2.1标量场及其梯度ppt课件.ppt

物理场及其分析物理场及其分析Ø 物理场的定义与表示：物理场的定义与表示：Ø几何表示：等值面、矢量线几何表示：等值面、矢量线Ø代数表示：基于坐标系的函数表示形式代数表示：基于坐标系的函数表示形式Ø 场的研究角度：场的研究角度：Ø几何方法与代数方法几何方法与代数方法Ø微分方法与积分方法微分方法与积分方法Ø基于算子的简洁表示基于算子的简洁表示1 1、标量场定义及图示、标量场定义及图示 对于区域对于区域V V 内的任意一点内的任意一点r r，若有，若有某种物理量的一个确定的数值或标量某种物理量的一个确定的数值或标量函数函数ƒ(r)ƒ(r)与之对应，我们就称这个标与之对应，我们就称这个标量函数量函数ƒ(r)ƒ(r)是定义于是定义于V V 内的标量场内的标量场 orf (r)V标量场有两种：标量场有两种： 与时间无关的恒稳标量场，用与时间无关的恒稳标量场，用ƒ(r) ƒ(r) 表示；表示； 与时间有关的时变标量场，用与时间有关的时变标量场，用ƒ(r , t )ƒ(r , t )表示 §1.2 标量场及其梯度标量场及其梯度等值线等值线形象描绘场分布的工具形象描绘场分布的工具----场线场线标量场标量场----等值线等值线( (面面) )。

其方程为其方程为2 2、梯度、梯度 点位移导致点位移导致 ƒ ƒ 的改变的改变(x , y , z)(x+dx , y+dy , z+dz)ƒ+dƒƒdlyzxo线元矢量：线元矢量： (1)(1)梯度的导出梯度的导出 右图中，由右图中，由 点到邻近的点到邻近的 点的微点的微分位移分位移 将导致场函数有一微分增量将导致场函数有一微分增量因而因而标量场的相应微增量标量场的相应微增量 则为：则为：标量场标量场 在在 点的梯度点的梯度(gradient) (gradient) 定义为：定义为：(2)(2)方向导数与梯度的关系方向导数与梯度的关系偏导数偏导数 、、 、、 分别叫做分别叫做 ƒ ƒ 在在x x、、y y、、z z 方方向上的方向导数，用梯度表示为向上的方向导数，用梯度表示为 推推广广到到ƒ(x,y,z)ƒ(x,y,z)在在某某点点沿沿任任意意矢矢量量 l l 方方向向的的方向导数，则应表为方向导数，则应表为 式中，式中，elel是是l l 的单位矢量。

的单位矢量 （（3 3〕梯度的物理意义〕梯度的物理意义• 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标的函数；• 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等• 值线〔面〕相垂直的方向，它指向函数的增加方向.• 梯度的大小为该点标量函数 f 的最大变化率，• 即该点最大方向导数；例例1 1 电位场的梯度电位场的梯度• 与过该点的等位线垂直；• 指向电位减少的方向• 数值等于该点的最大方向导数； 电位场的梯度电位场的梯度（（4 4〕哈密顿算子〕哈密顿算子 （读作（读作deldel或或nablanabla））直角坐标系中的具体形式为直角坐标系中的具体形式为使用使用 算符时注意几点：算符时注意几点： • 单独存在没有任何意义；单独存在没有任何意义；• 算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必须视为矢量，并令它具有矢量的一般特性，即须视为矢量，并令它具有矢量的一般特性，即 ，， • 在不同坐标系中，在不同坐标系中， 算符有不同的表达形式。

算符有不同的表达形式 （（5 5〕梯度的基本运算公式〕梯度的基本运算公式（（c c 为常数）为常数）（（6 6〕梯度运算的几个基本关系式〕梯度运算的几个基本关系式• 相对坐标标量函数相对坐标标量函数 f (r f (r r r ) )证明证明 ：在直角坐标系中：在直角坐标系中f (rf (r r r ) = f (x) = f (x  x x ，，y y  y y ，，z z  z z  ) ) 令令 x x  x x  = X = X，，y y y y  = Y= Y，，z z z z  = Z = Z，应用复合函数求导法，应用复合函数求导法则可得则可得 即有即有 上式重写为上式重写为等式若成立，则应有等式若成立，则应有同理可得同理可得 证毕 • 相对位置矢量相对位置矢量R = r R = r  r r   的模的模 R = R = r r r r  在直角坐标中在直角坐标中 •那么那么 同理有同理有 于是于是 根据算符的微分特性可得根据算符的微分特性可得 （R  0） 例例 2 2 求求 f = 4e 2x f = 4e 2x  y+ z y+ z 在点在点P1P1〔〔1 1，，1 1，， 1 1〕处的由该点〕处的由该点指向指向P2P2（（ 3 3，，5 5，，6 6〕方向上的方向导数。

〕方向上的方向导数 解：解： 于是，于是，f f 在在P1 P1 处沿处沿R12 R12 方向上的方向导数为：方向上的方向导数为： 例例3 3 应用标量场的梯度与该标量场的等值面处处正交的概念，应用标量场的梯度与该标量场的等值面处处正交的概念，求两曲面求两曲面 x2 +y2+z2=9 x2 +y2+z2=9 和和 x2+y2=z+3 x2+y2=z+3在在P(2,-1,2)P(2,-1,2)处相交的锐角处相交的锐角S1S2f1(2,-1,2)f2(2,-1,2)解：将这两个曲面分别看作是两个标量场的等值面，对应的解：将这两个曲面分别看作是两个标量场的等值面，对应的两个标量场函数为：两个标量场函数为：f1= x2 + y2 + z2 f2 = x2+y2- z求求P P点处的梯度点处的梯度P。