第4章非线性系统线性化.ppt

非线性系统的线性化非线性系统的线性化 1 1、传统近似线性化、传统近似线性化 2 2、精确线性化、精确线性化 3 3、现代近似线性化、现代近似线性化第四章第四章Company Logol条件苛刻，计算复杂l基本思想：一阶近似l适用于工作点范围不大情况l基本思想：通过坐标变换把强非线性系统变换成弱非线性系统或通过状态反馈以保持线性系统的部分特点传统近似线性化精确线性化非线性系统线性化方法现代近似线性化近似线性化传统近似线性化最小二乘法泰勒展开傅里叶级数展开误差最小忽略高阶项忽略高次谐波雅可比矩阵忽略高阶项传统近似线性化方法传统近似线性化方法非线性系统反馈线性化非线性系统反馈线性化_ _主要内容•4.0 绪论绪论•4.1 基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法•4.2 单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计–仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计–线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计–线性定常系统设计线性定常系统设计—闭环极点配置闭环极点配置–一般非线性系统的直接反馈线性化设计：逆系统方法一般非线性系统的直接反馈线性化设计：逆系统方法•4.3 反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型–输入输入—状态线性化状态线性化–输入输入—输出线性化输出线性化–线性系统的内动态子系统线性系统的内动态子系统–零动态子系统零动态子系统•4.4 数学知识数学知识–微分同胚与状态变换微分同胚与状态变换–弗罗贝尼斯定理弗罗贝尼斯定理•4.5 非线性系统反馈线性化非线性系统反馈线性化–单输入单输出系统的输入单输入单输出系统的输入—状态线性化状态线性化–单输入单输出系统的输入单输入单输出系统的输入—输出线性化输出线性化–多输入多输入—多输出系统的反馈线性化多输出系统的反馈线性化•4.6 近似线性化方法近似线性化方法非线性系统反馈线性化绪论非线性系统反馈线性化绪论 非线性系统的反馈线性化是近年来引起人们极大兴趣的一种非线性控制系非线性系统的反馈线性化是近年来引起人们极大兴趣的一种非线性控制系统设计方法。

这种方法的思路是通过状态或输出的反馈，将一个非线性系统的统设计方法这种方法的思路是通过状态或输出的反馈，将一个非线性系统的动态特性变成（全部或部分）线性的动态特性，从而可以应用熟知的线性控制动态特性变成（全部或部分）线性的动态特性，从而可以应用熟知的线性控制的方法对系统进行设计与控制反馈线性化通过严格的状态变换与反馈变换来的方法对系统进行设计与控制反馈线性化通过严格的状态变换与反馈变换来达到，线性化过程中没有忽略任何高阶非线性项，因而这种线性化是精确的达到，线性化过程中没有忽略任何高阶非线性项，因而这种线性化是精确的 目前反目前反馈线性化的方法主要有两种：性化的方法主要有两种：1）精确）精确线性化方法性化方法(exact linearization method)，如微分几何方法，，如微分几何方法，隐函数方法函数方法和逆系和逆系统方法等；方法等；2）基于参考模型的）基于参考模型的渐近近线性化方法，如模型参考方法及模型参考自适性化方法，如模型参考方法及模型参考自适应方法等而确切地而确切地说，，这两种两种线性化方法都是模型参考方法，不性化方法都是模型参考方法，不过前者可称前者可称为隐含模型含模型参考方法（参考方法（implicit model reference approach），而后者），而后者为实际模型参考方法模型参考方法（（real model refernce approach）。

精确精确线性化方法中，微分几何方法和逆系性化方法中，微分几何方法和逆系统方法已形成各自的理方法已形成各自的理论体系并体系并在在许多多领域得到成功的域得到成功的应用相比之下基于用相比之下基于隐函数方法的直接函数方法的直接线性化方法由于性化方法由于其可其可应用的范用的范围较窄，理窄，理论上又上又难以深入，被研究得要少得多以深入，被研究得要少得多 在非线性系统的模型参考方法中，基于李亚普诺夫直接方法的非线性系统在非线性系统的模型参考方法中，基于李亚普诺夫直接方法的非线性系统反馈线性化方法是最重要和最有效的一种设计方法，这类方法称为非线性系统反馈线性化方法是最重要和最有效的一种设计方法，这类方法称为非线性系统反馈线性化的直接方法反馈线性化的直接方法 运用控制系统动平衡状态的概念，提出一种建立在控制系统动平衡状态渐运用控制系统动平衡状态的概念，提出一种建立在控制系统动平衡状态渐近稳定概念上的新的设计方法本方法认为：控制系统的输入直接控制的是系近稳定概念上的新的设计方法本方法认为：控制系统的输入直接控制的是系统的动平衡状态系统的输出和状态是在系统结构的约束下运动的。

当系统对统的动平衡状态系统的输出和状态是在系统结构的约束下运动的当系统对其平衡状态大范围渐近稳定时，其状态将在系统结构约束下渐近收敛于系统的其平衡状态大范围渐近稳定时，其状态将在系统结构约束下渐近收敛于系统的平衡状态当其平衡状态运动时，系统的状态亦将跟踪其平衡状态运动因此平衡状态当其平衡状态运动时，系统的状态亦将跟踪其平衡状态运动因此控制系统平衡状态的运动，即可实现对系统运动状态及输出的控制控制系统平衡状态的运动，即可实现对系统运动状态及输出的控制 模型参考方法在跟踪控制系统设计中是一种十分有效的方法这一方法不模型参考方法在跟踪控制系统设计中是一种十分有效的方法这一方法不仅在相对复杂的非线性系统设计中得到应用，即使性定常系统的设计中同仅在相对复杂的非线性系统设计中得到应用，即使性定常系统的设计中同样也得到大量的应用样也得到大量的应用非线性系统反馈线性化绪论非线性系统反馈线性化绪论按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线性化的直接方法：性化的直接方法：（（1）按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模）按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模型参考系统。

型参考系统2）以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态利用李）以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态利用李亚普诺夫直接方法设计控制律使系统对动平衡状态渐进稳定从而被控系统近亚普诺夫直接方法设计控制律使系统对动平衡状态渐进稳定从而被控系统近似具有模型参考系统的动态特性，实现非线性系统的反馈线性化似具有模型参考系统的动态特性，实现非线性系统的反馈线性化 为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态按预定的方式运动然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡按预定的方式运动然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡状态收敛，从而实现对状态的控制这一方法很好地解决了将仅适用于自由动状态收敛，从而实现对状态的控制这一方法很好地解决了将仅适用于自由动态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来为控制系统的分析与设突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来。

为控制系统的分析与设计提供了一条新的思路计提供了一条新的思路非线性系统反馈线性化绪论非线性系统反馈线性化绪论其中，其中， 为状态向量，为状态向量， 为控制向量，为控制向量， 为向量函数为向量函数 其中其中 为状态向量，为状态向量， 为控制向量，为控制向量， , 为常数矩阵，为常数矩阵，并且并且 的所有特征值均具有负实部则下述基于李雅普诺夫第二方法的设计可的所有特征值均具有负实部则下述基于李雅普诺夫第二方法的设计可以实现系统状态以实现系统状态 对对 的渐近跟踪，从而实现非线性系统动态特性的线性化的渐近跟踪，从而实现非线性系统动态特性的线性化基于动平衡状态理论的非线性系统反馈基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法线性化直接方法按上述方法，基本设计过程如下：按上述方法，基本设计过程如下：考虑一般的非线性系统考虑一般的非线性系统 （（1.1））设希望的线性系统动态特性为设希望的线性系统动态特性为 （（1.2））令状态偏差为令状态偏差为 ，则有，则有 由式（由式（1.1）和式（）和式（1.2）可得系统的状态偏差方程为：）可得系统的状态偏差方程为： （（1.3））其中其中 ，且，且 。

则有则有 的导数为：的导数为： （（1.5）） 其中其中 ，， 为标量函数为标量函数基于动平衡状态理论的非线性系统反馈基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法线性化直接方法取状态偏差的二次型函数取状态偏差的二次型函数 （（1.4）） 因为当状态偏差因为当状态偏差 的欧几里德范数的欧几里德范数 时，时， ，平衡状态，平衡状态 是在大范围内渐近稳定的从而有是在大范围内渐近稳定的从而有 时，时， 由上面的分析可直接给出。

由上面的分析可直接给出如下定理：如下定理： 定定理理1.1 给给定定非非线线性性时时变变系系统统（（1.1））及及模模型型参参考考系系统统（（1.2））设设 稳稳 定定，， 是是模模型型参参考考自自由由系系统统（（对对应应于于 ））在在原原点点平平衡衡状状态态的的李李雅雅普普诺诺夫函数那么，若存在控制夫函数那么，若存在控制 使使 由于由于 的所有特征值均具有负实部，因此可找到正定矩阵的所有特征值均具有负实部，因此可找到正定矩阵 ，使，使 为一为一负定矩阵若能选取控制向量负定矩阵若能选取控制向量 （（ 为可能用到的为可能用到的 的各阶导数）的各阶导数），使，使 ，则，则 为李雅普诺夫函数为李雅普诺夫函数 若能选择若能选择 使使 在所考虑的系统参数变化范围内非正，则可保证系统具有在所考虑的系统参数变化范围内非正，则可保证系统具有参数不确定时反馈线性化的鲁棒性参数不确定时反馈线性化的鲁棒性 若选取的若选取的 使使 ，则称非线性系统（，则称非线性系统（1.1）被精确线性化。

被精确线性化 我们可给出定理我们可给出定理1.1更一般的情况如下：更一般的情况如下：基于动平衡状态理论的非线性系统反馈基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法线性化直接方法 （（1.6））则偏差系统（则偏差系统（1.3）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的证明：证明： 因为因为 是偏差自由系统在平衡状态的李雅普诺夫函数，因此有是偏差自由系统在平衡状态的李雅普诺夫函数，因此有 负定 定理定理1.2 考虑状态偏差系统（考虑状态偏差系统（1.3）设其对应的自由动态系统）设其对应的自由动态系统 在在平衡状态平衡状态 大范围一致渐近稳定，大范围一致渐近稳定， 是自由系统在平衡状态的李雅普诺夫是自由系统在平衡状态的李雅普诺夫函数。

如果控制策略函数如果控制策略 使使 （（1.7））则被控的状态偏差系统（则被控的状态偏差系统（1.3）是大范围一致渐近稳定是大范围一致渐近稳定基于动平衡状态理论的非线性系统反馈基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法线性化直接方法将将 作为偏差控制系统（作为偏差控制系统（1.3）的可能的李亚普诺夫函数，有）的可能的李亚普诺夫函数，有 由于上式右端第一由于上式右端第一项负定，定，显然若式（然若式（1.7）成立，）成立，则 负定式（（1.3）的被控状）的被控状态偏差系偏差系统大范大范围一致一致渐近近稳定 非线性系统的反馈线性化，确切地说还可以分为输入非线性系统的反馈线性化，确切地说还可以分为输入--状态线性化和输状态线性化和输入入--输出线性化输出线性化 对调节问题（稳定性问题）采用输入对调节问题（稳定性问题）采用输入--状态线性化通常即可满足要求对状态线性化通常即可满足要求对系统的调节要求；但对跟踪问题通常必须采用输入系统的调节要求；但对跟踪问题通常必须采用输入--输出线性化设计才能满输出线性化设计才能满足对系统的性能要求。

足对系统的性能要求单变量输入输出反馈线性化直接方法及单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计鲁棒设计 设系统由下述微分方程表示设系统由下述微分方程表示 （（2.1）） 其中为其中为 输入，输入， 为输出取输出及其前为输出取输出及其前n-1阶导数为状态变量，方程阶导数为状态变量，方程（（2.1）可表示为如下的状态空间表达形式：）可表示为如下的状态空间表达形式：（（2.1a））简记为简记为 （（2.1b））单变量输入输出反馈线性化直接方法及单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计鲁棒设计 其中其中 为状态向量，为状态向量， 表示控制表示控制 及其前及其前m阶阶导数。

导数设上述系统的希望动态特性可用下述线性定常模型系统表示：设上述系统的希望动态特性可用下述线性定常模型系统表示： （（2.2）） 其中其中 为希望输出，为希望输出， 为模型的输入，为模型的输入， ，， 为常数同样取为常数同样取 及及其前其前n-1阶导数为状态变量，可得其对应的可控型状态空间表达式为：阶导数为状态变量，可得其对应的可控型状态空间表达式为： （（2.2a）） 其中其中 为模型的状态向量；为模型的状态向量； ，， ，， 为常数。

为常数单变量输入输出反馈线性化直接方法及单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计鲁棒设计 根根据据动动平平衡衡状状态态理理论论，，我我们们可可以以将将 作作为为被被控控系系统统的的动动平平衡衡状状态态，，通通过过设设计计合合适适的的控控制制律律，，使使所所构构成成的的控控制制系系统统中中被被控控状状态态 对对动动平平衡衡状状态态 在在大大范范围围内内渐渐近近稳稳定定从从而而实实现现 对对 ，，亦亦即即 对对 的的渐渐近近逼逼近近，，使使被被控控系系统统具具有有所所希希望望的的动动态态特特性性实实现现上上述述目目标标的的一一个个直直接接方方法法便便是是利利用用李李雅雅普普诺诺夫夫第第二二方方法法为为此此，，以以 为动平衡状态，定义误差向量为动平衡状态，定义误差向量 （（2.3））由式（由式（2.1a）及式（）及式（2.2a）可得）可得 （（2.4））取状态偏差的二次型函数取状态偏差的二次型函数 （（2.5））其中其中 ，且，且 。

则有则有 的导数为：的导数为： （（2.6）） 单变量输入输出反馈线性化直接方法及单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计鲁棒设计 其中：其中： （（2.7）） （（2.8）） 为标量函数为标量函数 由于系统（由于系统（2.1a）和系统（）和系统（2.2a）均为可控型，）均为可控型， 的确定可以进一步简化的确定可以进一步简化由式（由式（2.8）我们有：）我们有： （（2.9）） 其中：其中： （（2.10）） （（2.11））单变量输入输出反馈线性化直接方法及单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计鲁棒设计 ，， 为标量，以后的计算中，只需根据式（为标量，以后的计算中，只需根据式（2.10）和（）和（2.11）便可确）便可确定控制规律定控制规律 。

因为当状态偏差因为当状态偏差 的欧几里德范数的欧几里德范数 时，时， ，平衡状态，平衡状态 是在大范围内渐近稳定的，即是在大范围内渐近稳定的，即 为控制系统的大范围渐近稳定的动平衡状态为控制系统的大范围渐近稳定的动平衡状态从而有从而有 时，时， 由上面的分析可直接给出如下定理：由上面的分析可直接给出如下定理： 定理定理2.1 给定非线性时变系统（给定非线性时变系统（2.1）及模型参考系统（）及模型参考系统（2.2）设 稳稳定，定， 为模型参考自由系统（为模型参考自由系统（ ）在原点平衡状态的李亚普诺夫函数那么，）在原点平衡状态的李亚普诺夫函数那么，若存在控制若存在控制 使使则偏差系统（则偏差系统（2.3）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的非线性时变系统）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的非线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的输出的输出渐近跟踪参考模型的输出 若能选择若能选择 使使 在所考虑的系统参数变化范围内非正，则可保证系统具有在所考虑的系统参数变化范围内非正，则可保证系统具有参数不确定时反馈线性化的鲁棒性。

参数不确定时反馈线性化的鲁棒性 在这一方法中，若令在这一方法中，若令 ，即可实现系统的精确线性化若非线性系统，即可实现系统的精确线性化若非线性系统是仿射非线性的，则其结果同微分几何方法是仿射非线性的，则其结果同微分几何方法仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 考虑仿射非线性系统考虑仿射非线性系统 （（2.12）） 选取选取 及其前及其前n-1阶导数为状态变量，可将其转换为式（阶导数为状态变量，可将其转换为式（2.1）形式的状）形式的状态空间表达式，且其中态空间表达式，且其中 （（2.13）） （（2.14）） 由定理由定理2.1，令，令 ，可实现仿射非线性系统的精确线性化。

由式，可实现仿射非线性系统的精确线性化由式（（2.14）得精确线性化得控制策略为）得精确线性化得控制策略为 （（2.15））1.精确线性化精确线性化2.鲁棒线性化设计鲁棒线性化设计仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 （（1）设仿射非线性系统具有不确定性）设仿射非线性系统具有不确定性 （（2.16））其中其中 ，则控制策略，则控制策略 （（2.17））将使系统鲁棒线性化将使系统鲁棒线性化证明：证明： 将将 代入代入 整理后有整理后有 由式（由式（2.9）有：）有： 由定理由定理2.1，偏差系统（，偏差系统（2.3）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。

非）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的非线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的输出线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的输出2）设仿射非线性系统具有不确定性）设仿射非线性系统具有不确定性 （（2.18））仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 其中其中 ，， 不失一般性，设不失一般性，设则控制策略则控制策略 （（2.19））将使系统鲁棒线性化将使系统鲁棒线性化证明：证明： 将将 代入代入 整理后有整理后有由式（由式（2.9）有：）有： 由定理由定理2.1，偏差系统（，偏差系统（2.3）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。

非）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的非线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的输出线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的输出线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 考虑变系数线性系统考虑变系数线性系统 （（2.20））对照式（对照式（2.1b）有）有 （（2.21））根据式（根据式（2.9））-（（2.11），在保证），在保证 非正（即非正（即 非正）的前提下，至少有非正）的前提下，至少有如下几种选择方式如下几种选择方式1.精确抵消法精确抵消法选择选择 使使 ，即，即 这时可取这时可取 （（2.22））线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 此时李雅普诺夫函数此时李雅普诺夫函数 ，， ，其中，其中 ，， 。

系统系统的动态方程直接由式（的动态方程直接由式（2.2）所示2.非精确抵消法非精确抵消法由式（由式（2.9））-（（2.11），我们有），我们有 （（2.23））设设 不变号，取不变号，取 （（2.24）） 由于要使由于要使 为李亚普诺夫函数，只需为李亚普诺夫函数，只需 非正，这就为本方法中非正，这就为本方法中 的选的选择带来了极大的便利，最简单直接的方法就是取绝对值加符号函数方法择带来了极大的便利，最简单直接的方法就是取绝对值加符号函数方法线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 代入式（代入式（2.23），并考虑到对任意函数），并考虑到对任意函数 有有 ，我们有，我们有可见按式（可见按式（2.24）确定的）确定的 保证了保证了 为李雅普诺夫函数。

为李雅普诺夫函数3.鲁棒控制系统的实现鲁棒控制系统的实现线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 在上述非精确抵消方法中，如果可预先确定系统各参数取值的绝对值的在上述非精确抵消方法中，如果可预先确定系统各参数取值的绝对值的最大值，则下述按参数绝对值最大值选取的控制律，不仅能保证最大值，则下述按参数绝对值最大值选取的控制律，不仅能保证 为李雅为李雅普诺夫函数，同时还将使系统对区间内变化的参数具有鲁棒性普诺夫函数，同时还将使系统对区间内变化的参数具有鲁棒性在式（在式（2.24）中，除）中，除 外，取各参数绝对值的最大值，有外，取各参数绝对值的最大值，有 （（2.25）） 其中其中 ，， 。

显然，如果我们选择显然，如果我们选择 ，， 则将使系统的鲁棒性进一步增加，同时还可使系统的鲁棒性进一步增加，同时还可使 的收敛速度加快的收敛速度加快线性定常系统设计线性定常系统设计——闭环极点配置闭环极点配置 考虑线性定常系统考虑线性定常系统 （（2.26））对照式（对照式（2.1b）有）有 （（2.27））设系统的希望动态特性如式（设系统的希望动态特性如式（2.2）所示则由式（）所示则由式（2.11）有）有 （（2.28））其中其中 （（2.29））线性定常系统设计线性定常系统设计——闭环极点配置闭环极点配置 令令 ，即，即 。

则有则有 ，， 为李亚普诺为李亚普诺夫函数，其中夫函数，其中 ，， 当 ，将有，将有 这时由式（这时由式（3.29）可解出）可解出 （（2.30））其中其中 ，， 这一结果同状态反馈极点配置方法的结果是一致的相当于利用线性状这一结果同状态反馈极点配置方法的结果是一致的相当于利用线性状态反馈将原系统的极点配置到了希望系统的极点位置其具体实现形式为：态反馈将原系统的极点配置到了希望系统的极点位置其具体实现形式为： 一般非线性系统的直接反馈线性化设计：一般非线性系统的直接反馈线性化设计：逆系统方法逆系统方法考虑非线性系统考虑非线性系统 （（2.31）） 将上式作为代数方程来看，如果从中可解出将上式作为代数方程来看，如果从中可解出 的显式表示的显式表示 （（2.33））则式（则式（2.33）即为系统（）即为系统（2.31）的逆系统）的逆系统。

选取选取 及其前及其前n-1阶导数为状态变量，用阶导数为状态变量，用 表示表示 及其前及其前m阶导数，则阶导数，则上式可记为上式可记为 （（2.32）） 在方程（在方程（2.33）中，记）中，记 ，则得到系统（，则得到系统（2.33）的）的n阶积分逆阶积分逆系统系统 ，由下式表示：，由下式表示： （（2.34））一般非线性系统的直接反馈线性化设计：一般非线性系统的直接反馈线性化设计：逆系统方法逆系统方法将将 代入代入 可得：可得： （（2.35）） 令令 ，可得精确线性化控制策略为，可得精确线性化控制策略为 （（2.33））反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型 最简单形式的反馈线性化是将非线性系统中的非线性抵消掉，使闭环动最简单形式的反馈线性化是将非线性系统中的非线性抵消掉，使闭环动态特性变成线性形式。

态特性变成线性形式 例例3.1 控制水箱液面高度控制水箱液面高度考虑将水箱中液面的高度考虑将水箱中液面的高度h，控制在指定的高，控制在指定的高度度 ，控制输入是进入水箱的液体流量，控制输入是进入水箱的液体流量u，初，初始高度为始高度为 其中其中 是水箱的横截面积，是水箱的横截面积，a是出水管的横截面积如果初始高度是出水管的横截面积如果初始高度 与期望高度与期望高度 相差悬殊，相差悬殊，h的控制就是一个非线性调节问题的控制就是一个非线性调节问题 动态方程式（动态方程式（3.1）可重写为）可重写为:水箱的动态模型为水箱的动态模型为 （（3.1））反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型 若选若选 为为 （（3.2））式中式中 为待求的为待求的“等效输入等效输入”，则得到线性的动态方程，则得到线性的动态方程 选取选取 为为 （（3.3））其中其中 为液面高度误差，为液面高度误差，a为一严格正常数，则得到闭环动态方程为：为一严格正常数，则得到闭环动态方程为： （（3.4）） 这说明当时这说明当时 ，， 。

根据式（根据式（3.2）和式（）和式（3.3），实际的输入流），实际的输入流量由下列非线性控制律确定：量由下列非线性控制律确定： （（3.5））式（式（3.5）中，右端第一项用来提供输出流量）中，右端第一项用来提供输出流量 ，第二项则是用来根据期，第二项则是用来根据期望的线性动态特性式（望的线性动态特性式（3.4）去改变液面高度去改变液面高度反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型 类似地，如果期望高度是一个已知的时变函数类似地，如果期望高度是一个已知的时变函数 ，则等效输入，则等效输入 可选为：可选为： 从而仍得到从而仍得到 时时 的结果 反馈线性化的想法，即抵消非线性并施加一个期望的线性动态特性，可以反馈线性化的想法，即抵消非线性并施加一个期望的线性动态特性，可以直接应用于一类由所谓伴随型或能控标准形所描述的非线性系统。

直接应用于一类由所谓伴随型或能控标准形所描述的非线性系统 所谓一个系统是伴随型的，是指其动态方程可以表示为所谓一个系统是伴随型的，是指其动态方程可以表示为 （（3.6））其中其中u是标量控制输入，是标量控制输入，x是所关注的标量输出，而是所关注的标量输出，而 是状态矢是状态矢量，量， 与与 是状态的非线性函数这种形式的特点是尽管方程中出现是状态的非线性函数这种形式的特点是尽管方程中出现x的各的各阶导数，但是不出现输入阶导数，但是不出现输入u的导数若用状态空间表示，式（的导数若用状态空间表示，式（3.6）可写为：）可写为： 可以表示为这种能控标准形的系统，若使用控制输入（假定可以表示为这种能控标准形的系统，若使用控制输入（假定 不为零）不为零） （（3.7））就能抵消掉非线性特性而获得一个简单的输入就能抵消掉非线性特性而获得一个简单的输入—输出关系（多重积分形式）输出关系（多重积分形式）因此控制可选为因此控制可选为其中其中 选择使得多项式选择使得多项式 的所有根均严格位于左半平面从的所有根均严格位于左半平面从而导致指数稳定的动态特性而导致指数稳定的动态特性反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型 即即 。

对于跟踪期望轨迹对于跟踪期望轨迹 的任务，控制律可选为：的任务，控制律可选为： （（3.8））其中其中 为跟踪误差，该控制律导致指数收敛跟踪若标量为跟踪误差，该控制律导致指数收敛跟踪若标量x换成矢换成矢量，标量量，标量b换成可逆方阵，亦可获得类似的结果换成可逆方阵，亦可获得类似的结果 在式（在式（3.6）中曾假定动态方程对于控制输入是线性的（但对状态是非线）中曾假定动态方程对于控制输入是线性的（但对状态是非线性的），然而这一方法不能推广到把性的），然而这一方法不能推广到把u换成一个可逆函数换成一个可逆函数 的情形例如，的情形例如，通过阀门控制流量的系统，其动态特性可能是依赖于通过阀门控制流量的系统，其动态特性可能是依赖于 而不是直接依赖于而不是直接依赖于u，，这里这里u是阀门开启的直径这时只要定义是阀门开启的直径这时只要定义 ，即可以容易地根据上述步骤，即可以容易地根据上述步骤首先设计出首先设计出 ，然后利用，然后利用 来计算输入来计算输入u。

这种方法实际上避免了在控这种方法实际上避免了在控制计算中出现非线性制计算中出现非线性 当非线性动态方程当非线性动态方程不是能控标准形时不是能控标准形时，可以首先利用代数变换将方程化为，可以首先利用代数变换将方程化为能控标准形，然后再使用上述的反馈线性化设计，或者借助于原动态系统的部能控标准形，然后再使用上述的反馈线性化设计，或者借助于原动态系统的部分线性化，而不要求总体的线性化分线性化，而不要求总体的线性化 反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型 考虑单输入非线性系统考虑单输入非线性系统 中控制输入中控制输入 的设计问题输入的设计问题输入-状态线状态线性化方法通过两步来解决这个问题性化方法通过两步来解决这个问题 首先找出一个状态变换首先找出一个状态变换 与一个输入变换与一个输入变换 使非线性系统动使非线性系统动态方程化成一个等效的线性定常系统动态方程，并表示成熟知的形式态方程化成一个等效的线性定常系统动态方程，并表示成熟知的形式 其次，再利用标准的线性控制方法（例如极点配置）来设计其次，再利用标准的线性控制方法（例如极点配置）来设计 。

以一个简单的二阶系统为例来说明这个方法考虑系统以一个简单的二阶系统为例来说明这个方法考虑系统 （（3.9）） 虽然线性控制设计也能使这个系统在平衡点虽然线性控制设计也能使这个系统在平衡点（0,0）附近的一个小范围内稳附近的一个小范围内稳定，然而采用什么控制器能使它在更大的范围内稳定却不是一目了然的尤其是定，然而采用什么控制器能使它在更大的范围内稳定却不是一目了然的尤其是方程中的非线性更增加了控制上的困难，因为它不能直接用控制输入来抵消方程中的非线性更增加了控制上的困难，因为它不能直接用控制输入来抵消输入输入——状态线性化状态线性化 如果考虑一组新的状态变量如果考虑一组新的状态变量 （（3.10））则新的状态方程为则新的状态方程为 （（3.11））可以看到，新的状态方程平衡点依然为可以看到，新的状态方程平衡点依然为（0,0）。

同时可以看出，下列控制律同时可以看出，下列控制律 （（3.12））可用来抵消上式中的非线性其中可用来抵消上式中的非线性其中 是待设计的等效输入，于是可得到线性的是待设计的等效输入，于是可得到线性的输入输入—状态关系为状态关系为 （（3.13））输入输入——状态线性化状态线性化 因此，通过状态变换式（因此，通过状态变换式（3.10）和输入变换式（）和输入变换式（3.12），就将用原来的），就将用原来的输入输入 去稳定原来的非线性动态系统式（去稳定原来的非线性动态系统式（3.9）这样一个问题转变成了用新的）这样一个问题转变成了用新的输入输入 去稳定新的动态系统式（去稳定新的动态系统式（3.13）的问题。

的问题 由于新的动态系统是线性和能控的，采用熟知的线性状态反馈控制律由于新的动态系统是线性和能控的，采用熟知的线性状态反馈控制律并适当选择反馈增益，就能对极点任意地进行配置例如可以选择并适当选择反馈增益，就能对极点任意地进行配置例如可以选择 （（3.14））而得到稳定的闭环动态系统而得到稳定的闭环动态系统它的两个极点都在它的两个极点都在-2处输入输入——状态线性化状态线性化 用原来的状态用原来的状态 和和 表示，与此控制律相应的原控制输入为表示，与此控制律相应的原控制输入为 （3.15）原来的状原来的状态 由由 给出出为 （3.16）由于由于 和和 两者均收敛于零，故原来的状态两者均收敛于零，故原来的状态 亦收敛于零。

亦收敛于零输入输入——状态线性化状态线性化 采用上述控制后的采用上述控制后的闭环系统如右图所示闭环系统如右图所示这个控制系统中存在两这个控制系统中存在两个环：内环实现输入个环：内环实现输入-状状态关系的线性化，外环态关系的线性化，外环实现闭环动态特性的稳实现闭环动态特性的稳定性 关于上述控制律，有以下几点进一步的说明：关于上述控制律，有以下几点进一步的说明：1.虽然在状态空间中一个相当大的区域内上面的结论均成立，但它不是全局性虽然在状态空间中一个相当大的区域内上面的结论均成立，但它不是全局性的控制律在的控制律在 时没有定义显然，当初始状态位于这些奇时没有定义显然，当初始状态位于这些奇点处时，控制器不能使系统达到平衡点点处时，控制器不能使系统达到平衡点2.输入输入—状态线性化是通过状态变换与输入变换相结合而实现的，而在两种变状态线性化是通过状态变换与输入变换相结合而实现的，而在两种变换中都用到了状态反馈因此它是通过反馈来进行线性化，简称为反馈线性化换中都用到了状态反馈因此它是通过反馈来进行线性化，简称为反馈线性化这一点与基于线性控制的小范围雅可比线性化有着本质的区别。

这一点与基于线性控制的小范围雅可比线性化有着本质的区别3.为了实现这个控制律，需要用到新的状态变量（为了实现这个控制律，需要用到新的状态变量（ , ）若它们在物理上）若它们在物理上没有意义，或不能直接测量，则必须测量原来的状态没有意义，或不能直接测量，则必须测量原来的状态 并用式（并用式（3.10）来计）来计算新的状态变量算新的状态变量 输入输入——状态线性化状态线性化4.一般说来，控制器设计和一般说来，控制器设计和 的计算都须用到系统模型如果模型存在不确定的计算都须用到系统模型如果模型存在不确定性，即参数性，即参数 有不确定性，则从式（有不确定性，则从式（3.10）和式（）和式（3.12）可见，这种不确定）可见，这种不确定性对于计算新状态变量性对于计算新状态变量 和计算控制输入和计算控制输入 都会引起误差都会引起误差5.利用这种方法也能考虑跟踪控制的问题，但是这时应将期望的运动用新的状利用这种方法也能考虑跟踪控制的问题，但是这时应将期望的运动用新的状态矢量来表示，还可能需要进行复杂的计算，将期望运动的特性指标由原来的态矢量来表示，还可能需要进行复杂的计算，将期望运动的特性指标由原来的物理上有意义的输出变量表示变换成现在的新的状态变量表示。

物理上有意义的输出变量表示变换成现在的新的状态变量表示6.上述设计的成功使人们对将输入上述设计的成功使人们对将输入—状态线性化的思想推广到一般的非线性系状态线性化的思想推广到一般的非线性系统感到兴趣在考虑这种推广的时候，将产生以下两个问题：统感到兴趣在考虑这种推广的时候，将产生以下两个问题：（（1）哪些非线性系统能够变换成线性系统？）哪些非线性系统能够变换成线性系统？（（2）如果能够进行这种变换，如何找到这个变换？）如果能够进行这种变换，如何找到这个变换？ 输入输入——状态线性化状态线性化 考虑下列系统的跟踪控制问题考虑下列系统的跟踪控制问题 （（3.17）） 假定设计的目标是使输出假定设计的目标是使输出 跟踪期望的轨迹跟踪期望的轨迹 ，同时保持所有状态，同时保持所有状态有界，其中有界，其中 及其足够高阶的时间导数均假定已知且有界使用这个模型及其足够高阶的时间导数均假定已知且有界。

使用这个模型的明显困难在于输出的明显困难在于输出 只是通过状态只是通过状态 及非线性状态方程式（及非线性状态方程式（3.17）间接地）间接地与输入与输入 发生联系，所以不易看出应如何设计输入发生联系，所以不易看出应如何设计输入 来控制输出来控制输出 的跟踪性能的跟踪性能假如能够找到系统输出假如能够找到系统输出 与控制输入与控制输入 之间的一个直接而简单的关系，则跟踪之间的一个直接而简单的关系，则跟踪控制设计的困难就会大大降低事实上，由此想法构成了非线性系统控制设计控制设计的困难就会大大降低事实上，由此想法构成了非线性系统控制设计中的所谓输入中的所谓输入—输出线性化方法的基础用一个例子来说明这一方法输出线性化方法的基础用一个例子来说明这一方法输入输入——输出线性化输出线性化 考虑三阶系统考虑三阶系统 （（3.18））为了得到输出为了得到输出 与输入与输入 之间的直接关系，将输出之间的直接关系，将输出 微分微分由于由于 仍然与仍然与 没有直接联系，对上式再微分一次，得到没有直接联系，对上式再微分一次，得到 （（3.19））其中其中 是状态的函数，定义为是状态的函数，定义为 （（3.20））输入输入——输出线性化输出线性化式（式（3.19）代表）代表 与与 之间的一个显式关系。

如果选择输入为下列形式之间的一个显式关系如果选择输入为下列形式 （（3.21））其中其中 为待定的新输入，则式（为待定的新输入，则式（3.19）中的非线性便被抵消了，从而得到一）中的非线性便被抵消了，从而得到一个输出与新输入之间的简单的二重积分关系个输出与新输入之间的简单的二重积分关系利用线性控制方法很容易对这个二重积分关系设计跟踪控制器例如，定义跟利用线性控制方法很容易对这个二重积分关系设计跟踪控制器例如，定义跟踪误码差为踪误码差为 ，选取新的输入，选取新的输入 为为 （（3.22））其中其中 ，， 为正常数，则闭环系统的跟踪误差满足为正常数，则闭环系统的跟踪误差满足 （（3.23））它代表一个指数稳定的误差动态特性。

因此，如果开始时它代表一个指数稳定的误差动态特性因此，如果开始时 ，，则则 ，， ，即获得了理想跟踪；否则，即获得了理想跟踪；否则 指数地收敛于零指数地收敛于零输入输入——输出线性化输出线性化 这里需要注意两点：这里需要注意两点：（（1）除了奇异点）除了奇异点 处之外，控制律处处有定义处之外，控制律处处有定义2）为了实现这一控制律，要求全部状态都能测量，因为计算导数）为了实现这一控制律，要求全部状态都能测量，因为计算导数 和输入和输入变换式（变换式（3.21）均要求）均要求 的数值 上面这种首先产生一个线性的输入上面这种首先产生一个线性的输入—输出关系，然后再利用线性控制方法输出关系，然后再利用线性控制方法来构造控制器的设计策略称为输入来构造控制器的设计策略称为输入-输出线性化方法，它适用于许多系统，如输出线性化方法，它适用于许多系统，如果需要将系统的输出微分果需要将系统的输出微分 次才能得到一个输出次才能得到一个输出 与输入与输入 之间的显式关系，之间的显式关系，则称该系统的则称该系统的相对度相对度为为 。

因此，上述例子中的系统相对度为因此，上述例子中的系统相对度为2这个术语同这个术语同线性系统中所用的相对度的概念（极点超过零点的数目）是一致的可以严格线性系统中所用的相对度的概念（极点超过零点的数目）是一致的可以严格地证明，任何地证明，任何 阶能控系统，对于任一输出，最多只需要微分阶能控系统，对于任一输出，最多只需要微分 次就一定能使次就一定能使控制输入在表达式中出现，亦即控制输入在表达式中出现，亦即 如果对 微分永远不出现控制输入，微分永远不出现控制输入，则这个系统就是不可控的则这个系统就是不可控的输入输入——输出线性化输出线性化 值得注意的是，式（值得注意的是，式（3.23）仅说明了闭环动态系统的一部分，因为它只）仅说明了闭环动态系统的一部分，因为它只有二阶，而整个系统是三阶的因此，系统中有一部分（由一个状态分量描有二阶，而整个系统是三阶的因此，系统中有一部分（由一个状态分量描述）经由输入述）经由输入—输出线性化变成了输出线性化变成了“不能观不能观”的子系统这一部分子系统称为的子系统这一部分子系统称为内内动态子系统动态子系统 若此内动态子系统稳定（这里稳定的意思实际上是指在跟踪过程中状态维若此内动态子系统稳定（这里稳定的意思实际上是指在跟踪过程中状态维持有界，即在持有界，即在BIBO意义上的稳定性），跟踪控制设计的问题就真正地解决意义上的稳定性），跟踪控制设计的问题就真正地解决了。

否则，上面的跟踪控制器事实上没有意义，因为内动态子系统的不稳定性了否则，上面的跟踪控制器事实上没有意义，因为内动态子系统的不稳定性可能会产生一些不希望出现的现象因此，上面这种基于降阶模型式（可能会产生一些不希望出现的现象因此，上面这种基于降阶模型式（3.19））的控制器设计，其适用性依内动态子系统的稳定性而定的控制器设计，其适用性依内动态子系统的稳定性而定 最后还要指出，输入最后还要指出，输入—输出线性化方法虽然是在研究输出跟踪问题时提出输出线性化方法虽然是在研究输出跟踪问题时提出来的，但它同样可应用于稳定问题此外，关于用输入来的，但它同样可应用于稳定问题此外，关于用输入—输出线性化来进行稳输出线性化来进行稳定设计，还有必要作两点说明定设计，还有必要作两点说明 输入输入——输出线性化输出线性化 首先在稳定问题中，不一定要选择首先在稳定问题中，不一定要选择 具有明显的物理意义（在跟踪具有明显的物理意义（在跟踪设计中，输出的选择是由具体任务确定的）设计中，输出的选择是由具体任务确定的） 的任意函数均可为了设计的目的任意函数均可为了设计的目的而用来作为人为的输出，从而产生一个以稳定设计为目的的线性输入的而用来作为人为的输出，从而产生一个以稳定设计为目的的线性输入—输出输出关系。

关系 其次，不同的输出函数选择将产生不同的内动态子系统有可能一种输出其次，不同的输出函数选择将产生不同的内动态子系统有可能一种输出选择产生一个稳定的内动态子系统（或者不存在内动态子系统），而另一种输选择产生一个稳定的内动态子系统（或者不存在内动态子系统），而另一种输出选择却产生不稳定的内动态子系统因此，只要可能，就应该选择使相应的出选择却产生不稳定的内动态子系统因此，只要可能，就应该选择使相应的内动态子系统稳定的那种输出函数特殊情况下，当系统的相对度等于其阶数内动态子系统稳定的那种输出函数特殊情况下，当系统的相对度等于其阶数时，即当输出时，即当输出 必须微分必须微分 次（次（ 为系统阶数）时，变量为系统阶数）时，变量 可可作为系统的一组新状态变量，这时不会产生与该输入作为系统的一组新状态变量，这时不会产生与该输入—输出线性化有关的内动输出线性化有关的内动态子系统故在这种情况下，输入态子系统故在这种情况下，输入—输出线性化实际上变成了输入输出线性化实际上变成了输入—状态线性状态线性化，从而对于所指定的输出很容易实际状态调节和输出跟踪。

化，从而对于所指定的输出很容易实际状态调节和输出跟踪输入输入——输出线性化输出线性化 一般情况下，直接确定内动态子系统的稳定性是非常困难的，因为它一般一般情况下，直接确定内动态子系统的稳定性是非常困难的，因为它一般是非线性、非自治的，而且与外表的动态子系统之间有耦合虽然对某些系统是非线性、非自治的，而且与外表的动态子系统之间有耦合虽然对某些系统而言，也许可以利用李雅普诺夫或类似李雅普诺夫的分析方法，然而寻找李雅而言，也许可以利用李雅普诺夫或类似李雅普诺夫的分析方法，然而寻找李雅普诺夫函数并非易事，因而限制了这种方法的普遍应用，所以很自然地想到需普诺夫函数并非易事，因而限制了这种方法的普遍应用，所以很自然地想到需要寻找更为简单的方法来确定内动态子系统的稳定性为此，从熟知的线性系要寻找更为简单的方法来确定内动态子系统的稳定性为此，从熟知的线性系统入手，来考察内动态子系统这个概念统入手，来考察内动态子系统这个概念 例例3.2 两个线性系统的内动态子系统两个线性系统的内动态子系统 考虑下列简单的能控、能观线性系统考虑下列简单的能控、能观线性系统 （（3.24））线性系统的内动态子系统线性系统的内动态子系统 要求要求 跟踪期望输出跟踪期望输出 ，将输出微分一次就得到第一个状态方程，将输出微分一次就得到第一个状态方程其中显含其中显含 ，故采用控制律，故采用控制律 （（3.25））可产生跟踪误差方程可产生跟踪误差方程（其中（其中 ）及内动态子系统）及内动态子系统从这些方程可以看出，当从这些方程可以看出，当 趋近趋近 （同时（同时 趋近趋近 ）时）时 保持有界，保持有界，从而从而 也有界。

因此式（也有界因此式（3.25）是系统式（）是系统式（3.24）的一个满意的跟踪控制）的一个满意的跟踪控制器线性系统的内动态子系统线性系统的内动态子系统 再来看一个稍微不同的系统：再来看一个稍微不同的系统： （（3.26））采用与前面一样的控制器可产生同样的跟踪误差动态系统，然而却产生不同的采用与前面一样的控制器可产生同样的跟踪误差动态系统，然而却产生不同的内动态子系统内动态子系统由上式可见，当由上式可见，当 时，时， 以及相应地以及相应地 都趋向无穷大因此，式（都趋向无穷大因此，式（3.25））对系统式（对系统式（3.26）便不是一个合适的跟踪器便不是一个合适的跟踪器 为了搞清楚这两个系统之间的本质差别，可以来看看它们的传递函数为了搞清楚这两个系统之间的本质差别，可以来看看它们的传递函数线性系统的内动态子系统线性系统的内动态子系统 系统式（系统式（3.24）的传递函数为）的传递函数为而系统式（而系统式（3.26）的传递函数为）的传递函数为可以看到，这两个系统的极点相同而零点不同。

具体地说，设计成功的系统式可以看到，这两个系统的极点相同而零点不同具体地说，设计成功的系统式（（3.24）具有一个左半平面的零点）具有一个左半平面的零点-1，而设计失败的系统式（，而设计失败的系统式（3.26）却包含）却包含一个右半平面零点一个右半平面零点1 可以证明，上述结果（即如果对象的零点在左半平面，也就是说对象是最可以证明，上述结果（即如果对象的零点在左半平面，也就是说对象是最小相位的，则内动态子系统稳定）对于所有的线性系统都是正确的小相位的，则内动态子系统稳定）对于所有的线性系统都是正确的 线性系统的内动态子系统线性系统的内动态子系统 既然性系统中内动态子系统的稳定性简单地由零点的位置确定，因此既然性系统中内动态子系统的稳定性简单地由零点的位置确定，因此人们自然会有兴趣想知道这个关系人们自然会有兴趣想知道这个关系能否推广到非线性系统能否推广到非线性系统为此首先要将零点为此首先要将零点的概念推广到非线性系统，然后再确定内动态子系统的稳定性与这种推广了的的概念推广到非线性系统，然后再确定内动态子系统的稳定性与这种推广了的零点概念之间的关系零点概念之间的关系 将零点的概念推广到非线性系统并不是一个十分简单的问题。

线性系统是将零点的概念推广到非线性系统并不是一个十分简单的问题线性系统是在传递函数的基础上定义零点的，但传递函数不能推广到非线性系统此外，在传递函数的基础上定义零点的，但传递函数不能推广到非线性系统此外，零点是线性对象的一个内在特性，而对非线性系统来说，内动态子系统的稳定零点是线性对象的一个内在特性，而对非线性系统来说，内动态子系统的稳定性可能与特定的输入有关性可能与特定的输入有关 克服这一困难的一个途径是对非线性系统定义一个所谓的零动态子系统克服这一困难的一个途径是对非线性系统定义一个所谓的零动态子系统零动态子系统零动态子系统定义为当系统的输出被输入强制为零时它的内动态子系统定义为当系统的输出被输入强制为零时它的内动态子系统零动态子系统零动态子系统 对于线性系统，零动态子系统的渐近稳定性意味着内动态子系统的全局稳对于线性系统，零动态子系统的渐近稳定性意味着内动态子系统的全局稳定性；然而，对于非线性系统却没有如此明显的关系对于稳定问题，可以证定性；然而，对于非线性系统却没有如此明显的关系对于稳定问题，可以证明，零动态子系统的局部渐近稳定性足可保证内动态子系统的局部渐近稳定明，零动态子系统的局部渐近稳定性足可保证内动态子系统的局部渐近稳定性，这个结论也可以推广到跟踪问题。

然而，与线性系统的情形不同，对于非性，这个结论也可以推广到跟踪问题然而，与线性系统的情形不同，对于非线性系统的内动态子系统不能得到关于全局稳定性的结论，甚至连大范围稳定线性系统的内动态子系统不能得到关于全局稳定性的结论，甚至连大范围稳定性的结论也不能得到换言之，即使零动态子系统是全局指数稳定的，也只能性的结论也不能得到换言之，即使零动态子系统是全局指数稳定的，也只能保证内动态子系统的局部稳定性保证内动态子系统的局部稳定性 关于非线性系统的零动态子系统，可作如下两点说明首先，零动态子系关于非线性系统的零动态子系统，可作如下两点说明首先，零动态子系统的特性是一个非线性系统的内在特征，它与控制律及期望轨迹的选择无关统的特性是一个非线性系统的内在特征，它与控制律及期望轨迹的选择无关其次，考察零动态系统的稳定性比考察内动态子系统的稳定性要容易得多，因其次，考察零动态系统的稳定性比考察内动态子系统的稳定性要容易得多，因为零动态子系统仅涉及内部状态为零动态子系统仅涉及内部状态零动态子系统零动态子系统 归结起来，基于输入归结起来，基于输入—输出线性化的控制设计可循以下三步来进行：输出线性化的控制设计可循以下三步来进行：（（1）微分输出）微分输出 直至出现输入直至出现输入 ；；（（2）选取）选取 来抵消非线性并保证跟踪收敛；来抵消非线性并保证跟踪收敛；（（3）研究内动态子系统的稳定性。

研究内动态子系统的稳定性 若与输入若与输入—输出线性化有关的相对度等于系统的阶数，则非线性系统可完输出线性化有关的相对度等于系统的阶数，则非线性系统可完全地线性化，因而这一过程确实能得到一个满意的控制器（假定模型是精确全地线性化，因而这一过程确实能得到一个满意的控制器（假定模型是精确的）若相对度小于系统的阶数，则非线性系统只是部分地线性化，由此得到的）若相对度小于系统的阶数，则非线性系统只是部分地线性化，由此得到控制器是否真能使用取决于内动态子系统的稳定性对内动态子系统稳定性的控制器是否真能使用取决于内动态子系统的稳定性对内动态子系统稳定性的研究可以通过转而研究零动态子系统的稳定性而局部地简化若零动态子系统研究可以通过转而研究零动态子系统的稳定性而局部地简化若零动态子系统不稳定，则必须寻找新的控制策略，这时输入不稳定，则必须寻找新的控制策略，这时输入—输出线性化所提供的简化仅在输出线性化所提供的简化仅在于变换后的动态方程是部分线性化的于变换后的动态方程是部分线性化的零动态子系统零动态子系统 在描述这些数学工具的时候，将把矢量函数在描述这些数学工具的时候，将把矢量函数 称为称为 上的一个上的一个矢量场，矢量场的平滑性是指函数矢量场，矢量场的平滑性是指函数 具有要求的任意阶连续偏导数，以下将具有要求的任意阶连续偏导数，以下将只关心平滑的矢量场。

只关心平滑的矢量场 给定一个状态给定一个状态 的平滑的标量函数的平滑的标量函数 ，， 的梯度记为的梯度记为它是以它是以 为元素的一个行矢量类似地，给定一个矢量场为元素的一个行矢量类似地，给定一个矢量场 ，其雅，其雅可比矩阵记为可比矩阵记为 ，它是一个以，它是一个以 为元素的为元素的 的矩阵 数学知识数学知识 定义定义4.1 令令 为一个平滑的标量函数，为一个平滑的标量函数， 为为 上的一上的一个平滑的矢量场，则个平滑的矢量场，则 对对 的李导数是一个定义为的李导数是一个定义为 的标量函数的标量函数 李导数其实就是李导数其实就是 沿矢量沿矢量 方向导数方向导数 多重李导数可以递归地定义为多重李导数可以递归地定义为 类似地，如果类似地，如果 是另一个矢量场，则标量函数是另一个矢量场，则标量函数 为为 考虑下列单输出动态系统，不难看出李导数与动态系统之间的联系考虑下列单输出动态系统，不难看出李导数与动态系统之间的联系 李导数和李括号李导数和李括号输出的时间导数为输出的时间导数为 类似地，如果类似地，如果 是一个备选的李雅普诺夫函数，则它的时间导数可以写是一个备选的李雅普诺夫函数，则它的时间导数可以写为为 。

现在再看矢量场的另一个重要数学算符现在再看矢量场的另一个重要数学算符——李括号 定义定义4.2 令令 与与 为为 上的两个矢量场，上的两个矢量场， 与与 的李括号是第三个矢量的李括号是第三个矢量场，定义为场，定义为 李括号李括号 通常写为通常写为 多重李括号可以递归地定义为多重李括号可以递归地定义为李导数和李括号李导数和李括号 引理引理4.1 李括号具有下列性质李括号具有下列性质（（1）双线性：）双线性：其中其中 、、 、、 、、 、、 、、 都是平滑的矢量场，而都是平滑的矢量场，而 和和 为常标量为常标量2）斜交换性（或反对称性）：）斜交换性（或反对称性）： （（3））雅可比（雅可比（Jacobi）恒等式：）恒等式：其中其中 是是 的平滑标量函数的平滑标量函数李导数和李括号李导数和李括号 可以递归地应用雅可比恒等式来获得一些有用的专门性恒等式使用它两可以递归地应用雅可比恒等式来获得一些有用的专门性恒等式。

使用它两次得到次得到对于高阶的李括号亦可以获得类似的一些恒等式对于高阶的李括号亦可以获得类似的一些恒等式李导数和李括号李导数和李括号 可以微分同胚的概念可看成是熟知的坐标变换概念的推广，其定义如下：可以微分同胚的概念可看成是熟知的坐标变换概念的推广，其定义如下： 定义定义4.3 定义在区域上定义在区域上 的函数的函数 ：如果它是平滑的，它的逆：如果它是平滑的，它的逆 存在并且平滑，则称之为微分同胚存在并且平滑，则称之为微分同胚 如果区域如果区域 是整个空间，则称是整个空间，则称 为全局的微分同胚全局的微分同胚很为全局的微分同胚全局的微分同胚很少见，因此常常要寻找局部的微分同胚，即仅在一个给定点的邻域内定义的变少见，因此常常要寻找局部的微分同胚，即仅在一个给定点的邻域内定义的变换 引理引理4.2 令令 为在为在 中的区域中的区域 内定义的一个平滑函数，如果雅可比内定义的一个平滑函数，如果雅可比矩阵矩阵 在在 内一点内一点 非奇异，则非奇异，则 在在 的一个子区域内为一个局部的一个子区域内为一个局部的微分同胚。

的微分同胚 微分同胚可用来将一个非线性系统变换成另一个用新的状态表示的非线性微分同胚可用来将一个非线性系统变换成另一个用新的状态表示的非线性系统，它类似于性系统分析中通常所做的那样系统，它类似于性系统分析中通常所做的那样微分同胚与状态变换微分同胚与状态变换 考虑下列方程所描述的动态系统：考虑下列方程所描述的动态系统：定义新的状态为定义新的状态为求求 的微分得的微分得由此不难得到新的状态方程由此不难得到新的状态方程其中用到了其中用到了 ，而函数，而函数 ，， ，， 的定义是显然的的定义是显然的微分同胚与状态变换微分同胚与状态变换 例例4.1 一个非全局性微分同胚一个非全局性微分同胚 考虑非线性矢量函数考虑非线性矢量函数 （（4.1））它对所有的它对所有的 和和 都有定义，其雅可比矩阵为都有定义，其雅可比矩阵为它在它在x=(0,0)的秩为的秩为2，根据引理，根据引理4.2函数式函数式(4.1)在原点周围定义了一个局部在原点周围定义了一个局部的微分同胚。

事实上，这个微分同胚成立的区域为的微分同胚事实上，这个微分同胚成立的区域为因为在此区域内因为在此区域内 存在且关于存在且关于 平滑然而，在此区域之外，因为平滑然而，在此区域之外，因为 不唯不唯一，它不能定义一个微分同胚一，它不能定义一个微分同胚微分同胚与状态变换微分同胚与状态变换 考虑一阶偏微分方程组考虑一阶偏微分方程组 （（4.2）） 其中其中 与与 ，， 为为 的已知标量函数，的已知标量函数， 是一个未知函数很明显，两个矢量是一个未知函数很明显，两个矢量 和和 唯一地定义了这个偏微分方程组，如果它的解唯一地定义了这个偏微分方程组，如果它的解 存在，则称这组矢量存在，则称这组矢量场场 为完全可积的。

为完全可积的 现在的问题是要确定这些方程在什么条件下可解，这个问题并不是事先就现在的问题是要确定这些方程在什么条件下可解，这个问题并不是事先就能一眼看出的，弗罗贝尼斯定理提供了一个比较简单的条件能一眼看出的，弗罗贝尼斯定理提供了一个比较简单的条件弗罗贝尼斯定理弗罗贝尼斯定理  方程式（方程式（4.2）有解的条件是当且仅当存在标量函数）有解的条件是当且仅当存在标量函数 与与 使得使得即即 与与 的李括号可以表示成的李括号可以表示成 与与 的线性组合，这个条件称为的线性组合，这个条件称为矢量场矢量场 的对合条件的对合条件，几何上这个条件就是说矢量，几何上这个条件就是说矢量 在由矢量在由矢量 与与 所确定的平面所确定的平面内弗罗贝尼斯定理断言一组矢量场内弗罗贝尼斯定理断言一组矢量场 当且仅当它满足对合条件时是完全当且仅当它满足对合条件时是完全可积的由于对合条件比较容易验证，故可用它来确定式（可积的由于对合条件比较容易验证，故可用它来确定式（4.2）的可解性。

的可解性 定义定义4.4 上的一组线性无关的矢量场上的一组线性无关的矢量场 是完全可积的，当是完全可积的，当且仅当存在且仅当存在n-m个标量函数个标量函数 满足一组偏微分方程满足一组偏微分方程 （（4.3））其中其中 ，而梯度，而梯度 是线性无关的是线性无关的弗罗贝尼斯定理弗罗贝尼斯定理  定义定义4.5 线性无关的矢量场集合线性无关的矢量场集合 是对合的，当且仅当存在是对合的，当且仅当存在标量函数标量函数 使使 （（4.4）） 对合的意思就是如果从矢量场集合对合的意思就是如果从矢量场集合 中任取一对来组成李括中任取一对来组成李括号，得到的矢量场可以表为原先集合中的矢量场的线性组合。

需要说明的是：号，得到的矢量场可以表为原先集合中的矢量场的线性组合需要说明的是：1.恒矢量场总是对合的恒矢量场总是对合的2.由单独一个矢量由单独一个矢量f组成的集合总是对合的组成的集合总是对合的3.由定义由定义4.5，检验矢量场集合，检验矢量场集合 是否对合等于就是检验下式是否是否对合等于就是检验下式是否对于全体对于全体 和全体和全体 、、 都成立都成立 定理定理4.1 (弗贝尼斯定理弗贝尼斯定理) 令令 为一组线性无关的矢量场，当为一组线性无关的矢量场，当且仅当这个集合为对合时它是完全可积的且仅当这个集合为对合时它是完全可积的弗罗贝尼斯定理弗罗贝尼斯定理  讨论用下列状态方程描写的单输入非线性系统的输入讨论用下列状态方程描写的单输入非线性系统的输入—状态线性化问题状态线性化问题 （（5.1））其中其中 和和 为平滑矢量场。

研究的问题包括：这种系统在什么条件下能够通过为平滑矢量场研究的问题包括：这种系统在什么条件下能够通过状态与输入的变换来实现线性化，如何求出这种变换，以及如何基于这种反馈状态与输入的变换来实现线性化，如何求出这种变换，以及如何基于这种反馈线性化来设计控制器线性化来设计控制器 形如式（形如式（5.1）的系统称为对控制是线性的，或仿射的如果非线性系统）的系统称为对控制是线性的，或仿射的如果非线性系统具有如下形式具有如下形式其中其中 为可逆的标量函数，为可逆的标量函数， 为任意函数，则简单的代换为任意函数，则简单的代换 就能将就能将上述动态方程变成式（上述动态方程变成式（5.1）的形式于是可以先对）的形式于是可以先对 设计控制律，再对设计控制律，再对 求求逆来计算逆来计算 ，即，即 单输入单输出系统的输入单输入单输出系统的输入——状态线性化状态线性化 定义定义5.1 一个形如式（一个形如式（5.1）的单输入非线性系统，其中）的单输入非线性系统，其中 与与 为为 上的平滑矢量场，如果在上的平滑矢量场，如果在 中存在一个区域中存在一个区域 ，一个微分同胚，一个微分同胚 ，，以及一个反馈控制律以及一个反馈控制律 （（5.2））使得新的状态变量使得新的状态变量 和新的输入和新的输入 满足线性定常关系满足线性定常关系 （（5.3））其中其中输入输入——状态线性化定义状态线性化定义则称该系统是输入则称该系统是输入—状态可线性化的。

新状态状态可线性化的新状态 称为线性化状态，新控制律式称为线性化状态，新控制律式（（5.2）称为线性化控制律为了简化记号，不仅用）称为线性化控制律为了简化记号，不仅用 来表示变换状态，而且来表示变换状态，而且表示微分同胚表示微分同胚 本身，即写为本身，即写为 变换后的动态方程中，变换后的动态方程中， 矩阵与矩阵与 矢量具有特殊的形式，对应于线性伴随矢量具有特殊的形式，对应于线性伴随型不过，局限于这种特殊的等效线性系统并不失一般性，因为任何线性能控型不过，局限于这种特殊的等效线性系统并不失一般性，因为任何线性能控系统均可通过状态变换而与伴随型式（系统均可通过状态变换而与伴随型式（5.3）等价 从式（从式（5.3）的标准形式容易看出，输入）的标准形式容易看出，输入—状态线性化是输入状态线性化是输入—输出线性输出线性化当输出函数导致相对度为化当输出函数导致相对度为 时的一种特殊情况，因此，输入时的一种特殊情况，因此，输入—状态线性化与状态线性化与输入输入—输出线性化二者之间的关系可以总结如下：输出线性化二者之间的关系可以总结如下： 引理引理5.1 一个一个 阶非线性系统，当且仅当存在一个标量函数阶非线性系统，当且仅当存在一个标量函数 ，使以，使以 为输出函数的输入为输出函数的输入—输出线性化具有相对度输出线性化具有相对度 时是输入时是输入—状态可线性化的。

状态可线性化的 输入输入——状态线性化定义状态线性化定义 定理定理5.1 对于非线性系统（对于非线性系统（5.1），其中），其中 和和 为平滑矢量场，当且为平滑矢量场，当且仅当存在一个区域仅当存在一个区域 使得下列条件成立时，该非线性系统是输入使得下列条件成立时，该非线性系统是输入—状态可线性状态可线性化的：化的：1.矢量场矢量场 在在 内线性无关内线性无关；2.集合集合 在在 内是对合的内是对合的 对上述条件作几点说明：对上述条件作几点说明：1.第一个条件可以解释为非线性系统式（第一个条件可以解释为非线性系统式（5.1）的能控性条件对于线性系）的能控性条件对于线性系统，矢量场统，矢量场 变成变成 ，因而其线性无关就等价于熟，因而其线性无关就等价于熟知的线性能控性矩阵的可逆性，条件知的线性能控性矩阵的可逆性，条件1代表一个推广了的能控性条件代表一个推广了的能控性条件。

2.对合条件则不是那么直观，对于线性系统，该条件自然满足（此时矢量场为对合条件则不是那么直观，对于线性系统，该条件自然满足（此时矢量场为恒量），而对于非线性系统的情况，这一条件并不总是满足的恒量），而对于非线性系统的情况，这一条件并不总是满足的输入输入——状态线性化条件状态线性化条件 根据前面的讨论，非线性系统的输入一状态线性化可按下列步骤进行：根据前面的讨论，非线性系统的输入一状态线性化可按下列步骤进行：1.对给定的系统的构造矢量场对给定的系统的构造矢量场 ；2.检查能控性条件和对合性条件是否满足；检查能控性条件和对合性条件是否满足；3.如果两个条件均满足，则从方程式（如果两个条件均满足，则从方程式（5.4）求出第一个状态）求出第一个状态z1（导致相对（导致相对 （（5.4））度为度为 的输入的输入—输出线性化的输出函数），即输出线性化的输出函数），即 （（5.5a）） （（5.5b））4.计算状态变换计算状态变换 与输入变换式与输入变换式(5.2)，其中，其中 （（5.6））输入输入——状态线性化方法状态线性化方法 例例5.1 考虑右图所示机构的控制问考虑右图所示机构的控制问题，该机构代表一个在电机通过扭矩弹簧的题，该机构代表一个在电机通过扭矩弹簧的驱动下在垂直平面内运动的杆（单杆柔性关驱动下在垂直平面内运动的杆（单杆柔性关节机器人）。

其动力学方程容易求出为节机器人）其动力学方程容易求出为 （（5.7a）） （（5.7b）） 输入输入——状态线性化方法状态线性化方法 由于非线性（重力矩所引起的）出现在第一个方程里，而控制由于非线性（重力矩所引起的）出现在第一个方程里，而控制 是在第二是在第二个方程里，因而没有明显的方法来设计大范围控制器现在考虑有无可能实现个方程里，因而没有明显的方法来设计大范围控制器现在考虑有无可能实现输入输入—状态线性化状态线性化 首先应将系统的动力学用状态空间表示选取状态矢量为首先应将系统的动力学用状态空间表示选取状态矢量为可以写出相应的矢量场可以写出相应的矢量场 与与 为为 其次，要检验能控性与对合性条件能控矩阵由简单的计算得出为其次，要检验能控性与对合性条件能控矩阵由简单的计算得出为输入输入——状态线性化方法状态线性化方法当时当时 ，其秩为，其秩为4。

此外，由于矢量场此外，由于矢量场 为常为常量，它构成一个对合集因此系统式（量，它构成一个对合集因此系统式（5.7）是输入）是输入—状态可线性化的状态可线性化的 第三步，要求输出状态变换第三步，要求输出状态变换 和输入变换和输入变换 以实现输以实现输入入—状态线性化由式（状态线性化由式（5.5）以及上面给出的能控性矩阵表达式，新状态矢）以及上面给出的能控性矩阵表达式，新状态矢量量 的第一个分量的第一个分量 应满足应满足 因此，因此， 必然只是必然只是 的函数上述方程最简单的解为的函数上述方程最简单的解为 （（5.8a））其它状态可由其它状态可由 得出得出 （（5.8b））输入输入——状态线性化方法状态线性化方法 （（5.8c）） （（5.8d））相应地输入变换为相应地输入变换为 （（5.9））其中其中上述状态与输入变换的结果最终得到一组线性微分方程上述状态与输入变换的结果最终得到一组线性微分方程从而完成了输入从而完成了输入—状态线性化。

状态线性化输入输入——状态线性化方法状态线性化方法 状态方程变换成线性形式后，无论是以稳定或跟踪为目的的控制器设计就状态方程变换成线性形式后，无论是以稳定或跟踪为目的的控制器设计就很容易了继续看柔性杆的例子，其等价线性动态方程可以表示为很容易了继续看柔性杆的例子，其等价线性动态方程可以表示为 假定希望杆的位置跟踪预先指定的轨迹假定希望杆的位置跟踪预先指定的轨迹 ，则下列控制律，则下列控制律（其中（其中 ）导致跟踪误差的动态方程为）导致跟踪误差的动态方程为只要适当地选择上述动态方程中的系数（正常数）就能使系统为指数稳定然只要适当地选择上述动态方程中的系数（正常数）就能使系统为指数稳定然后再利用式（后再利用式（5.9）就可以求出实际输入）就可以求出实际输入 基于输入基于输入——状态线性化的控制器设计状态线性化的控制器设计 讨论用下列状态方程描写的单输入非线性系统的输入讨论用下列状态方程描写的单输入非线性系统的输入—状态线性化问题状态线性化问题 （（5.10a）） （（5.10b））其中其中 为系统的输出。

输入为系统的输出输入—输出线性化就是要产生输出输出线性化就是要产生输出 与一个新输入与一个新输入 （此处的（此处的 类似于输入类似于输入—状态线性化中的等价输入状态线性化中的等价输入 ）之间的线性微分关系之间的线性微分关系具体地说，将讨论下列问题：具体地说，将讨论下列问题：（（1）对于非线性系统如何生成一个线性的输入）对于非线性系统如何生成一个线性的输入-输出关系；输出关系；（（2）与输入）与输入-输出线性化相联系的内动态子系统的零动态子系统是什么；输出线性化相联系的内动态子系统的零动态子系统是什么；（（3）如何在输入）如何在输入-输出线性化的基础上设计稳定的控制器输出线性化的基础上设计稳定的控制器单输入单输出系统的输入单输入单输出系统的输入——输出线性化输出线性化 考虑状态空间中的一个区域（开连通集）考虑状态空间中的一个区域（开连通集） 使用微分几何的符号，重复使用微分几何的符号，重复微分的过程就是从下式开始微分的过程就是从下式开始如果对如果对 中的某个点中的某个点 ，则由于连续性，这个关系在点，则由于连续性，这个关系在点 的一个的一个有限邻域有限邻域 内成立。

在内成立在 中，输入变换中，输入变换便产生一个便产生一个 与与 之间的线性关系，即之间的线性关系，即 输入输入-输出线性化的基本方法是重复地对输出函数输出线性化的基本方法是重复地对输出函数 进行微分直到出现输进行微分直到出现输入入 ，然后设计，然后设计 去抵消非线性然而，在某些情况下，这个方法的第二步可去抵消非线性然而，在某些情况下，这个方法的第二步可能会因为系统的相对度没有定义而无法进行能会因为系统的相对度没有定义而无法进行线性输入线性输入——输出关系的生成输出关系的生成1.相对度有定义的情况相对度有定义的情况 如果对如果对 中的所有中的所有 都有都有 ，可以对，可以对 再进行微分，从而得到再进行微分，从而得到如果如果 仍然对仍然对 中的所有中的所有 都为零，就一次又一次地微分下去都为零，就一次又一次地微分下去直到对于某个整数直到对于某个整数 ，在，在 中的某一点中的某一点 ，，于是由于连续性，上述关系必定在于是由于连续性，上述关系必定在 点的一个有限邻域内成立。

在点的一个有限邻域内成立在 中，将控中，将控制律制律 （（5.11））应用于应用于 （（5.12））线性输入线性输入——输出关系的生成输出关系的生成 与从前一样，对输出与从前一样，对输出 进行微分直到出现输入进行微分直到出现输入 ，于是，如果，于是，如果 的系数的系数 在点不为零，即在点不为零，即便产生了简单的线性关系便产生了简单的线性关系 （（5.13）） 在上述步骤的基础上，可以给出下列的定义在上述步骤的基础上，可以给出下列的定义。

定义定义5.2 一个单输入单输出系统，如果对于一个单输入单输出系统，如果对于 有有 （（5.14a）） （（5.14b））则称系统在则称系统在 内的相对度为内的相对度为 线性输入线性输入——输出关系的生成输出关系的生成2.相对度无定义的情况相对度无定义的情况 由于连续性，这就表明（由于连续性，这就表明（5.14b）在）在 的一个有限邻域的成立就说系统的一个有限邻域的成立就说系统在在 点具有相对度点具有相对度 . 然而，也有可能当出现输入然而，也有可能当出现输入 时，其系数时，其系数 在点在点 为零，但是在离为零，但是在离 任意近的某些点任意近的某些点 不为零。

这时非线性系统的相对度在不为零这时非线性系统的相对度在 就无定义，用下面就无定义，用下面的简单例子来说明这种情况的简单例子来说明这种情况 例例5.2 考虑系统考虑系统式中式中 为状态为状态 的平滑非线性函数如果的平滑非线性函数如果 为所关注的输出，则系统为所关注的输出，则系统显然是伴随型，且相对度为显然是伴随型，且相对度为2 然而，如果取然而，如果取 作为输出，则作为输出，则线性输入线性输入——输出关系的生成输出关系的生成换言之换言之因此，对所选取的这个输出的来说，在因此，对所选取的这个输出的来说，在 系统的相对度既不为系统的相对度既不为1也不为也不为2 在某些特殊情况下，如上面这个例子，简单地改变输出便能够定义一个等在某些特殊情况下，如上面这个例子，简单地改变输出便能够定义一个等效的然而容易求解的控制问题但是一般说来，当相对度无定义时，输入效的然而容易求解的控制问题但是一般说来，当相对度无定义时，输入-输出输出线性化在这一点就不能直接实现，但可以对其进行近似线性化线性化在这一点就不能直接实现，但可以对其进行近似线性化。

线性输入线性输入——输出关系的生成输出关系的生成 当相对度当相对度 有定义并且有定义并且 时，非线性系统式（时，非线性系统式（5.10）可以用）可以用作为新状态的一部分分量而变换成所谓作为新状态的一部分分量而变换成所谓“规范形式规范形式”，这种形式能够对内动态子，这种形式能够对内动态子系统和零动态子系统进行更为严谨的考察令系统和零动态子系统进行更为严谨的考察令 （（5.15））在点在点 的邻域内，系统的规范形式可以写为的邻域内，系统的规范形式可以写为 （（5.16a）） （（5.16b））规范形式规范形式输出定义为输出定义为 （（5.17）） 与与 称为在称为在 内（或在内（或在 点）的规范坐标或规范状态。

点）的规范坐标或规范状态 规范形式规范形式 与输入与输入-输出线性化相联系的内动态子系统对应于规范形式中的最后输出线性化相联系的内动态子系统对应于规范形式中的最后个方程个方程 一般来说，该动态特性依赖于外部状态一般来说，该动态特性依赖于外部状态 不过，通过不过，通过考虑当控制输出使输出维持恒等于零时内动态子系统的特性，可以定义非线性考虑当控制输出使输出维持恒等于零时内动态子系统的特性，可以定义非线性系统的一种内在特性，即零动态子系统的特性，对它的研究将能够对内动态子系统的一种内在特性，即零动态子系统的特性，对它的研究将能够对内动态子系统的稳定性作出某些结论系统的稳定性作出某些结论 输出恒等于零的约束条件意味着它的所有时间导数均为零，因而一个系统输出恒等于零的约束条件意味着它的所有时间导数均为零，因而一个系统的零动态子系统就是当其运动被限制在的零动态子系统就是当其运动被限制在 中由中由 所确定的所确定的 维光滑由曲面维光滑由曲面（流形）（流形） 上时的动态子系统为了使系统在零动态子系统中运行，即要使状上时的动态子系统。

为了使系统在零动态子系统中运行，即要使状态态 保持在曲面保持在曲面 上，根据式（上，根据式（5.12），可以求得输入），可以求得输入 为为零动态子系统零动态子系统 在零动态子系统中工作时在零动态子系统中工作时系统状态的演变情况如图系统状态的演变情况如图5.1所所示，在规范坐标中，控制输入示，在规范坐标中，控制输入可以写成仅是内状态可以写成仅是内状态 的函数的函数图图5.1 时，系统状态在零动态子系统流形上的演变时，系统状态在零动态子系统流形上的演变 （（a）在原来的坐标系中；（）在原来的坐标系中；（b）在规范坐标系中在规范坐标系中对应于这个输入，并假定系统的初始状态确实在曲面上，即对应于这个输入，并假定系统的初始状态确实在曲面上，即 ，系统的，系统的动态方程就可以写成规范形式为动态方程就可以写成规范形式为 （（5.18a）） （（5.18b））按照定义，（按照定义，（5.18b）就描述了非线性系统式（）就描述了非线性系统式（5.10）的零动态子系统。

的零动态子系统零动态子系统零动态子系统 定义定义5.3 如果非线性系统式如果非线性系统式 （（5.10）的零动态子系统是渐近稳定的，则）的零动态子系统是渐近稳定的，则称该非线性系统是渐近最小相位的称该非线性系统是渐近最小相位的 可以类似地定义指数最小相位的概念如果对于任意的可以类似地定义指数最小相位的概念如果对于任意的 ，零动态子系，零动态子系统均为渐近稳定，就称该系统是全局渐近最小相位的，否则就称该系统为局部统均为渐近稳定，就称该系统是全局渐近最小相位的，否则就称该系统为局部最小相位的最小相位的 现在来考虑基于输入现在来考虑基于输入-输出线性化的控制器设计，基本思想是根据线性输输出线性化的控制器设计，基本思想是根据线性输入入-输出关系设计控制器，然后再检验内动态子系统是否稳定以下首先讨论一输出关系设计控制器，然后再检验内动态子系统是否稳定以下首先讨论一个局部渐近稳定的结果，然后就全局稳定与跟踪控制作一些讨论个局部渐近稳定的结果，然后就全局稳定与跟踪控制作一些讨论零动态子系统零动态子系统 考虑非线性系统式（考虑非线性系统式（5.10），我们很自然地想要知道，在式（），我们很自然地想要知道，在式（5.13）中）中将将 选择为简单的极点配置控制器是否能确保整个系统的稳定性。

换句话说，选择为简单的极点配置控制器是否能确保整个系统的稳定性换句话说，假定在式（假定在式（5.13）中令）中令式中系数式中系数 的选择应使多项式的选择应使多项式 （（5.19））全部根严格地位于左半平面实际的输入全部根严格地位于左半平面实际的输入 可根据式（可根据式（5.11）写出为）写出为 （（5.20）） 定理定理5.2 假定系统式（假定系统式（5.10）的相对度为）的相对度为 ，并且其零动态子系统是局，并且其零动态子系统是局部渐近稳定的选择常数部渐近稳定的选择常数 使多项式（使多项式（5.19）的全部根均位于左半平面，则控）的全部根均位于左半平面，则控制律式（制律式（5.20）所产生的系统是局部渐近稳定的所产生的系统是局部渐近稳定的。

局部渐进稳定局部渐进稳定 对于以状态收敛为目标的稳定问题，通常可以自由地选择输出函数对于以状态收敛为目标的稳定问题，通常可以自由地选择输出函数 ，，从而可以影响零动态子系统，因此有可能选择能使相应的零动态子系统为渐近从而可以影响零动态子系统，因此有可能选择能使相应的零动态子系统为渐近稳定的输出函数，利用上述定理中给出的控制器就能够使非线性系统稳定化稳定的输出函数，利用上述定理中给出的控制器就能够使非线性系统稳定化 例例5.3 考虑非线性系统考虑非线性系统系统在系统在 （其中（其中 ）的线性化方程为）的线性化方程为它具有一个相当于纯积分器的不能控模态定义输出函数它具有一个相当于纯积分器的不能控模态定义输出函数局部渐进稳定局部渐进稳定 对应于这个输出，系统的相对度为对应于这个输出，系统的相对度为1，这是因为，这是因为相应的零动态子系统（令相应的零动态子系统（令 ）为）为它是渐近稳定的因此，根据定理它是渐近稳定的因此，根据定理5.2控制律控制律可使这个非线性系统局部渐近稳定可使这个非线性系统局部渐近稳定。

局部渐进稳定局部渐进稳定 有一种基于部分反馈线性化的全局渐近稳定方法是将控制问题看成一个标有一种基于部分反馈线性化的全局渐近稳定方法是将控制问题看成一个标准的李雅普诺夫控制器设计问题，但是通过将系统化成规范形式使一部分动态准的李雅普诺夫控制器设计问题，但是通过将系统化成规范形式使一部分动态子系统变成线性而使问题得到简化同李雅普诺夫设计方法一样，这个方法也子系统变成线性而使问题得到简化同李雅普诺夫设计方法一样，这个方法也带有尝试的味道，不过它确实有可能获得满意的解带有尝试的味道，不过它确实有可能获得满意的解 在将系统化规范形式以后，基本的想法是把在将系统化规范形式以后，基本的想法是把 看成内动态子系统的输入，看成内动态子系统的输入，而把而把 看成输出第一步是设法找到一个使内动态于系统的稳定的看成输出第一步是设法找到一个使内动态于系统的稳定的“控制律控制律” 和相应的体现这种稳定性质的李雅普诺夫函数和相应的体现这种稳定性质的李雅普诺夫函数 这比寻找使原系这比寻找使原系统稳定的控制律容易一些，因为内动态子系统的阶次通常较低第二步是返回统稳定的控制律容易一些，因为内动态子系统的阶次通常较低。

第二步是返回到原来的全局控制问题，适当地修改到原来的全局控制问题，适当地修改 的形式而确定一个候选的李雅普诺夫函的形式而确定一个候选的李雅普诺夫函数数 ，然后选择，然后选择 使使 成为整个闭环动态系统的李雅普诺夫函数成为整个闭环动态系统的李雅普诺夫函数全局渐进稳定全局渐进稳定 例如，考虑下列表为规范形式的非线性系统的稳定性问题例如，考虑下列表为规范形式的非线性系统的稳定性问题 （（5.21a）） （（5.21b））其中其中 是控制输入，定义是控制输入，定义 考察内动态子系统式（考察内动态子系统式（5.21b）可以看）可以看出，假如选择出，假如选择 ，则内动态子系统将是渐近稳定的此外，这个，则内动态子系统将是渐近稳定的。

此外，这个 的表达的表达式和式和 要趋于零的要求是一致的上述讨论启发我们采用以下的设计方法要趋于零的要求是一致的上述讨论启发我们采用以下的设计方法 在式（在式（5.21b）中形式上用）中形式上用 来替换来替换 ，用，用 表示体现该系统定性表示体现该系统定性的李雅普诺夫函数，选取的李雅普诺夫函数，选取对对 求微分得求微分得 全局渐进稳定全局渐进稳定考虑候选的李雅普诺夫函数考虑候选的李雅普诺夫函数它是由它是由 加上一个加上一个 的二次的二次“误差误差”项得到的，于是有项得到的，于是有选择下列控制律选择下列控制律于是得出于是得出应用不变集定理可以证明，应用不变集定理可以证明， 的这种选择可使得整个系统的状态收敛于零的这种选择可使得整个系统的状态收敛于零 此方法亦可用于非最小相位系统，需要注意的是输出此方法亦可用于非最小相位系统，需要注意的是输出 的选取，要保证的选取，要保证其内动态子系统是渐进稳定的其内动态子系统是渐进稳定的 全局渐进稳定全局渐进稳定 定理定理5.2中简单的极点配置控制器可以推广到渐近跟踪控制的任务。

对于中简单的极点配置控制器可以推广到渐近跟踪控制的任务对于系统式（系统式（5.10），考虑跟踪一个指定的期望轨迹），考虑跟踪一个指定的期望轨迹 的问题令的问题令并定义跟踪误差矢量并定义跟踪误差矢量则有下列结果：则有下列结果： 定理定理5.3 假定系统式（假定系统式（5.10）的相对度为）的相对度为 （在所关注的区域定义并在（在所关注的区域定义并在其中为恒定），其中为恒定）， 平滑有界，方程平滑有界，方程之解之解 存在并有界，而且是一致渐近稳定的选择常数存在并有界，而且是一致渐近稳定的选择常数 使多项式（使多项式（5.19））的根全部位于左半平面内，则利用控制律的根全部位于左半平面内，则利用控制律跟踪控制跟踪控制 （（5.22））就能使全部状态保持有界并使跟踪误差就能使全部状态保持有界并使跟踪误差 指数地收敛于零指数地收敛于零 为了使跟踪控制从时间为了使跟踪控制从时间 起一直保持准确跟踪，则无论采用什么控制律起一直保持准确跟踪，则无论采用什么控制律都要求都要求 。

跟踪控制跟踪控制 对于式（对于式（5.10）所描述的系统，希望知道，应有什么样的初始条件）所描述的系统，希望知道，应有什么样的初始条件和控制输入和控制输入 才能使对象的输出理想地跟踪参考与输出才能使对象的输出理想地跟踪参考与输出 为此，假定系统为此，假定系统输出恒等于参考输出输出恒等于参考输出 ，即，即 ，这就要求实际输出与期望输出的，这就要求实际输出与期望输出的各阶时间的导数均相等，具体地写出来就是各阶时间的导数均相等，具体地写出来就是 （（5.23））用规范坐标表示，（用规范坐标表示，（5.23）可写成）可写成因此控制输入因此控制输入 必须满足必须满足即即 （（5.24））逆动态系统逆动态系统式中式中 是下列微分方程的解是下列微分方程的解 （（5.25））给定参考轨迹给定参考轨迹 ，可从式（，可从式（5.24）求得使）求得使 所需要的控制输所需要的控制输入。

注意该输入依赖于内部状态入注意该输入依赖于内部状态 ，因而也就依赖于初始状态，因而也就依赖于初始状态 通常通常“动态特性动态特性” 是指系统在给出作为时间的函数的输入信号是指系统在给出作为时间的函数的输入信号 后计算相后计算相应的输出应的输出 的数学方程，这里的方程式（的数学方程，这里的方程式（5.24）与式（）与式（5.25）则相反地根）则相反地根据作为时间的函数的参考输出的信号据作为时间的函数的参考输出的信号 来计算相应的输入来计算相应的输入 ，因此方程式，因此方程式（（5.24）与式（）与式（5.25）常称为系统式（）常称为系统式（5.10）的逆动态系统形式上，）的逆动态系统形式上， 为为逆动态系统的状态，逆动态系统的状态， 为其输入，而为其输入，而 为其输出为其输出逆动态系统逆动态系统 式（式（5.22）不能应用于非最小相位的非线性系统，因为这一类系统是不）不能应用于非最小相位的非线性系统，因为这一类系统是不可求逆的，因此，对这一类系统不要企图寻找达到理想跟踪或跟踪误差渐近收可求逆的，因此，对这一类系统不要企图寻找达到理想跟踪或跟踪误差渐近收敛的控制律，而应当去寻找对于所关注的期望轨迹能使跟踪误差足够小的控制敛的控制律，而应当去寻找对于所关注的期望轨迹能使跟踪误差足够小的控制律。

律 一种方法是输出重定义法，其原理是定义一个新的输出函数一种方法是输出重定义法，其原理是定义一个新的输出函数 ，使，使得由它产生的零动态子系统是稳定的假定所定义的这个新输出函数得由它产生的零动态子系统是稳定的假定所定义的这个新输出函数 使得它使得它在所关注的频率范围内基本上与原来的输出的函数在所关注的频率范围内基本上与原来的输出的函数 一致，则新输出函数一致，则新输出函数 的的严格跟踪就意味着对原输出严格跟踪就意味着对原输出 的良好的跟踪的良好的跟踪 另一种方法是在利用对输出的连续微分来进行输入另一种方法是在利用对输出的连续微分来进行输入—输出线性化时，忽略输出线性化时，忽略包含输入项，对输出的其余部分继续进行微分，微分的次数等于系统的阶数，包含输入项，对输出的其余部分继续进行微分，微分的次数等于系统的阶数，这样就这样就“近似地近似地”没有零动态子系统当然，这个方法仅当没有零动态子系统当然，这个方法仅当 的系数在中间步骤的系数在中间步骤中中“小小”时才有意义，换句话说，系统应是时才有意义，换句话说，系统应是“弱弱”非最小相位的。

非最小相位的非最小相位系统的跟踪控制非最小相位系统的跟踪控制 最后还有一种对付非最小相位系统的方法是修改对象本身性系统最后还有一种对付非最小相位系统的方法是修改对象本身性系统中，极点可以通过反馈来配置，而零点是对象及所选择的输出的内在特性，只中，极点可以通过反馈来配置，而零点是对象及所选择的输出的内在特性，只能通过修改对象或者输出手工的选择来加以改变类似地，在非线性系统中，能通过修改对象或者输出手工的选择来加以改变类似地，在非线性系统中，零动态子系统的特性是与对象、输出及期望轨迹有关的性质正如前面已经讨零动态子系统的特性是与对象、输出及期望轨迹有关的性质正如前面已经讨论过的，可以通过改变输出来使它们稳定原则上零动态子系统亦可以通过直论过的，可以通过改变输出来使它们稳定原则上零动态子系统亦可以通过直接改变期望轨迹来加以修正，不过若假定系统要完成预选确定的各种不同任接改变期望轨迹来加以修正，不过若假定系统要完成预选确定的各种不同任务，则这种方法在实践上便意义不大了，可以通过改变对象本身来使零动态子务，则这种方法在实践上便意义不大了，可以通过改变对象本身来使零动态子系统稳定这就可能会涉及到重新部署或增添执行机构与传感器，或者要修改系统稳定。

这就可能会涉及到重新部署或增添执行机构与传感器，或者要修改对象的物理结构对象的物理结构非最小相位系统的跟踪控制非最小相位系统的跟踪控制 多输入多输入—多输出的情形，在点多输出的情形，在点 的某个邻域内考虑方阵系统（即输入与输的某个邻域内考虑方阵系统（即输入与输出数目相同的系统），它具有下列形式：出数目相同的系统），它具有下列形式： （（5.26））式中式中 为为 状态矢量，状态矢量， 为为 控制输入矢量，控制输入矢量， 为为 输出矢量，输出矢量， 与与 为为平滑矢量场，平滑矢量场， 为为 矩阵，其列为矢量场矩阵，其列为矢量场 多输入多输入—多输出系统的输入多输出系统的输入—输出线性化的方法仍然是求输出输出线性化的方法仍然是求输出 的微商，的微商，直至出现输入为止，与单输入一单输出系统所用的方法类似假定直至出现输入为止，与单输入一单输出系统所用的方法类似。

假定 是使至少是使至少一个输入在一个输入在 中出现的最小整数，则中出现的最小整数，则其中至少有一个其中至少有一个j，在点，在点 的邻域的邻域 内使对每个内使对每个 都按上述步骤演算得到都按上述步骤演算得到多输入多输入——多输出系统的反馈线性化多输出系统的反馈线性化 （（5.27）） 定义定义 为各个为各个 之交，如果象前面假定的那样，各部分的之交，如果象前面假定的那样，各部分的“相对度相对度” 全全都有定义，则都有定义，则 本身是本身是 的一个有限邻域此外，若的一个有限邻域此外，若 在区域在区域 内可逆，内可逆，则类似于单输入一单输出的情形，输入变换则类似于单输入一单输出的情形，输入变换 （（5.28））多输入多输入——多输出系统的反馈线性化多输出系统的反馈线性化将产生将产生m个下列简单形式的方程个下列简单形式的方程 （（5.29））由于输入由于输入 只影响输出只影响输出 ，式（，式（5.28）称为解耦控制律，可逆矩阵）称为解耦控制律，可逆矩阵 称为称为系统的解耦矩阵。

称系统式（系统的解耦矩阵称系统式（5.26）在）在 处具有相对度处具有相对度 ，而标量，而标量 称为系统在称为系统在 处的总相对度处的总相对度 当总相对度为当总相对度为n时不存在内动态子系统，因而采用式（时不存在内动态子系统，因而采用式（5.28）形式的控制）形式的控制律可以获得非线性系统的输入律可以获得非线性系统的输入—状态线性化每个等效输入状态线性化每个等效输入 都可以像在单输都可以像在单输入入—单输出的情形一样地进行设计，系统的稳定和跟踪二者均能实现而不必担单输出的情形一样地进行设计，系统的稳定和跟踪二者均能实现而不必担心内动态子系统的稳定性应注意的是，多输入非线性系统能够实现输入心内动态子系统的稳定性应注意的是，多输入非线性系统能够实现输入—状状态线性化的充分必要条件与单输入系统类似但更加复杂态线性化的充分必要条件与单输入系统类似但更加复杂 多输入多输入—多输出系统的零动态子系统，可以用类似于单输入一单输出的办多输出系统的零动态子系统，可以用类似于单输入一单输出的办法，将输出限制为零来进行定义，最小相位系统的概念亦可类似地进行定义。

法，将输出限制为零来进行定义，最小相位系统的概念亦可类似地进行定义多输入多输入——多输出系统的反馈线性化多输出系统的反馈线性化 为了简化符号，考虑一个具有两个输入和两个输出的系统，并假定为了简化符号，考虑一个具有两个输入和两个输出的系统，并假定 之之秩为秩为1这就是说，不失一般性，可以重新定义输入矢量这就是说，不失一般性，可以重新定义输入矢量 （通过线性变换）（通过线性变换）使得使得 只有一个非零的列只有一个非零的列 ，即使得方程式（，即使得方程式（5.27）能够只用）能够只用 来来表示表示 （（5.30）） 上述输入上述输入—输出线性化仅当解耦矩阵输出线性化仅当解耦矩阵 在区域在区域 内可逆时方能实现对上内可逆时方能实现对上述构造述构造 的直接步骤而言，这个条件的限制相当强以下讨论当可逆性条件不的直接步骤而言，这个条件的限制相当强。

以下讨论当可逆性条件不满足，即满足，即 为奇异时进行输入为奇异时进行输入—输出线性化的两种方法输出线性化的两种方法 多输入多输入——多输出系统线性基本方法的推广多输出系统线性基本方法的推广1.输入重定义：动态增广输入重定义：动态增广对上式进行微分并代入系统的动态方程得到下列形式的方程对上式进行微分并代入系统的动态方程得到下列形式的方程 （（5.31）） 若矩阵若矩阵 可逆，将可逆，将 与与 看成是控制输入，将看成是控制输入，将 认为是附加的状态，则上认为是附加的状态，则上述方程具有式（述方程具有式（5.27）的标准形式于是可以直接利用输入）的标准形式于是可以直接利用输入—输出线性化来设输出线性化来设计这些输入，即计这些输入，即 （（5.32）） 通过选择通过选择 来对所获得的线性化输入来对所获得的线性化输入—输出动态特性进行极点配置。

然输出动态特性进行极点配置然而，系统的输入而，系统的输入 必须按式（必须按式（5.32）进行积分而得到因此，实际的控制律包）进行积分而得到因此，实际的控制律包含一个积分器，构成一个含一个积分器，构成一个“动态的动态的”控制器 如果式（如果式（5.31）中的）中的 仍然是奇异的，则可以重复同样的步骤，这等于仍然是奇异的，则可以重复同样的步骤，这等于附加更多的积分器附加更多的积分器多输入多输入——多输出系统线性基本方法的推广多输出系统线性基本方法的推广 像在动态增广的情况一样，首先重新定义输入，得到如式（像在动态增广的情况一样，首先重新定义输入，得到如式（5.30）所示的）所示的结果，然后不再对其左端微分，而是考虑变量结果，然后不再对其左端微分，而是考虑变量（式（式 中）利用式（中）利用式（5.30）可以证明，）可以证明， 的表达式可用一个只包括的表达式可用一个只包括状态状态 的函数来计算（不包含输入的函数来计算（不包含输入 ），即），即因而，对因而，对 微分得到下列形式的方程微分得到下列形式的方程如果矩阵如果矩阵多输入多输入——多输出系统线性基本方法的推广多输出系统线性基本方法的推广2.输出重定义：系统反馈输出重定义：系统反馈是可逆的，就可以将是可逆的，就可以将 和和 看成输出，看成输出， 和和 看成输入，并使用控制律看成输入，并使用控制律来达到输入来达到输入—输出线性化。

输出线性化 可以很容易地设计新输入可以很容易地设计新输入 与与 来调节来调节 和和 若矩阵 是奇异的，可以是奇异的，可以重复同样的步骤来产生新的输出重复同样的步骤来产生新的输出多输入多输入——多输出系统线性基本方法的推广多输出系统线性基本方法的推广 前面介绍的精确线性化方法，为解决一类非线性控制系统的分析与综合问前面介绍的精确线性化方法，为解决一类非线性控制系统的分析与综合问题提供了强有力的手段，但其应用条件却总是难以满足；近似线性化方法被证题提供了强有力的手段，但其应用条件却总是难以满足；近似线性化方法被证明在平衡点的某一领域内是有效的，误差可以接受，因而广泛的应用于实际系明在平衡点的某一领域内是有效的，误差可以接受，因而广泛的应用于实际系统中近似线性化主要包括以下几种方法：伪线性化方法、扩展线性化方法、统中近似线性化主要包括以下几种方法：伪线性化方法、扩展线性化方法、线性化族、近似输入线性化族、近似输入/输出线性化、平均法等输出线性化、平均法等近似线性化方法近似线性化方法 前述李雅普诺夫线性化方法只考虑在某一平衡点附近作线性近似，但非线前述李雅普诺夫线性化方法只考虑在某一平衡点附近作线性近似，但非线性系统往往有多个平衡点，根据不同的控制输入，平衡点为一条曲线或一流性系统往往有多个平衡点，根据不同的控制输入，平衡点为一条曲线或一流形。

伪线性化方法就是寻找一个与平衡点无关的系统的切模型，根据此模型的形伪线性化方法就是寻找一个与平衡点无关的系统的切模型，根据此模型的控制设计适合不同的平衡操作点对于一般的非线性系统，必须寻找一个状态控制设计适合不同的平衡操作点对于一般的非线性系统，必须寻找一个状态与控制的变换，使变换后的系统切模型对于不同的平衡点是独立的与控制的变换，使变换后的系统切模型对于不同的平衡点是独立的 考虑下列非线性系统考虑下列非线性系统 （（6.1））考虑系统（考虑系统（6.1）的单输入情形（有关方法对多输入情形可类推），系统平衡）的单输入情形（有关方法对多输入情形可类推），系统平衡点的集合定义为点的集合定义为 （（6.2））其在状态空间的投影定义为其在状态空间的投影定义为 （（6.3））伪线性化方法伪线性化方法 在平衡点在平衡点 的邻域，系统的线性切模型可以表示为的邻域，系统的线性切模型可以表示为 （（6.4））显然上述切模型是和平衡点显然上述切模型是和平衡点 有关的。

寻找变换有关的寻找变换 （（6.5））使得在使得在 状态空间，线性切模型和工作点无关，且可以写成如下能控标准型：状态空间，线性切模型和工作点无关，且可以写成如下能控标准型： （（6.6））伪线性化方法伪线性化方法 考虑到对于集合考虑到对于集合 中的任意平衡工作点中的任意平衡工作点 有有 ，可推得，可推得线性切模型为线性切模型为 （（6.7））令令得得 （（6.8））伪线性化方法伪线性化方法 为使该线性切模型独立于平衡操作点，系数为使该线性切模型独立于平衡操作点，系数 必须满足以下条件：必须满足以下条件： （（6.9））由上述方程可以解出系数，积分可得变换由上述方程可以解出系数，积分可得变换 ，在该变换下系统的切模型是独，在该变换下系统的切模型是独立的。

假定系统轨线保持在该切模型附近，则基于该模型的控制设计大大简化立的假定系统轨线保持在该切模型附近，则基于该模型的控制设计大大简化了系统设计问题该方法忽略了二阶项，但可以证明如果系统轨线保持在平衡了系统设计问题该方法忽略了二阶项，但可以证明如果系统轨线保持在平衡点附近，则不影响系统的闭环稳定性点附近，则不影响系统的闭环稳定性伪线性化方法伪线性化方法 同通常只考虑在某个平衡点附近进行线性近似不同，线性化族考虑非线性同通常只考虑在某个平衡点附近进行线性近似不同，线性化族考虑非线性系统对应于不同的非零输入和输出，具有一族平衡操作点的情况，其线性化模系统对应于不同的非零输入和输出，具有一族平衡操作点的情况，其线性化模型具有一可调参数，适合不同操作点，性化族的基础上，可以很方便地应型具有一可调参数，适合不同操作点，性化族的基础上，可以很方便地应用增益调节控制方法非线性系统用增益调节控制方法非线性系统 （（6.10））相对于平衡点相对于平衡点 的线性近似为的线性近似为 （（6.11））线性化族线性化族式中式中 为连续可微向量函数，且为连续可微向量函数，且 。

对于系统非零输入或对于系统非零输入或非零输出的情况，由隐函数定理可知，在非零输出的情况，由隐函数定理可知，在 的邻域，系统有一族平衡点，该的邻域，系统有一族平衡点，该平衡点的集合定义为平衡点的集合定义为 （（6.12））平衡点随输入或输出的变化而变化，即平衡点平衡点随输入或输出的变化而变化，即平衡点 ，其中参数，其中参数 是操作点是操作点的输入或输出的函数，称为非线性系统的一个线性化族对系统作李雅普诺夫的输入或输出的函数，称为非线性系统的一个线性化族对系统作李雅普诺夫近似，其系数矩阵分别是输入近似，其系数矩阵分别是输入u或输出或输出y的函数，得其一般表达式为的函数，得其一般表达式为 （（6.13））可见线性化族仍然以李雅普诺夫线性化为基础，但其系数矩阵即使是在平衡点可见线性化族仍然以李雅普诺夫线性化为基础，但其系数矩阵即使是在平衡点的邻域内，也随工作点的移动儿受到一个相应于输入或输出的参数的调整。

的邻域内，也随工作点的移动儿受到一个相应于输入或输出的参数的调整线性化族线性化族 如果系统的相对阶在某一特定工作点没有定义，则在该点不能直接利用输如果系统的相对阶在某一特定工作点没有定义，则在该点不能直接利用输入入/输出线性化方法实现精确线性化，这在前面输出线性化方法实现精确线性化，这在前面线性输入线性输入—输出关系的生成中输出关系的生成中相对度无定义的情况中已经提到，下面将讲述解决方法相对度无定义的情况中已经提到，下面将讲述解决方法 非线性系统非线性系统 （（6.14））输入输入/输出线性化过程为重复对输出输出线性化过程为重复对输出 进行微分，直到输入进行微分，直到输入 首次出现于等式首次出现于等式右边：右边：式中式中 是使是使 的最小正常数，即系统的相对阶控制律的最小正常数，即系统的相对阶控制律 近似输入近似输入/ /输出线性化输出线性化使输出使输出 和新的输入和新的输入 之间具有线性关系之间具有线性关系 。

若若 在点在点 为零，即相对阶无定义，但在离为零，即相对阶无定义，但在离 任意近的某些点不为任意近的某些点不为零，此时我们可用一组关于状态零，此时我们可用一组关于状态 的函数的函数 近似系统的输出及其各近似系统的输出及其各阶微分：阶微分：上式中上式中 使得原系统在忽略高阶项使得原系统在忽略高阶项 后，相对阶有定义，从而系统可以近后，相对阶有定义，从而系统可以近似输入似输入/输出线性化特别地，如果输出线性化特别地，如果 ，就实现了所有状态的近似线性化就实现了所有状态的近似线性化对多输入多输出系统也可类似低进行近似对多输入多输出系统也可类似低进行近似近似输入近似输入/ /输出线性化输出线性化 此外，还有基于样条函数的状态近似线性化、奇摄动方法以及中心流行方此外，还有基于样条函数的状态近似线性化、奇摄动方法以及中心流行方法等，在《非线性控制系统理论与应用》（胡跃明著）中都有详细的介绍法等，在《非线性控制系统理论与应用》（胡跃明著）中都有详细的介绍近似线性化方法近似线性化方法此课件下载可自行编辑修改，供参考！此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢你的支持，我们会努力做得更好！感谢你的支持，我们会努力做得更好！。