2019年考研《数学》考试试题及答案（卷六）.doc

2019年考研《数学》考试试题及答案（卷六）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 设则当时，是的_____ （ ） （A）高阶无穷小. （B）低阶无穷小. （C）等价无穷小. （D）同阶但非等价无穷小. （2）设函数有二阶连续导数，且，，则 ( )(A)在点处取极大值(B)在点处取极小值(C)点是曲线的拐点(D)点不是的极值点，点也不是的拐点（3）设，级数 ( )(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)敛散性与有关(4) 已知，且，则等于 （ ）（A）2 （B） （C）4 （D）（5）设A是矩阵，B是矩阵，则方程组与同解的充分条件是 （ ）（A） ； （B）； （C） ； （D）.(6)已知的伴随矩阵有一特征值为，则 （ ）； ；； (7)设随机变量相互独立且均服从正态分布，若概率则 （ ）（A）；（B）；（C）；（D）；(8)设随机变量，设，则矩阵一定是 （ ）可逆阵； 不可逆阵； 对称阵； 反对称阵。

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9)的实根个数是____ _.（10）曲线在点处的切线方程为（11）设函数的二阶偏导数存在，且，则（12）幂级数的收敛域为__ __.(13)二次型的秩为，则 . (14)设，对作三次独立重复观察，至少有一次观察值大于2的概率为，则三、解答题：15～23小题，共94分. 请将答案写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）(本题满分10分)设在内可微，其反函数为，且满足与求（1）；（2）16) （本题满分10分）设函数具有二阶连续偏导数，且满足等式确定的值，使等式在变换下简化为17）（本题满分10分）设生产某种产品需投入甲、乙两种原料，和分别为甲、乙两种原料的投入量（单位：吨），为产出量，且生产函数为，其中常数，，.已知甲种原料每吨的价格为（单位：万元），乙种原料每吨的价格为（单位：万吨）.如果投入总价值为（万元）的这两种原料，当每种原料各投入多少吨时，才能获得最大的产出量？(18）（本题满分10分） 设函数在上具有三阶连续导数，且，证明：至少存在，使（19）（本题满分10分）设。

1）证明；（2）求的收敛域，并证明你的结论 (20)（本题满分11分）设为三阶方阵，为三维线性无关列向量组，且有，，求（I）求的全部特征值 （II）是否可以对角化？（21）（本题满分11分）设向量组，问取何值时，向量组等秩且等价；等秩不等价；不等秩也不等价22）（本题满分11分）设两随机变量在区域上均匀分布，其中.又设，，试求：(Ⅰ)与的概率密度与；(Ⅱ) 与的协方差的相关系数.（23）（本题满分11分） 设总体X的分布律为X123P其中，为来自总体的简单随机样本I）求的矩估计量； （II）求的最大似然估计量解析一、选择题(1) D 解：（2）B解：由，，得，而由连续知连续，所以.于是，所以是的驻点.又由，，得，即，所以在点处有，，故点是的极小值.应选（B).（3）B解：当时，由积分中值定理得，，所以，，而，发散，所以原级数非绝对收敛. 又，而，即单调减少.由莱布尼茨判别法知原级数收敛，故级数是条件收敛的，应选（B）.(4) D解：记为常数，于是有，即，两边积分得，由得，从而于是，即，故 选（D）（5）A解：易知的解是的解当A列满秩时，即时，齐次线性方程组只有零解于是，若为的任一解，即，则一定有，从而也为的解，故组与同解。

6）C解：=2x; A特征值：2,1,x；对应特征值为：x，2x，2；解得x=-1或-2(7) B解：因为服从正态分布，股根据题设知，，从而有，显然只有（B）满足要求8）解：成立二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 1解：设，则，，由介值定理知，存在，使.又，而，，故，严格单调增加，只有唯一的根.（10）解：，，，，故过处的切线方程为（11）解：由知，由得，于是，从而，又，故（12）解：由公式， 所以，收敛区间，即.再考虑端点处.在处，原级数成为，收敛；在处.原级数成为，发散.所以应填.（13）解：系数矩阵，因此0（14）三、解答题（15）解：（1）令，得 （2）对变限积分令，则有， 两边关于求导，注意到，得，即， 则 又，所以，于是。

(16)解：，，将以上各式代入原等式，得，由题意，令且故（17）解：本题要求函数在条件下的最大值点.用拉格朗日系数法，构造拉格朗日函数，为求函数的驻点，令由①、②消去参数可得，即，代入③不难计算出唯一驻点，. 因驻点唯一，且实际问题必存在最大产量，所以计算结果表明，当投入总价值为（万元）的甲、乙两种原料时，使产量最大的甲、乙两种原料的投入量分别是（吨）与（吨）.（18）证明：在处，将Taylor展开， 在之间)，则 由的连续性知，在上有最大最小值，分别设为则 解：（1）记，于是 （2）收敛区间为 当时，条件收敛，绝对收敛，因此收敛；当时，当充分大时，，所以发散，因此级数的收敛域为 （11分）(20)解：（I）由已知得，，，，又因为线性无关，所以，，所以,2是的特征值，，，是相对应的特征向量。

又由线性无关，得，，也线性无关，所以是矩阵的二重特征值，即得全部特征值为,2（II）由线性无关，可以证明，，也线性无关，即有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵可相似对角化21）解：将阵作初等行变换化成阶梯阵 故当时，，且可以相互线性表示，所以与秩相等且等价； 当时，，等秩且可以相互线性表示； 当时，，等秩，显然不可由线性表示，所以不等价； 当时，，不等秩也不等价 （11分）（22）解：区域实际上是以为顶点的正方形区域，的面积为２，的联合密度为有了就可以求和，特别可利用的对称性.(Ⅰ) ，.当时，；当时，；当时，. .，.当时，；当时，；当时，. .(Ⅱ).显然，而，由于的对称性得，所以，.（23） 解：（I）因为,于是，令，得为的矩估计量II）总体X的分布律可表示为似然函数=于是求导得由即得的最大似然估计量为，其中。