专题2.7用因式分解法求解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）-九年级数学上册[含答案].pdf

试卷第 1 页，共 5 页专题专题 2.7 用因式分解法求解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）用因式分解法求解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】第一部分【知识点归纳】【知识点一】用因式分解法解一元二次方程的步骤【知识点一】用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为 0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为 0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解【知识点二】常用的因式分解法【知识点二】常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等【要点提示】【要点提示】（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为 0；方程两边不能同时除以含有未知数的代数式第二部分【题型展示与方法点拨】第二部分【题型展示与方法点拨】【题型【题型 1】用因式分解法解一元二次方程】用因式分解法解一元二次方程【例【例 1】（2024 九年级上九年级上全国全国专题练习）专题练习）1用因式分解法解下列方程：(1)2430 xx-+=；(2)23230 xx x-+-=【变式【变式 1】（23-24 九年级上九年级上湖南郴州湖南郴州期中）期中）2三角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是方程212350 xx-+=的根，则该三角形的周长为（）试卷第 2 页，共 5 页A12B14C12 或 14D24【变式【变式 2】（23-24 八年级下八年级下浙江杭州浙江杭州期末）期末）3已知 a，b 为常数，若方程21xa-=的两个根与方程30 xxb-=的两个根相同，则b=【题型【题型 2】用因式分解法解一元二次方程组的应用】用因式分解法解一元二次方程组的应用【例【例 2】（22-23 八年级上八年级上山西太原山西太原期末）期末）4阅读材料，解答问题解方程：24110 41240 xx-+=（）（），解：把41x-视为一个整体，设41xy-=，则原方程可化为：210240yy-+=，解得：16y=，24y=，416x-=或414x-=，174x=，154x=，以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想请仿照上例，请用换元法解答问题：已知2222(1)(3)5xyxy+-=，求22xy+的值【变式【变式 1】（2024 九年级上九年级上江苏江苏专题练习）专题练习）5关于 x 的方程2222230 xxxx+-=，则2xx+的值是（）A3-B1C3-或 1D3 或1-【变式【变式 2】（2024上海徐汇上海徐汇三模）三模）6如果实数 x 满足2211210 xxxx+-+-=，那么1xx+的值是 【题型【题型 3】用换元法解一元二次方程】用换元法解一元二次方程【例【例 3】试卷第 3 页，共 5 页（23-24 八年级下八年级下陕西宝鸡陕西宝鸡期末）期末）7用适当的方法解下列方程：(1)23180 xx-=；(2)2232xx-=-；(3)2410 xx-+=；(4)242111xxxx+=-+-【变式【变式 1】（2024甘肃金昌甘肃金昌模拟预测）模拟预测）8如图，BD是菱形ABCD的对角线，ADBD，动点P从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以1cm/s的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，CP的长(cm)y随时间(s)t变化的函数图象如图所示，则菱形ABCD的周长为（）A12cmB16cmC20cmD24cm【变式【变式 2】（23-24 九年级上九年级上广西南宁广西南宁期中）期中）9如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有 1 个点，第二行有 2 个点，第 n 行有 n 个点，容易发现 10 是三角点阵中前 4 行的点数和 则三角点阵中前 行的点数和是 325【题型【题型 4】用合适的方法解一元二次方程】用合适的方法解一元二次方程【例【例 4】试卷第 4 页，共 5 页（22-23 八年级下八年级下浙江杭州浙江杭州期中）期中）10已知关于x的一元二次方程2660 xmxm-+=(1)求证：这个一元二次方程一定有实数根；(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且8，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值【变式【变式 1】（20-21 八年级上八年级上上海静安上海静安课后作业）课后作业）11解方程2711x xx-=-的适当方法是（）A直接开平方法B配方法C公式法D因式分解【变式【变式 2】（21-22 九年级上九年级上全国全国课后作业）课后作业）12认真观察下列方程，指出使用何种方法求解比较适当（1）245x=，应选用 法；（2）2165xx+=，应选用 法；（3）2(2)(1)(2)(4)xxxx+-=+，应选用 法；（4）22330 xx-=，应选用 法第三部分【中考链接与拓展延伸】第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考、直通中考【例【例 1】（2019上海上海中考真题）中考真题）13解分式方程：228122-=-xxxx【例【例 2】（2024青海青海中考真题）中考真题）14（1）解一元二次方程：2430 xx-+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长2、拓展延伸、拓展延伸【例【例 1】（2024上海上海模拟预测）模拟预测）试卷第 5 页，共 5 页15求：方程545xx-=所有解的和与方程22235 23930 xxxx+-+=所有解的和的比值【例【例 2】（23-24 八年级下八年级下江苏苏州江苏苏州期中）期中）16 已知1x，2x是关于x的方程222120 xmxm-+=的两个不等实数根(1)求实数m的取值范围：(2)已知等腰ABCV的一边长为3，若1x、2x恰好是ABCV另外两边长，求这个三角形另外两边的长答案第 1 页，共 11 页1(1)1231xx=，(2)1231xx=，【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键（1）利用十字相乘法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可【详解】（1）解：2430 xx-+=，310 xx-=，30 x-=或10 x-=，1231xx=，；（2）解：23230 xx x-+-=，3320 xxx-+=，30 x-=或330 x-=，1231xx=，2A【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形的三边关系，利用因式分解法求出已知方程的解，再利用三角形三边关系确定出第三边长，即可求出周长【详解】解：方程212350 xx-+=，分解因式得：570 xx-=，可得50 x-=或70 x-=，解得：5x=或7x=，三角形第三边的长是方程212350 xx-+=的根，第三边的长为 5 或 7，当第三边长为 5 时，周长为34512+=；当第三边长为 7 时，347+=，不能构成三角形，舍去，综上，该三角形的周长为 12故选：A31-答案第 2 页，共 11 页【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，先求出方程30 xxb-=的解，进而可求出a的值，据此可解决问题熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键【详解】解：由方程30 xxb-=得，13x=，2xb=因为方程21xa-=的两个根与方程30 xxb-=的两个根相同，则将3x=代入21xa-=得，4a=，解方程214x-=得，33x=，41x=-，所以1b=-故答案为：1-44【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，把22xy+视为22xya+=一个整体，设22(0)axya=+，则原方程转化为关于a的一元二次方程，通过解该方程求得a即22xy+的值【详解】解：设22(0)axya=+，则原方程可化为：(1)(3)5aa+-=，解得：12a=-，24a=，220 xy+，则224xy+=5B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键设2xxt+=，则此方程可化为2230tt+-=，然后用因式分解法求解即可【详解】解：设2xxt+=，则此方程可化为2230tt+-=，130tt-+=，10t-=或30t+=，解得11t=，23t=-，答案第 3 页，共 11 页2xx+的值是 1 或3-当23+=-xx时，230 xx+=，1 12110D=-=-，此方程无解，2xx+的值是 1故选：B63【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键利用完全平方公式把方程变形为211230 xxxx+-+-=，利用换元法，设1xmx+=，则2230mm-=，转化为解一元二次方程，求出1xx+可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案【详解】解：2211210 xxxx+-+-=，22112230 xxxx+-+-=，211230 xxxx+-+-=，设1xmx+=，则2230mm-=，因式分解得：310mm-+=，30m-=或10m+=，解得：3m=或1m=-，当3m=时，则13xx+=，整理得：2310 xx-+=，2439435222bbacxa-=，解得：1352x+=，2352x-=，经检验，1352x+=，2352x-=都是方程13xx+=的解，答案第 4 页，共 11 页1xx+的值为3；当1m=-时，则11xx+=-，整理得：210 xx+=，241 430bacD=-=-=-，11xx+=-时，方程无解综上所述，1xx+的值为3，故答案为：37(1)13x=-，26x=；(2)12x=，25x=；(3)123x=+，223x=-；(4)2x=【分析】本题主要考查解一元二次方程和分式方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用配方法求解即可；（4）两边都乘以11xx+-，化分式方程为整式方程，再进一步求解即可【详解】（1）解：23180 xx-=Q，360 xx+-=，则30 x+=或60 x-=，解得13x=-，26x=；（2）2232xx-=-Q，22320 xx-=，答案第 5 页，共 11 页则250 xx-=，20 x-=或50 x-=，解得12x=，25x=；（3）2410 xx-+=Q，241xx-=-，则24414xx-+=-+，即223x-=，23x-=，则123x=+，223x=-；（4）两边都乘以11xx+-，得：4211xx x+-=+，整理，得：220 xx-=，解得11x=-，22x=，检验：当1x=-时，110 xx+-=，舍去；当2x=时，1130 xx+-=；所以分式方程的解为2x=8C【分析】由图得：当0ta 时，y在减小，当1ata+时，y先变小后变大，可得P应从A出发沿AB运动到B，再运动到D，或P应从A出发沿AD运动到D，再运动到B，设P应从A出发沿AB运动到B，再运动到D，如图，连接AC交BD于O，再进一步解答即可；【详解】解：由图得：当0ta 时，y在减小，当1ata(2)1，3【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式之间的关系，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解一元一次不等式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与判别式之间的关系是解题的关键（1）由根的判别式即可得出答案；（2）由题意得出方程的一个根为3，将3x=代入求出m的值，再根据三角形三边之间的关系进行判断，即可得出答案【详解】（1）解：由题意得：2241420mm=+-+，解得：12m；（2）解：由题意可知：12xx，只能取13x=或23x=，即3是方程的一个根，将3x=代入得：296120mm-+=，解得：1m=或5，当1m=时，方程的另一个根为1，此时三角形三边分别为1，3，3，能构成一个等腰三角形；当5m=时，方程的另。