向量组与矩阵PPT精选文档.ppt

数理学院数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS1 1 向量组与矩阵向量组与矩阵2 2 极大线性无关组与向量组的秩极大线性无关组与向量组的秩3 3 向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系第三章 第二讲1.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS一、向量组与矩阵一、向量组与矩阵由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. .m个n维的行向量所组成的向量组 构成矩阵： n个m维的列向量所组成的向量组 构成矩阵： 2.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS向量组 　称为矩阵A的行向量组行向量组．．问题：是否可以利用矩阵来研究向量组的相关问题？问题：是否可以利用矩阵来研究向量组的相关问题？3.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS例如研究列向量组例如研究列向量组 的线性相关性，只须考察方程的线性相关性，只须考察方程是否有非零解。

是否有非零解利用矩阵乘法，方程变形为利用矩阵乘法，方程变形为这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论：这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论：4.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS行向量组行向量组 线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是 线性无关的充要条件是推论推论定理定理 1 1 若列向量组若列向量组 所构造的矩阵所构造的矩阵A A，则，则 例例 1 1 讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性解解 （（1）向量组是）向量组是3个二维向量，故线性相关个二维向量，故线性相关2）由矩阵）由矩阵初等行变换5.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS(1)如果如果 线性相关，线性相关， 那么那么 也线性相关也线性相关 定理定理 3 3 在在r维向量组维向量组 的各向量添上的各向量添上n-r个分量变成个分量变成n维维 向量组向量组 。

2)如果如果 线性无关，那么线性无关，那么 也线性无关也线性无关 定理定理 2 2 设设p1,p2, …,pn为为1，，2，，…，，n的一个排列，的一个排列， 和和 为两向量组，其中为两向量组，其中 即即 是对是对 各分量的顺序进行重排后得到的向量组，各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有则这两个向量组有相同的线性相关性相同的线性相关性 6.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS例例 2 设向量组设向量组 且且t 互不相等，互不相等，证明证明 线性无关线性无关i证明：证明： 考察向量组考察向量组设设则其行列式则其行列式|B|为范德蒙行列式，为范德蒙行列式，由于由于t 互不相等，所以互不相等，所以|B|≠0，，i所以所以 线性无关，线性无关，从而从而 线性无关。

线性无关7.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS二、极大线性无关组与向量组的秩定义定义1 1 一向量组的一个部分组称为一个一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组极大线性无关组，如果这个，如果这个 部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任 意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关 极大无关组中向量的个数就称为极大无关组中向量的个数就称为向量组的秩向量组的秩 易知有如下结论：易知有如下结论： （（1 1）一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价 （（2 2）向量组线性无关当且仅当其秩等于向量组所含向量的个数向量组线性无关当且仅当其秩等于向量组所含向量的个数例例 3 3 基本向量组基本向量组 是是Rn 的极大无关组的极大无关组解解 由上一节，基本向量组是线性无关的，且任何一个由上一节，基本向量组是线性无关的，且任何一个n维向量都可以由维向量都可以由它线性表示（即坐标表示）。

它线性表示（即坐标表示）8.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS定理定理 4 4 如果向量组如果向量组 能由向量组能由向量组 线线 性表出，且向量组性表出，且向量组A线性无关，那么线性无关，那么 证明证明 不妨设所给向量都是列向量，记矩阵不妨设所给向量都是列向量，记矩阵由已知可得由已知可得记记则则反证法，假设反证法，假设 ，则矩阵，则矩阵K K 的列向量组线性相关，即有不全为的列向量组线性相关，即有不全为0 0的数的数使得使得9.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS即即与向量组与向量组A 线性无关矛盾，所以线性无关矛盾，所以推论推论 2 2 等价的向量组必有相同的秩等价的向量组必有相同的秩 推论推论 1 1 等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量 推论推论 3 3 秩为秩为r r的向量组中任意含的向量组中任意含r r个向量的线性无关的部分组个向量的线性无关的部分组 都是极大线性无关组。

都是极大线性无关组 10.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS三、向量组的秩与矩阵的秩的关系三、向量组的秩与矩阵的秩的关系设矩阵设矩阵 则矩阵则矩阵A A可以看作由可以看作由m m个个n n维行向量或维行向量或n n个个m m维列向量构成，从而可以得到维列向量构成，从而可以得到一个行向量组和列向量组一个行向量组和列向量组矩阵矩阵A A行向量组的秩称为行向量组的秩称为A A的的行秩行秩，列向量，列向量组的秩称为组的秩称为列秩列秩11.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS定理定理 5 5 矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩证证 设矩阵设矩阵A的行秩为的行秩为r1, A的列秩为的列秩为r2那么那么, A中有中有r1个行向量线性无关个行向量线性无关,从而从而A中有一个中有一个r1级子式级子式D不为零不为零,那么那么A中中子式子式D所在的所在的r1个列向量也线性无关个列向量也线性无关;即有即有 再由矩阵秩的定义，再由矩阵秩的定义，证毕定定理理 6 6 如如果果矩矩阵阵A A经经过过有有限限次次初初等等行行变变换换变变为为B B, , 则则A A的的列列向向量量与与B B 中对应的列向量有相同的线性关系。

中对应的列向量有相同的线性关系 因此，我们不仅可以利用矩阵的因此，我们不仅可以利用矩阵的初等行变换初等行变换求出列向量的秩，还可以进求出列向量的秩，还可以进一步确定其中某个部分组的线性相关性，并求出出它的极大线性无关组一步确定其中某个部分组的线性相关性，并求出出它的极大线性无关组同理可证同理可证 因而因而 12.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS例例 4 4 求下面向量组的秩和一个极大无关组，并把不属于该极求下面向量组的秩和一个极大无关组，并把不属于该极大无关组的向量用该极大无关组线性表示：大无关组的向量用该极大无关组线性表示：解解 把向量组按把向量组按列列排成矩阵排成矩阵A13.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS注意注意： 求向量组的秩和极大线性无关组时，若所给向量是行向求向量组的秩和极大线性无关组时，若所给向量是行向量，也要先按量，也要先按列列排成矩阵，再作初等行变换若没有要求交排成矩阵，再作初等行变换若没有要求交其余向量用所求的极大线性无关组线性表示，则只要化为其余向量用所求的极大线性无关组线性表示，则只要化为行行阶梯形阶梯形就行了，而不必化为就行了，而不必化为行最简形行最简形。

14.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS例例 5 5 求下面向量组的秩和一个极大无关组：解解 把向量组按列排成矩阵A15.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS四、小结初等变换法求秩3. 向量组的秩的概念及与矩阵秩的关系( (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行的行数就是矩阵的秩).).2.极大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性．最大性、线性无关性．矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩1.向量与矩阵的关系：互相确定互相确定 向量组的秩：向量组的秩：极大无关组的向量的个数极大无关组的向量的个数16.。