人教版九级上《二次函数的图象和性质》练习题含答案.doc

二次函数图象与性质（1）1. 二次函数的定义：一般地，形如的函数叫做二次函数，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项2. 当b＝0且c＝0时：二次函数变为，（1）当a＞0时，其图象如下：（2）当a＜0时，其图象如下：可以看到：对于抛物线，越大，开口越小3. 二次函数的图象与性质开口方向上下顶点坐标（0，0）对称轴y轴性质在y轴的左侧，y随x的增大而减小，在y轴的右侧，y随x的增大而增大在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小最值函数有最小值，最小值为0函数有最大值，最大值为0例题1 已知函数是二次函数，且当时，y随x的增大而增大1）求k的值；（2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴思路分析：由二次函数的定义，求出k的值，然后写出顶点坐标和对称轴答案：（1）由二次函数的定义，得，解得，；当时，原函数为，当时，y随x的增大而减小，故不合题意，舍去；当时，原函数为，当时，y随x的增大而增大，符合题意；故2）抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴点评：注意对k的值进行合理的取舍例题2 （1）已知A（1，y1）、B（－2，y2）、C（－，y3）在函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 。

2）（潍坊）已知函数y1＝x2与函数y2＝－ x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是 思路分析：（1）最直接的思路是将自变量的值代入函数表达式，求出每个点的相应的纵坐标，然后进行比较；当然也可以利用数形结合、以形助数的方法2）数形结合：由图象可知，当x＝－2或时，两函数图象相交，从数量上来看，对应着y1＝ y2，当x＜－2时，抛物线在直线的上方，对应着y1＞y2，当－2＜x＜时，抛物线在直线的下方，对应着y1＜y2，当x＞时，抛物线在直线的上方，对应着y1＞y2，综上所述，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是－2＜x＜答案：（1）y1＜y3＜y2；（2）－2＜x＜点评：以形助数，数形结合，直观形象，事半功倍例题3 苹果熟了，从树上落下所经过的路程y与下落的时间t满足y＝gt2（g是不为0的常数），则y与t的函数图象大致是（　　） A　　　　　　 B　　　　　　　　 C　　　　　　　　 D思路分析：结合函数关系式和自变量的取值范围进行判断：y＝gt2（g是不为0的常数），所以y是t的二次函数，图象为抛物线且顶点是原点，据此排除A和C选项，由于时间t不可能为负数，即抛物线不可能经过第二象限，据此排除D选项，因此这道题选B。

答案：B点评：对于抛物线，当自变量取值范围是一切实数时，图象是整条抛物线；当函数中两个变量被赋予了实际意义或者函数自变量的取值范围有限制时，图象是抛物线的一部分高频疑点】数形结合理解函数的增减性1. 一次函数；当k＞0时，直线从左往右是一直上升的，因此y随x的增大而增大；举例：函数，不论自变量添加怎样的取值范围，y总是随着x的增大而增大 2. 反比例函数，当k＞0时，在每一个象限内，从左往右双曲线是下降的，因此在每一个象限内，y随x的增大而减小；举例：函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜－时，y随x的增大而减小，但是不能说函数，其中y随x的增大而减小3. 二次函数，当a＞0时，在对称轴的左侧，从左往右图象一直是下降的，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，从左往右图象一直是上升的，因此在对称轴右侧，y随x的增大而增大，举例：函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＞5时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＜－2时，y随x的增大而减小矫正训练】（山东德州）下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是（ ）A. y＝－x＋1 B. y＝x2 C. y＝ D. y＝－x2＋1思路分析：A. 函数y＝－x＋1，当x>0时，y随x的增大而减小；B. 函数y＝x2，当x>0（对称轴y轴右侧）时，y随x的增大而增大；C. 函数y＝，当x>0（第－象限）时，双曲线一分支y随x的增大而减小；D. 抛物线y＝－x2＋1，当x>0（对称轴y轴右侧）时，y随x的增大而减小。

答案：B点评：本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象与性质解答本题，需要了解各函数图象的增减性特点，解题时不妨画个示意图进行直观判断，只要函数图象从左往右一直是上升的，y就随x的增大而增大，只要函数图象从左往右一直是下降的，y就随x的增大而减小二次函数图象与性质（2）一、考点突破1. 掌握二次函数的图象和性质，并能应用于解题；2. 理解二次函数的图象与图象之间的关系二、重难点提示重点：二次函数的图象和性质难点：（1）理解二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系；（2）二次函数的图象和性质的应用1. 二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系：举例：抛物线是由抛物线向上平移3个单位长度而得到；抛物线是由抛物线向下平移2个单位长度而得到2. 二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系：举例：抛物线是由抛物线向左平移3个单位长度而得到；抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度而得到3. 二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系：举例：抛物线是由抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度而得到；抛物线是由抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度而得到4. 归纳：二次函数的图象都是抛物线，它是轴对称图形，开口向上或者向下，抛物线与其对称轴的交点叫做顶点，只要二次项系数相同，抛物线的形状就相同，所不同的是位置。

5. 图表演示抛物线之间的位置关系：平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”6. y＝a（x－h）2＋k（a＞0）y＝a（x－h）2＋k（a＜0）开口方向上下顶点坐标（h，k）对称轴直线x＝h性质当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小最值函数有最小值，最小值为k函数有最大值，最大值为k例题1 （雅安）将抛物线y＝（x－1）2＋3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（　　）A. y＝（x－2）2　 B. y＝（x－2）2＋6　 C. y＝x2＋6 　　 D. y＝x2思路分析：抛物线y＝（x－1）2＋3的顶点为（1，3），向左平移1个单位，再向下平移3个单位后得顶点（0，0），所以平移后所得抛物线的解析式为y＝x2，故选D答案：D点评：抛物线的平移变换是本题的考查重点，解决此类问题的关键是抓住抛物线顶点坐标的变化而无需关注整条抛物线的变化，以（h，k）为顶点的抛物线的关系式，可以假设为y＝a（x－h）2＋k例题2 对于抛物线y＝－（x＋1）2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（－1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤函数的最大值为3；其中正确结论的个数为（　　）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5思路分析：根据二次函数的性质对各小题进行分析判断，即可得解。

解：①∵a＝－＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x＝－1，故本小题错误；③顶点坐标为（－1，3），正确；④∵x＞－1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；⑤对于顶点式，a＜0，当x＝h时，有最大值，最大值为k，正确综上所述，正确结论的个数是①③④⑤共4个，故选C答案：C点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性和最值例题3 （滨州）某中学为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为180cm，高为20cm请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）思路分析：根据题意列出二次函数关系式，然后利用配方法将函数解析式化成的形式，利用二次函数的性质求最大值答案：解：根据题意，得y＝20·x·（－x），整理，得y＝－20x2＋1800x∵ y＝－20x2＋1800x＝－20（x2－90x＋2025）＋40500＝－20（x－45）2 ＋40500，由题意得：，解得：，∵a＝－20＜0，而，∴当x＝45时，函数y有最大值，＝40500答：当底面的宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大值为40500cm3。

点评：本题考查的是利用二次函数解决实际问题难点是从实际问题中抽象出函数关系式，得到函数关系式以后，将其化成的形式，这里有一个易错点，要注意自变量的取值范围，当顶点的横坐标在自变量的取值范围之内时，顶点的纵坐标就是最大值或最小值高频疑点】当自变量的取值范围受限制时，求二次函数的最大值、最小值或者因变量的取值范围，千万不能直接将自变量取值范围的两个端点的值代入函数解析式进行计算，应采用数形结合的方法：画出自变量取值范围下的函数图象（不是整条抛物线而是抛物线的一部分），结合函数的增减性来求最值，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值矫正训练】已知函数；（1）求当时，y的取值范围；（2）求当时，y的取值范围；（3）求当时，y的取值范围思路分析：分别画出函数在相应的自变量取值范围下的函数图象，函数图象上的最高点对应的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值答案：（1）；（2）；（3）答题时间：20分钟）1. 下列函数关系式中，不属于二次函数的是（ ）A. B. C. D. 2. 函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（a，8），则a的值为（ ）A. ±2　　 B. －2　　 C. 2　　 D. 3*3. 给出下列四个函数：①；②；③；④。

时，y随x的增大而减小的函数有（　　）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个*4. 如果函数是二次函数，则k的值一定是__________5. 二次函数y＝ax2的图象如图，该函数的关系式是 ；如果另一个函数的图象与该函数关于x轴对称，那么这个函数的关系式是 6. 如图，A、B分别为抛物线y＝ax2上两点，且线段AB⊥y轴于点C，若AB＝OC＝6，则a的值为　　　　7. 已知函数 （1）k为何值时，y是关于x的一次函数？（2）k为何值时，y是关于x的二次函数？**8. 如图，在抛物线上取三点A、B、C，设A、B的横坐标分别为a（a＞0）、a＋1，直线BC与x轴平行1）把△ABC的面积S用a表示；（2）当△ABC的面积S＝15时，求a的值；（3）当△ABC的面积S＝15时，在BC上求一点D，使△ACD的面积为81. B 解析：B选项经过化简，二次项系数为0，它不是二次函数。