条运算律条运算律)称为称为n维实向量空间维实向量空间.      1．．   +  =  +          （加法交换律）（加法交换律）      2．．   +( + )=( + )+             （加法结（加法结合律）合律）      3．．  +O=        4．．  +(- )=O      5．． 1 =        6．． k(l )=(kl)       7.     k(  +  )=k +k              8.    (k+l) = k +l 其中其中,  ,  ,  是任意向量是任意向量, k, l是任意的实数是任意的实数. 10特别地我们有：设特别地我们有：设 ,   是是Rn中任意两个向量，则中任意两个向量，则         (i)    0  =O，，kO=O；；k为任意实数；为任意实数；         (ii)   如如k =O，，那么那么k=0 或者或者 =O；；         (iii)  如如 +   =O，，那么那么  =    ；；         (iv)   ( 1)   =   11二二. 向量子空间向量子空间定义定义4.1.3  设设W是的是的Rn一个非空子集一个非空子集. 如果如果    (i)   对任意的对任意的 ,    ∈∈W，，均有均有  +   ∈∈W ;    (ii)  对任意的对任意的 ∈∈W 和任意的和任意的k∈∈R，，有有k ∈∈W.则称则称W是是Rn的一个的一个子空间子空间.     子空间中向量加法和数乘向量满足向量空间定子空间中向量加法和数乘向量满足向量空间定义中的八条运算律义中的八条运算律. 从而从而 将向量空间和它的子空将向量空间和它的子空间均称为间均称为向量空间向量空间.12例例1  证明证明: 如果如果W是是Rn的一个子空间的一个子空间, 则必有则必有O W.例例2 设设S为为R2中所有形如中所有形如          (a为任意实数为任意实数) 的向的向量的集合量的集合, 验证验证S是是R2的一个子空间的一个子空间.例例3  验证下述集合是验证下述集合是Rn(n 2)的一个子空间的一个子空间. 13例例4   验证如下形式的向量的全体构成的集合验证如下形式的向量的全体构成的集合 不是不是 的子空间的子空间.      明显地，明显地， Rn是是Rn自身的子空间自身的子空间; 另外另外,  只含零只含零向量的子集向量的子集 ={O }也是也是Rn 的一个子空间的一个子空间. 14§4.2 线性组合与线性表出线性组合与线性表出一、一、 线性组合与线性表出线性组合与线性表出  定义定义4.2.1 设设  1,  2, …,  m Rn,  k1, k2, …, km                                                  为为m个数个数, 称向称向k1 1+k2 2+…+km m为向量组为向量组 1,  2, …,  m的一个线性组合的一个线性组合.，15  定义定义4.2.2 设设  1,  2, …,  m,   Rn,  如果存在如果存在数数l1, l2, …, lm  使得使得 =l1 1+l2 2+…+lm m则称则称向量向量 可由向量组可由向量组 1,  2, …,  m线性表出线性表出.，16     例例4.2.1 线性方程组的向量形式线性方程组的向量形式: 给定一线性方给定一线性方程组程组令系数矩阵令系数矩阵 [aij]m n的列向量组为的列向量组为 1,  2, …,  n, 而而且令向量且令向量  =(b1, b2, …, bm)T,则则该该线性方程组可以线性方程组可以表示为以下向量形式：表示为以下向量形式：                   x1 1+ x2 2+…+xn n = 从而从而, 线性方程组线性方程组(4.2.1)是否有解当且仅当该方程是否有解当且仅当该方程组的常数项向量组的常数项向量 是否可由其系数矩阵的列向量组是否可由其系数矩阵的列向量组 1,  1, …,  n线性表出线性表出.17     例例4.2.2  试判定向量试判定向量 =(1, 2, 0,  2)T是否可由向是否可由向量组量组线性表出线性表出. 1=(1, 1, 1, 0)T,   2=(1, 1, 0, 1)T,  3=(1, 0, 1, 1)T,   4=(0,1, 1, 1)T18定理定理4.2.1 设设 1,  2, …,  m是一组向量，则是一组向量，则span( 1,  2, …,  m)是一个向量空间是一个向量空间.二、生成子空间二、生成子空间*19推论推论4.2.3设设W是是Rn的一个子空间的一个子空间, 1,  2, …,  m是是W中一组向量中一组向量, 则则W=span( 1,  2, …,  m)（（即即W由向量组由向量组 1,  2, …,  m所生成）的充分必要条件所生成）的充分必要条件是：是：W中每一向量可由中每一向量可由 1,  2, …,  m线性表出线性表出. 定理定理4.2.2 设设W是是Rn的一个子空间的一个子空间,  1,  2, …,  m是是W中一组向量中一组向量, 则则span( 1,  2, …,  m) W 20注注.  若若W=span( 1,  2, …,  m) ,  则称则称 1,  2, …,  m是子空间是子空间W的一组的一组生成元生成元,  并称并称W为为 1,  2, …,  m生成的子空间生成的子空间.21一．一． 定义定义线性相关与线性无关是线性代数中十分重要的概线性相关与线性无关是线性代数中十分重要的概念，是理解向量空间构成的关键性概念念，是理解向量空间构成的关键性概念. .§4.3§4.3 线性相关与线性无关线性相关与线性无关22     取取 ,  为平面为平面 上起点在原点且不共线的两个向量上起点在原点且不共线的两个向量. 则则 ,   生成了生成了 的一个子空间的一个子空间 . 由由 ,   不共线知不共线知, 对对任意的两个不全为零的数任意的两个不全为零的数k和和l, 线性组合线性组合k +l  不不是零向量是零向量. 否则否则,如有不全为零的数如有不全为零的数k和和l, 使得使得                                 k +l =O不妨设不妨设l≠0，则有，则有                 =( k/l)  从而从而  与与 共线共线(即即 是是 的的 倍倍),矛盾矛盾.  因此因此, 等式等式                k +l =O，，      k，，l R               要成立要成立, 必须有必须有                               k 0 和和 l 0同时成立同时成立. 此时称此时称 与与 是线性无关的是线性无关的. 23     另外，由另外，由 ,   生成生成W知，知，W中任意向量中任意向量 可由可由 ,   线性表出线性表出, 即存在实数即存在实数c和和d，使得，使得                   =c +d              即有即有 c +d  =O                (4.3.1)从而从而, 有不全为零的数有不全为零的数c, d, 和和 1, 使得使得(4.3.1)成立成立. 这时称这时称向量组向量组  ,   ,   是线性相关的是线性相关的.24定义定义4.3.1  设设 1,  2, …,  m是向量空间是向量空间V的一组向的一组向量量. 如存在一组不全为零的数如存在一组不全为零的数k1, k2, …, km使得使得         k1 1+ k2 2 + …+ km m=O   (4.3.2)则称则称 1,  2, …,  m是是线性相关线性相关的；的；否则否则, 当且仅当当且仅当k1, k2, …, km全为零时全为零时(4.3.2)式才成式才成立立, 则称则称 1,  2, …,  m是是线性无关线性无关的的. 25① ① 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．量． ②②单独一个向量线性无关当且仅当它是非零单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量向量③③两向量线性相关两向量线性相关两向量对应元素成比例两向量对应元素成比例④④两向量线性无关两向量线性无关两向量不对应成比例两向量不对应成比例．．注注. .26⑤ ⑤ 一向量组中存在一个一向量组中存在一个ＯＯ向量，则一定线性相向量，则一定线性相关．关．⑥ ⑥ 几何上：两向量线性相关几何上：两向量线性相关两向量共线；两向量共线；三向量线性相关三向量线性相关三向量共面三向量共面. .2728分析分析. 判断判断 1，， 2，， 3是否线性相关，即，求是否是否线性相关，即，求是否存在非零常数存在非零常数k1，，k2，，k3使得使得k1 1＋＋k2 2＋＋k3 3＝＝0写成方程组的形式为写成方程组的形式为利用行初等变换的方法解此方程组利用行初等变换的方法解此方程组.29(1) 解解. 因为因为故故 1，， 2，， 3线性无关线性无关.30(2) 解解. 因为因为故故 1，， 2，， 3，，  4线性相关线性相关.3132小结：判定给定的一向量组小结：判定给定的一向量组 1,  2, …,  m是否线是否线性相关或线性无关，通常运用性相关或线性无关，通常运用“待定系数法待定系数法”，即，即设待定系数设待定系数 满足关系式满足关系式再根据向量相等则各对应分量分别相等而得到一再根据向量相等则各对应分量分别相等而得到一个关于这个关于这m个待定系数（做为未知量）的齐次线个待定系数（做为未知量）的齐次线性方程组，并进一步求解性方程组，并进一步求解. 如有非零解如有非零解, 则则 1,  2, …,  m线性相关线性相关. 否则否则,  1,  2, …,  m线性无关线性无关. 在在本章第六节我们还将引入初等变换的方法对向量本章第六节我们还将引入初等变换的方法对向量组的线性相关性进行判定组的线性相关性进行判定.3334定理定理4.3.1  向量组向量组 (m 2)线性相关的充分必要条件线性相关的充分必要条件是此向量组中是此向量组中至少至少有一个向量是其余向量的线性有一个向量是其余向量的线性组合组合. 二二. 性质性质证证. . 必要性必要性. .∵∵ＡＡ线性相关，线性相关，∴∴至少有一个系数至少有一个系数ki≠0，使得，使得35充分性充分性. .所以所以A线性相关线性相关. .36定义定义4.3.2  设设  1,  2 , …,  m和和  1,   2 ,…,   s是两是两组向量组向量. 如果每一如果每一   i 均可由均可由 1,  2 , …,  m线性表线性表出出, 则称向量组则称向量组 1,   2 ,…,   s可由向量组可由向量组 1,  2 , …,  m线性表出线性表出; 进一步进一步, 如果向量组如果向量组 1,  2 , …,  m也可由向量组也可由向量组 1,   2 ,…,   s线性表出线性表出, 则称两则称两向量组向量组等价等价.37注注  线性表出具有线性表出具有“传递性传递性”，即，设向量组，即，设向量组 1,  2 , …,  m也可由向量组也可由向量组 1,   2 ,…,   s线性表出，线性表出，而而 1,   2 ,…,   s 可由可由 1,  2 , …,  t 线性表出，则线性表出，则 2 , …,  m也可由向量组也可由向量组 1,  2 , …,  t 线性表出线性表出.38设向量组设向量组 1,  2 , …,  m可由向量组可由向量组  1,  2 , …,   s线性表出线性表出, 即，即，写成矩阵形式写成矩阵形式39定理定理4.3.2  设向量组设向量组 1,  2 , …,  m可由向量组可由向量组  1,  2 , …,   s线性表出线性表出, 并且并且m>s，则，则 1,  2 , …,  m线线性相关性相关.通俗地：通俗地：“多的如能被少的表出，则相关多的如能被少的表出，则相关”.定理定理4.3.2*  如向量组如向量组 1,  2 , …,  m可由向量组可由向量组 1,   2 ,…,   s线性表出，并且线性表出，并且 1,  2 , …,  m线性无关，线性无关，则必有则必有m s.此定理可等价地叙述为：此定理可等价地叙述为：通俗地说，通俗地说，“少的不能表出多的无关组少的不能表出多的无关组”.40推论推论4.3.1  两组线性无关的向量组如果等价则所含两组线性无关的向量组如果等价则所含向量个数相等向量个数相等.推论推论4.3.2  多于多于n个的个的n维向量组线性相关维向量组线性相关.证明证明.  由由定理定理4.3.2与与例例3可以得出结论可以得出结论.41424344定理定理4.3.3   一组线性无关的一组线性无关的n维向量添加维向量添加k个同序个同序号分量后得到的号分量后得到的n+k维向量组仍然线性无关维向量组仍然线性无关. （（“原无关，添加分量后仍无关原无关，添加分量后仍无关”））此定理可等价地表述为此定理可等价地表述为:定理定理4.3.3*  设设 i=(ai1, ai2,…, aim),    i=1, 2, …, s是一组线性相关的是一组线性相关的n维向量维向量. 则去掉每一则去掉每一 i中第中第 j1,  j2, …,  jk 位上的分量位上的分量(1< j1< j1<…< jk