【教案】数学分析教案(华东师大版)第三章函数极限.docx

学习必备 欢迎下载第三章 函数极限教学目的：1. 使同学坚固地建立起函数极限的一般概念，把握函数极限的基本性质；2. 懂得并运用海涅定理与柯西准就判定某些函数极限的存在性；3. 把握两个重要极限 和 ，并能娴熟运用；4. 懂得无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限；教学重（难）点 ：本章的重点是函数极限的概念、 性质及其运算； 难点是海涅定理与柯西准就的应用；教学时数 ： 14 学时 1 函数极限概念 （ 2 学时）教学目的 ：使同学建立起函数极限的精确概念； 会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题；教学要求 ：使同学逐步建立起函数极限的 定义的清楚概念；会应用函数极限的 定义证明函数的有关命题，并能运用 语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述；教学重点 ：函数极限的概念；教学难点 ：函数极限的 定义及其应用；一、 复习： 数列极限的概念、性质等二、 讲授新课：（一） 时函数的极限：学习必备 欢迎下载以 时 和 为例引入 .介绍符号 : 的意义 , 的直观意义 .定义 〔 和 . 〕几何意义 介绍邻域其中 为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．例 1 验证例 2 验证例 3 验证证（二） 时函数 的极限：由 考虑 时的极限引入 .定义 函数极限的“ ”定义 .几何意义 .用定义验证函数极限的基本思路 .学习必备 欢迎下载例 4 验证例 5 验证例 6 验证证 由 =为使 需有为使 需有于是, 倘限制 , 就有例 7 验证例 8 验证 〔 类似有（三）单侧极限 :1．定义： 单侧极限的定义及记法 .几何意义 : 介绍半邻域学习必备 欢迎下载然后介绍等的几何意义 .例 9 验证证 考虑使 的2. 单侧极限与双侧极限的关系 :Th类似有 :例 10 证明: 极限 不存在 .例 11 设函数 在点 的某邻域内单调 . 如 存在, 就有= 2 函数极限的性质（ 2 学时）教学目的 ：使同学把握函数极限的基本性质；教学要求 ：把握函数极限的基本性质：唯独性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等；教学重点 ：函数极限的性质及其运算；教学难点 ：函数极限性质证明及其应用；教学方法 ：讲练结合；一、组织教学：学习必备 欢迎下载我们引进了六种极限 :. 以下以极限 为例争论性质 .均给出证,明或简证 .二、讲授新课：（一）函数极限的性质 : 以下性质均以定理形式给出.1. 唯独性 :2. 局部有界性 :3. 局部保号性 :4. 单调性 〔 不等式性质 〕:Th 4 如 和 都存在 , 且存在点 的空心邻域 ,使 ， 都有证 设 = 〔 现证对 有 〕註: 如在 Th 4 的条件中 , 改“ ”为“ ” , 未必就有 以 举例说明 .5. 迫敛性 :6. 四就运算性质 : 〔 只证“ +”和“ ” 〕（二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：学习必备 欢迎下载（ 留意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用 . 在运算一些简洁极限时 , 有五组基本极限作为公式用 , 我们将间续证明这些公式 .利用极限性质，特殊是运算性质求极限的原理是：通过有关性质 , 把所求极限化为基本极限 , 代入基本极限的值 , 即运算得所求极限 .例 1 〔 利用极限 和 〕例 2例 3註: 关于 的有理分式当 时的极限 .例 4 [ 利用公式 ]例 5例 6例 7学习必备 欢迎下载例 8例 9例 10 已知 求 和补充题 : 已知 求 和 〔 〕 3 函数极限存在的条件（ 4 学时）教学目的 ：懂得并运用海涅定理与柯西准就判定某些函数极限的存在性；教学要求 ：把握海涅定理与柯西准就，领悟其实质以及证明的基本思路；教学重点 ：海涅定理及柯西准就；教学难点 ：海涅定理及柯西准就 运用；教学方法 ：讲授为主，辅以练习加深懂得，把握运用；本节介绍函数极限存在的两个充要条件 . 仍以极限 为例.一. Heine 归并原就——函数极限与数列极限的关系：Th 1 设函数 在点 的某空心邻域 内有定义 . 就极限 存在, 对任何 且 都存在且相等 .〔 证 〕Heine 归并原就反映了离散性与连续性变量之间的关系 , 是证明极限不存在的有力工具 . 对单侧极限 , 仍可加强为 单调趋于 . 参阅[1]P70.例 1 证明函数极限的双逼原理 .学习必备 欢迎下载例 2证明例 3证明不存在 .二.Cauchy 准就:Th 2义. 就〔Cauchy 准就〕存在,设函数在点的某空心邻域内有定,证〔 利用 Heine 归并原就 〕Cauchy 准就的否定 : 不存在的充要条件 .例 4 用 Cauchy 准就证明极限 不存在 .证 取例 5 设在 [ 上函数 ↘. 就极限 存在,在[ 上有界 . 〔 简证, 留为作业 〕.4 两个重要极限（ 2 时）教学目的 ：把握两个重要极限，并能娴熟应用；教学要求 ：把握两个重要极限，牢记结论；把握证明的基本思路和方法，并能敏捷运用；教学重点 ：两个重要极限的证明及运用；学习必备 欢迎下载教学难点 ：两个重要极限的证明及运用；教学方法 ：讲授定理的证明，举例说明应用，练习；一．（ 证） （同理有例 1例 2.例 3例 4例 5证明极限不存在 .）二.证 对 有例 6 特殊当 等.例 7例 8学习必备 欢迎下载例 95 无穷小量与无穷大量 阶的比较（ 2 学时）教学目的 ：懂得无穷小（大）量及其阶的概念；会利用它们求某些函数的极限；教学要求 ：作为函数极限的特殊情形，要求把握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限；一. 无穷小量 : 定义. 记法.例 1 判定: ⑴ 可怜虫是很小很可怜的虫 ; 〔 〕⑵ 无穷小量是很小很小的量 . 〔 〕无穷小的性质 :性质 1 〔 无穷小的和差 〕性质 2 〔 无穷小与有界量的积 〕例 2无穷小与极限的关系 :Th 1 〔 证 〕二. 无穷小的阶 : 设 时1． 高阶（或低阶）无穷小：2． 同阶无穷小：学习必备 欢迎下载三． 等价无穷小：Th 2 〔 等价关系的传递性 〕.等价无穷小在极限运算中的应用 : Th 3 〔 等价无穷小替换法就 〕 几组常用等价无穷小 : （见[2] ）例 3 时, 无穷小 与 是否等价 .例 4四. 无穷大量 :1. 定义:2. 性质:性质 1 同号无穷大的和是无穷大 .性质 2 无穷大与无穷大的积是无穷大 .性质 3 与无界量的关系 .无穷大的阶、等价关系以及应用 , 可仿无穷小争论 , 有平行的结果 .3. 无穷小与无穷大的关系 :无穷大的倒数是无穷小 , 非零无穷小 的倒数是无穷大习 题 课（ 2 学时）一、理论概述：学习必备 欢迎下载二、范例讲析：例 1 设数集 无界. 试证明 : 存在数列 { } 使例 2 设 为定义在 上的递增函数 . 证明: 极限 存在的充要条件是函数 在 上有上界 .例 3 证明: 对 其中 是 Riemann函数.例 4 设函数 定义在 内, 且满意条件 ⅰ >ⅱ > 对 有 试证明 是 内的常值函数 .例 5 求极限 { 留意 = 有界}例 6 求 和 .解法一又解法二 ， 由 且原式极限存在， ，即 .学习必备 欢迎下载例 7 . 求 .留意 时, 且 . 先求 由 Heine 归并原就即求得所求极限 .例 8 求 和 . 并说明极限是否存在 .解 ;可见极限 不存在 .。