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前言课程性质：计算机数学基础课程安排：三个学期教授三个部分 第一部分：离散数学 第一篇：数理逻辑 第二篇：集合论 第三篇：图论 代数系统第二部分：计算数学第三部分：组合数学学习目的：1、初步掌握现代数学的观点和方法； 2、初步掌握处理离散结构和方法，提高计算机系统设计和程序设计的逻辑数字的能力； 3、初步掌握计算机在进行数的处理时的方法和计算； 4、培养学习抽象思维和缜密思考的能力；第一篇 数理逻辑第一章 命题逻辑§1.1 命题和命题联结词一. 命题：定义：具有确定真值的表达判断的陈述句称为命题说明：⑴命题的真值：作为命题所表达的判断只有两个结果：正确和错误，此结果称为 命题的真值。

命题是正确的，称此命题的真值为真；命题是错误的，称此命题的真值为假 真值为真的命题称为真命题 ；真值为假的命题称为假命题⑵其它类型的句子，如疑问句、祈使句、感叹句均没有真假意义，因为均不是命 题在数理逻辑中，命题的真值的真和假，有时分别用1和0来表达，也有时分别 用T和F来表达命题的分类：原子命题：不能分解成更简单的命题的命题复合命题：由若干个原子命题用命题联结词、标点符号联结起来的命题例：（1）10是整数 真原子命题（2）北京是我们祖国的首都 真 原子命题（3）雪是黑的 假 原子命题（4）煤是白的 假 原子命题（5）今天是7号 在一定条件下是真命题（如果今天是7号）6）1+11=100 在一定条件下是真命题（在二进制中）7）我学英语，或者学法文 复合命题（8）如果 天气好，我就去游泳 复合命题（9）向右看齐！ 祈使句 非命题（10）请勿吸烟！ 祈使句 非命题（11）你吃饭了吗？疑问句 非命题（12）你上网了吗？疑问句 非命题（13）本命题是假的。

悖论（14）我正在说谎 悖论（15）我不给所有自己给自己理发的人理发，但是却会给所有自己不给自己理发的人理发悖论 命题标识符：用大写字母P、Q、R、P1、P2L来表示命题，这些大写字母称 为命题标识符命题常量：用命题标识符表示的确定的命题称为命题常量，它有确定的真值命题变量：表示任何一个命题的标识符，称为命题变量，它有不确定的真值二．命题联结词：常见联结词否定、合取、析取、蕴含、等价和异或1. 否定 符号：P是命题，P读作“非P”P真值表为 PP 0 1 1 0否定的性质 双重否定律 ： （P） P说明：1、P是一元联结词所谓一元联结词就是联结一个命题的联结词 2、念作“等值”，表示该符号两边的两个命题在任何情况下真值相同2. 合取 符号：P、Q是命题PQ 读作“P且Q”，“P合取Q”PQ 真值表 P Q P Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1例：P：今天下雨。

Q:今天刮风则PQ ：今天下雨且刮风合取的性质1) 幂等律 PPP2) 交换律 PP3) 结合律 (PQ)CP(QC) 4) 零一律P0 05) 同一律P1 P6) 否定律 PP 0 3. 析取 符号： P、Q是命题,记作PQ ，读作“P或Q”，“P析取Q”PQ 真值表 P Q PQ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1例：P：今天下雨Q:今天刮风则 PQ ：今天下雨或刮风析取的性质：1) 幂等律 PPP2) 交换律 PP3) 结合律 (PQ)CP(QC)4) 同一律 P0P5) 零一律 P116) 否定律 PP 07) 吸收律 P(PQ) P, P(PQ) P8) 分配律P(QC)(PQ)(PC)P (QC)(PQ) (PC)9) 德、摩根律 (PQ)PQ, (PQ)PQ说明：（1）和混合运算只能用分配律，不能用结合律例：P(PQ)与P (QC)不等值2）和的分配律：P (QC)(PQ) (PC)，形如乘与加的分配律P× (Q+C)。

3）可兼或与不可兼或 可兼或：明天下雨或刮风 不可兼或：今天晚上去电影院看电影，或在家看电视 4.蕴含 符号： P、Q是命题PQ 读作“P蕴含Q”，“如果P则Q”，“当P，则Q”，“P是Q的充分条件” 例：P:我去上海 Q:我给你买衣服PQ：如果我去上海，就给你买衣服P假Q假 我没去上海，也没给你买衣服 PQ真P假Q真 我没去上海，但没给你买衣服 PQ真P真Q假 我去了上海，但没给你买衣服 PQ假P真Q真 我没去上海，也没给你买衣服 PQ真PQ 真值表 P Q PQ 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1P也称为前件；Q称为后件前件为假时，PQ必为真；后件为真时，PQ必为真蕴含的性质1) 归化：PQPQ 所谓归化就是用、、表示其它联结词2) PP证明：P QPQPPQ0 01110 11111 00001 1011在全部四种情况下，PQ与QP的真值表相同，所以PP3)（PQ）PQ例：将下列命题符号化1) 如果1+2＝3,则太阳从东边升起 PQ2) 如果1+2≠3,则太阳从东边升起 PQ3) 如果1+2＝3,则太阳从东边升起 PQ4) 如果1+2≠3,则太阳从东边升起 PQP:1+2=3Q:表示太阳从东边升起说明(1)蕴涵不存在交换律、结合律PQ与QP不等值 （PQ）R与P（QP）等值 (2)在数理逻辑中，即使 P、Q没有内在联系 PQ仍有意义5. 等价 符号：P、Q是命题从 读作“P等价于Q”，“P当且仅当Q”，“P是Q的充要条件”。

PQ 真值表 P Q PQ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1等价的性质PQ(PQ)(QP)从(PQ)(PQ)(PQ)(PQ1) 交换律：PQ QP2) 结合律：（PQ）R P(QR)3) PQ(PQ)(QP)4) 归化：PQ(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)证明结合律PQRPQ（PQ）RQRP(QR)00010100011101010010101100101000111101000011010001111111左右两边在全部八种情况下均相等，所以两边等值，（PQ）R P(QR)说明：1) 是逻辑联结词，而是公式关系符A、B是命题，AB仍是命题，而AB不是命题2) P、Q两命题，没有内在联系 PQ仍有意义例：2+2=5的充要条件是太阳从西边升起 真 该命题为真。