趣味数学麦比乌斯带经典版.ppt

神奇的神奇的数学上流传着这样一个故事：有人 曾提出，先用一张长方形的纸条，首 尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许 用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹， 最后把整个纸圈全部抹成一种颜色， 不留下任何空白这个纸圈应该怎样 粘？ 跟我学魔术：2、将纸带一头不变，另 一头拧180度，两头粘 贴 1、将纸带两头粘贴 猜猜看：“怪圈”有几条边几个面？2条边2个面1条边1个面麦比乌斯带(Mobius strip) 麦比乌斯圈、怪圈 给纸带起个名字吧！德国数学家麦比乌斯 神奇的神奇的麦比乌斯带的发现对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间 ，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成 功后来，德国的数学家麦比乌斯对此发生了浓厚 兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果 有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到 野外去散步新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感 到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的 圈儿 • 一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“ 绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着 、观察着叶子弯曲着耸拉下来，有许多扭成半 圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方 向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色 的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圆圈。

• 麦比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一 端扭转180°，再将一端的正面和背面粘在一起， 这样就做成了只有一个面的纸圈儿 • 圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放 在上面让它爬结果，小甲虫不翻越任何边界就 爬遍了圆圈儿的所有部分麦比乌斯激动地说： “公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿 只有一个面 麦比乌斯圈就这样被发现了 实践：体会怪圈的神秘从1／2处剪开！继续见证奇迹：1、将一个麦比乌斯带沿中间线剪开得一新 环带，将新环带又按中间线剪开;2、将这种操作至少进行六次，3、记录每次剪开所得新环带的个数、长度 、扭转半圈数和连接情况，然后分析记录 的结果，找出规律.给我们的哲学启示-------宇宙的奥秘两张叠在一起的长方形纸带制成的麦比乌斯带（1）将两张叠在一起的长方形纸带同时扭转半 圈，把相应的端头粘合在一起； （2）把食指放在两层带之间移动； （3）把双层带拉开成单层带，比较双、单层带 的长度与扭转半圈数； （4）将单层带恢复为双层带，同时沿它的中间 线剪开再次见证奇迹还有更神奇的！从1／3处剪开 ！从1／4处剪开 ！从1／n处剪开 ！表1 麦比乌斯带从边缘 处剪开 记录情况 N的取值值所得新环环 带带个数新环带环带 与原带带 长长度新环带环带 扭 转转半圈数新环带环带 之 间间的关系21为原带 长2倍232大：２倍 小：相等大：４ 小：１连接４2都为原带 长２倍４连接研究报告提纲分为奇、偶数两种情况分析： 1、用n表示剪得的新环带个数； 2、新环带与原带长的数量关系； 3、新环带扭转的半圈数； 4、新环带之间的位置关系。

课题延伸1、 麦比乌斯带的意义麦比乌斯带乍看起来似乎不过是新奇的玩 具而已，但它的涵义却是很深刻的．麦比 乌斯1858年就发现了它，可有关论文在巴 黎研究院的卷宗里埋藏了7年之久．1865年发表出来后以它奇妙的单侧性吸引无数学 者步人了拓扑的殿堂，对至今才仅有一百 多年历史的扮扑学科的诞生和发展起了不 可估量的作用．2、麦比乌斯带的应 用与价值机械传动中使用的平面皮 带若以麦比乌斯带的方式 制作，损耗就较平均，从 而可延长使用寿命．1979年，美国著名轮胎公司百 路驰创造性地把传送带制成麦 比乌斯圈形状，这样一来，整 条传送带环面各处均匀地承受 磨损，避免了普通传送带单面 受损的情况，使得其寿命延长 了整整一倍 美国科罗拉多大学化学系的沃尔巴等三 位教授在实验室第一次合成了形状和麦比乌 斯带一样的麦比乌斯分子．制作这种分子的 方法同制作麦比乌斯带的方法极其相似：先 制造出四经基甲撑二醇P磺酸联甲苯三元化合 物（简称迪米二醇联甲苯合物），然后将该 化合物分子两端按麦比乌斯带的方式“连接” 起来，就形成了具有拓扑结构的迪米—麦比 乌斯分子．若将这种分子的双键剖开，可得 到环径加一倍而分子量不变的大环．三位科 学家还打算合成拓扑结构更为惊人的有机分 子，以便探索出一套研究有机化学的新方法 ．针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的墨点，为充分利用色带的全部 表面，色带也常被设计成麦比乌斯圈。

在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里，就有一部“加强版”的 云霄飞车——它的轨道是一个麦比乌斯圈乘客在轨道的两 面上飞驰 垃圾回收标志Power Architecture 标志麦比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因 此常被用于各类标志设计微处理器厂商Power Architecture的商 标就是一条麦比乌斯圈，甚至垃圾回收标志和麦比乌斯带相似的三维封闭形——克莱因瓶：克莱因瓶是德国数学家克莱因1882年发现的，它是麦比乌斯带的三维情况从拓扑学的观点看，它 实际上是两条麦比乌斯带沿边缘粘合而成的，说得直 观些，它就是将圆柱面两端的 圆周扭转180°粘合而成的， 这是一个闭曲面，也是单侧的， 没有里面和外面之分，在拓扑 学中，它差不多与麦比乌斯带 齐名．在 1882年，著名数学家菲利克斯·克莱因 (Felix Klein) 发现了后 来以他的名字命名的著名“瓶子”这是一个象球面那样封闭的（ 也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面在图片上我们看 到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子但是它没有瓶底，它的瓶颈 被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起 如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会 得到一个轮胎面(即环面)。

克莱因瓶是一个在四维空 间中才可能真正表现出来 的曲面，如果我们一定要 把它表现在我们生活的三 维空间中我们只好将就点 ，只好把它表现得似乎和 自己相交一样事实上克 莱因瓶的瓶颈是穿过了第 四维空间再和瓶底连起来 的，并不穿过瓶壁克莱因瓶从上往下的投影即为太极图 太极图抽象地表达了存在于一切事物之中的绝对性质——阴与阳和它们的统一， 这就是古老的中国理念“道” 和“易”知其白，守其黑，为天下式，常德不忒， 复归于无极老子：第二十八章) 太极图和老子的这段话的对应性令人惊叹， 这不是图形和语言的牵强附会，而是理念的一致虽知道洁白，却安守於昏黑，便能做天下的模式能做天下的 模式，永恒的德性不相差失，德性回复到不可穷尽的真道。