贝壳类空间曲面实现方法.pdf

第六届全国现代结构工程学术研讨会 贝壳类空间曲面实现方法 罗尧治岑培超 ( 浙江大学空间结构研究中心，杭州3 1 0 0 2 7 ) 提要：形态仿生来自于设计师对生物形态、结构的模拟应用，是受大自然启示的结果贝壳是大自然所创造出的最精美 的有机造型之一，常被设计师们作为形态仿生的对象但其复杂的曲面外形，往往给实际建模带来一定的难度针对自由曲 面的建模问题，本文结合B 样条方法对贝壳类进行形态仿生研究，使贝壳曲面造型适用于空间结构领域 关键词：空间结构，贝壳曲面，曲面造型 一、引言 空间结构具有优美的曲面形体，其中自由曲面具有自由生动的外形，但由于无法用解析函数表达式来 表示，建模具有一定的难度B 样条方法常被应用于计算机辅助几何设计( C A G D ) 的自由曲面研究中，将 其相关理论引入空间结构曲面造型中必将有助于解决自由曲面的建模问题 在海洋生物世界里有着许多形态各异的贝壳，这些贝壳不仅外观美丽而且结构构造也非常符合力学原 理，波浪状的几何表面构成可使壳体在同等厚度下的抗压强度大幅度提高因此，贝壳曲面在空间结构领 域将能得到很好的应用但其复杂的外形给结构建模带来了一定的难度，也暂无针对其造型的专业设计软 件，影响了该类曲面的推广。

本文结合空间结构自身特点，对贝壳进行形态仿生研究，并将双三次B 样条 曲面插值方法应用于该类曲面造型而作为一种空间网格结构，曲面网格划分的优劣决定了结构的力学性 能、经济性和美观性本文着重论述贝壳类空间曲面的实现方法 二、双三次B 样条曲面插值方法 双三次B 样条曲面是一种常用的曲面类型由于它具有良好的性质，如局部性质、C 2 连续等，故常被 作为插值曲面来研究 插值曲面的控制网格并非事先给定，而是根据所给的拓扑矩形数据点反求得到这一过程称为反求或 反算由反算得到控制网格，应用曲面的递推算法而生成曲面，这一过程称为正算曲面的插值即两者的 结合 ( 一) 反算 双三次B 样条曲面是一种张量积曲面研究它的反算问题可以化解为两阶段三次B 样条曲线的反算问 题对于给定的呈拓扑矩形网格的数据点留“( f = O ，1 ，⋯，r ；j = O ，1 ，⋯，S ) ，设要求构造的双三次B 样条曲 面方程为 5 8 0 p ( u ，1 ，) = ∑∑d “Ⅳf ，3 ( 圳N j ，3 ( V ) ，0 < u ，V ≤1 i = Oj = 0 利用张量积曲面的性质，可改写成 工业建筑2 0 0 6 增刊 第六届全国现代结构工程学术研讨会 p ( u ，y ) = ∑I ∑略％，，( V ) k ，，( 甜) = ∑q ( V ) Ⅳf ，，( “) i = 0 ＼，= O／i = 0 其中m + 1 个控制曲线q ( V ) = ∑略M ，3 ( V ) ( f = o ，1 ，⋯，聊) 上参数为_ 的那m + 1 个点，就是位于曲面上 j = o 的截面曲线p ( “，_ ) = ∑c ，( o ) Ⅳf ，，( “) 的控制顶点。

而数据点吼√( f = o ，1 ，⋯，r ) 位于该截面曲线上从而 i = 0 可根据B 样条曲线反算方法最终求得曲面的控制网格略0 = o ，1 ，⋯，m ；j = o ，1 ，⋯，n ) ( 二) 正算 方程( 1 ) 中，B 样条基N i , 3 @ ) O = o ，1 ，⋯，聊) 与M ，3 ( V ) ( ／= o ，l ，⋯，船) 分别由节点矢量u 与V 按d eB o o r - - C o x 递推公式( 2 ) 决定 f1 ‰@ 卜憾 若U f ≤U ＼．，歹_ ≤∥弋 放 1 < ≈j l控 制 曲 ／7 ／ 线 一、＼／7 圆弧 椭圆弧 工业建筑2 0 0 6 增刊 第六届全国现代结构工程学术研讨会 ( 二) 形状可调性描述 通过调节脊线的弧度( 即曲面的径向弧度) 从而使曲面具有可调性，使曲面的形态更加丰富对于曲 面径向弧度的调节，本文提供了两种方案，并分别使用了两种方式 两种方案，即单点调节和两点调节如表2 所示 单点调节是指通过统一调节曲面脊线( 调节前) 高度方向中点的坐标来使曲面径向弧度满足要求操 作简单，适用于一般曲面造型，能够得到光滑的单一曲率方向曲面； 两点调节是指通过统一调节曲面脊线( 调节前) 高度方向两个三分点的坐标来使曲面径向弧度满足要 求。

操作比较复杂，适用于高级曲面造型，两点协调调整，可以得到满意的双曲率方向曲面 表2 调节方案 对于目标点坐标的调节，本文分别提供了两种调节方式，即Z 偏移和膨胀系数如表3 所示 z 偏移是通过统一调节相应目标点相对初始坐标进行Z 向偏移，从而达到调整曲面弧度的目的允许 凸脊线和凹脊线上的目标点采用不同的偏移值 一 j 膨胀系数( B ) 是指通过放大或者缩小相应目标点所连成调节圈的环向大小，来调整曲面弧度调节 圈由调节前同一高度位置的目标点共同连接而成，因此，凸脊线和凹脊线上同一高度的目标点采用统一的 缩放值鉴于此特点，该参数于第六章能量法造型修正中用作修正变量 表3 调节方式 Z ◆一- - - ． 偏 移 ! ： 、等’嘉X ，7 7 _ 、、、～～～L 一一J 一 、、、．．．一一一7 一f ，一一7 7 膨 胀 系 数 调节前调节后 ( 三) 曲面造型方法 “ 依照上述方法，即可得到包括曲面所有信息的具有拓扑关系的数据点阵，由基线点和调节点组成设 顶部基线和底部基线分别包括N 个插值数据点，则径向弧度调节采用不同的方案将得到不同的数据点阵： 工业建筑2 0 0 6 增刊5 8 3 第六届全国现代结构工程学术研讨会 单点调节得到3 X N 的数据点阵；两点调节得到4 X N 的数据点阵。

如图3 所示 ／小、／冬＼．、 ／? 、 7 ＼． 单点调节 、．， 两点调节 图3 数据点阵 得到此数据点阵后，利用前文介绍的双三次B 样条曲面插值算法可获得相应的曲面信息，然后根据所 需网格类型利用映射法进行网格划分即可获得满足工程要求的布置均匀的曲面网格 为方便使用，特编写贝壳曲面造型程序，如图4 所示首先从选择对话框( 图4 左) 选择具体曲面类 型，进入相应的造型设置对话框( 图4 右为圆形基线贝壳曲面的设置框) 输入有关造型参数，完成指定造 型操作 选择对话框 造型设置对话框 图4 贝壳曲面造型程序界厦 由此，根据控制曲线的不同，可得到三种贝壳曲面和两种贝壳曲面片其中，贝壳曲面，如图5 ( a ) 为圆形控制曲线构造所得，采用单点调节且带扭曲；如图5 ( b ) 为椭圆形控制曲线构造所得，采用单点调节； 如图5 ( c ) 为半椭圆半圆形控制曲线构造所得，项部封闭，采用单点调节，使用扇形三向网格进行划分而 贝壳曲面片，如图6 ( a ) 为圆弧控制曲线构造所得，顶部封闭，采用单点调节且带扭曲，使用扇形三向网格 进行划分；如图6 ( b ) 为椭圆弧控制曲线构造所得，采用两点调节且带扭曲。

5 8 4 工业建筑2 0 0 6 增刊 ＼～j 一 ，j、、． ≯． j、、、^一～．一，x、．?鼍，j、 j —t | | j j≮一、jj F：．．|＼， 、，f ‘ 第六届全国现代结构工程学术研讨会 ( a ) 圆形控制曲线 ( b ) 椭圆形控制曲线( C ) 半椭圆半圆形控制曲线 图5 典型贝壳曲面 ( a ) 圆弧控制曲线 ( b ) 椭圆弧控制曲线 图6 典型贝壳曲面片 另外，部分贝壳曲面片又可通过阵列组合成更加丰富的曲面形态如图7 ( a ) ( b ) 分别为六块外凸形 曲面片和内凹形曲面片阵列而成，顶部封闭，使用扇形三向网格进行划分 《幻辨凸形曲面 翻≯荧弓毫曲面烽稗箩| 【I 组合 四、结论 将B 样条方法等自由曲面造型技术运用于空间结构是现实可行的， 提供了一种新的思路 ( b ) 内凹形曲面 为解决空间结构中的曲面造型问题 通过算例可看出，贝壳曲面造型优美，将其应用于空间结构领域必能大大丰富结构形体类别，因此， 对贝壳的形态仿生研究是实用而且有价值的但作为一类复杂的曲面类型，对其造型的研究必须引进先进 的曲面造型技术，而B 样条方法正是一个很好的工具结合空间结构实际利用有效的数学工具，必能推动 空间结构曲面造型技术的迅速发展。

参考文献 ( 1 ) 施法中．计算机辅助几何设计与非均匀有理B 样条( C A G D & N U R B S ) ．北京航空航天大学出版社，1 9 9 4 ．2 ( 2 ) 王国瑾，汪国昭，郑建民．计算机辅助几何设计．北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，2 0 0 1 ．7 ( 3 ) 朱心雄．自由曲线曲面造型技术．北京：科学出版社，2 0 0 0 ( 4 ) 罗尧治，公晓莺．基于双三次B 样条插值的空间结构自由曲面．空间结构，2 0 0 4 ，1 0 ( 2 ) ：3 0 —3 4 ( 5 ) 公晓莺，罗尧治．面向空间结构自由曲面重建技术．第五届全国现代结构工程学术研讨会论文集，广州，2 0 0 5 ( 6 ) 张浩．空间结构曲面造型算法及程序实现．浙江大学硕士学位论文，杭州：浙江大学，2 0 0 5 工业建筑2 0 0 6 增刊5 8 5 。