高中数学专题之集合的概念与运算.doc
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第一讲 集合的概念与运算【考点透视】1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.2．了解空集和全集的意义.3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.5．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.【例题解析】题型1． 正确理解和运用集合概念理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组 从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ）A．P B．Q C． D．不知道思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．例3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ）2 / 17A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．P Q思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．解：正确解法应为： P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此P∩Q=．∴应选A．例4若，则= （ ）A．{3} B．{1} C． D．{－1}思路启迪：解：应选D．点评：解此类题应先确定已知集合．题型2．集合元素的互异性 集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．例5. 若A={2，4, 3－22－＋7},B={1, ＋1, 2－2＋2,－ (2－3－8), 3＋2＋3＋7}，且A∩B={2，5}，则实数的值是________．解答启迪：∵A∩B={2，5}，∴3－22－＋7=5,由此求得=2或=±1． A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．当=1时，2－2＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1．当=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去=－1．当=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．故=2为所求．例6. 已知集合A={,＋b, ＋2b}，B={,c, c2}．若A=B，则c的值是______．思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若＋b=c且＋2b=c2，消去b得：＋c2－2c=0，=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若＋b=c2且＋2b=c，消去b得：2c2－c－=0，∵≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正．例7.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，则的值为______．思路启迪：由A∪B=A而推出B有四种可能，进而求出的值．解： ∵ A∪B=A， ∵ A={1，2}，∴ B=或B={1}或B={2}或B={1，2}．若B=，则令△<0得∈；若B={1}，则令△=0得=2，此时1是方程的根；若B={2}，则令△=0得=2，此时2不是方程的根，∴∈；若B={1，2}则令△>0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3．综上的值为2或3．点评：本题不能直接写出B={1，－1}，因为－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．例8.设集合A={|=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________． 解：任设∈A，则=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)， ∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ ∈B,故． ①又任设 b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故 ②由①、②知A=B．点评：这里说明∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理．例9若A、B、C为三个集合，，则一定有（ ）A . B . C . D . [考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.解：由知，，故选A.例10．设集合,则满足的集合B的个数是（ ）A . 1 B .3 C .4 D . 8[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.解：，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个.故选C.例11． 记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（I）若，求；（II）若，求正数的取值范围．思路启迪：先解不等式求得集合和．解：（I）由，得．（II）．由，得，又，所以，即的取值范围是．题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．例12. 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x－2=0}且A∪B=A，则实数组成的集合C是________． 解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，=2，当x=2时，=1．这个结果是不完整的，上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A，当=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．例13．已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．思路启迪：先确定已知集合A和B．解：故实数的取值范围是．例14. 已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩=，则实数m的取值范围是_________．思路启迪：从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．解：由A∩=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根， 或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4
