高中数学 课时作业13 三角函数模型的简单应用 新人教A版必修4.doc

课时作业13　三角函数模型的简单应用|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　)A.　　B．50 C. D．100解析：T＝＝.答案：A2．已知A1，A2，…An为凸多边形的内角，且lgsinA1＋lgsinA2＋…＋lgsinAn＝0，则这个多边形是(　　)A．正六边形 B．梯形C．矩形 D．含锐角菱形解析：由题意，得sinA1·sinA2·…·sinAn＝1，∴sinA1＝sinA2＝…＝sinAn＝1，∴A1＝A2＝…＝An＝90°.根据多边形的内角和得n×90°＝(n－2)×180°，解得n＝4.答案：C3．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：x123y10 0009 500？则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)A．10 000元 B．9 500元C．9 000元 D．8 500元解析：因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin＋9 500，当x＝3时，y＝9 000.答案：C4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　　)A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)解析：令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝＝2可排除C；或由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.∴f(x)＝2sin＋7.∵当x＝3时，y＝9，∴2sin＋7＝9，即sin＝1.∵|φ|<，∴φ＝－.∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．答案：A5．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　)A．[0,1] B．[1,7]C．[7,12] D．[0,1]，[7,12]解析：∵T＝12，∴＝，从而可设y关于t的函数为y＝sin.又t＝0时，y＝，即sinφ＝，不妨取φ＝，∴y＝sin.∴当2kπ－≤t＋≤2kπ＋(k∈Z)，即12k－5≤t≤12k＋1(k∈Z)时，该函数单调递增，∵0≤t≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]．答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)的血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．解析：T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．答案：807．某城市一年中12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的月平均气温为________℃.解析：根据题意得28＝a＋A,18＝a＋Acos＝a－A，解得a＝23，A＝5，所以函数y＝23＋5cos，令x＝10，得y＝23＋5cos＝23＋5cos＝20.5.答案：20.58．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是________．解析：由y＝－sin的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7.答案：7三、解答题(每小题10分，共20分)9．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数P(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)画出函数P(t)的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．解析：(1)由于ω＝160π代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数P(t)的周期为min.(2)函数P(t)的频率f＝＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表：t/min0P(t)/mmHg11514011590115描点、连线并左右扩展得到函数P(t)的简图如图所示．(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg相比较，此人血压偏高．10．已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)．(1)如图所示的是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；(2)如果t在任意一段s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？解析：(1)由图可知A＝300，周期T＝2＝，∴ω＝＝150π.又当t＝时，I＝0，即sin＝0，而|φ|<，∴φ＝.故所求的函数解析式为I＝300sin(150πt＋)．(2)依题意，周期T≤，即≤，∴ω≥300π，故ω的最小值为300π.|能力提升|(20分钟，40分)11．(2015·陕西卷)如图某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)A．5 B．6C．8 D．10解析：由题图可知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8.答案：C12．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．解析：过O作水平面的垂线，垂足为Q，如图所示由已知可得OQ＝3，OP＝6，则cos∠POQ＝，即∠POQ＝60°，则水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即个周期，又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，故水轮上点P从水中浮现时开始到第一次达到最高点的用时为5秒．答案：513．如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；(2)估计当年3月1日动物种群数量．解析：(1)设动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，所以ω＝＝，所以y＝100sin＋800(t≥0)．又当t＝6时，y＝900，所以900＝100sin＋800，所以sin(π＋φ)＝1，所以sinφ＝－1，所以取φ＝－，所以y＝100sin＋800.(2)当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.14．如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？解析：(1)如图所示建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．OP每秒钟内所转过的角为＝.则OP在时间t(s)内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动，得z＝4sin＋2.当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－，即φ＝－.故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.(2)令z＝4sin＋2＝6，得sin＝1，令t－＝，得t＝4，故点P第一次到达最高点大约需要4 s.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375。