专题03 倍长中线（解析版）.docx

专题03 倍长中线一．中线取值范围1．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　）A．0＜AD＜5 B．2＜AD＜3 C．1＜AD＜4 D．3＜AD＜5试题分析：如图，首先倍长中线AD至E，连接CE，因此可以得到△ABD≌△ECD，这样就有CE＝AB，然后在△ACE中利用三角形的三边的关系即可求解． 答案详解：解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∠ADB＝∠CDE，∴△ABD≌△ECD，∴CE＝AB，在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，而AB＝3，AC＝5，∴5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜2AD＜8，即1＜AD＜4．故选：C．二．三角形类提升2．（1）如图1，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，使得AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 　1＜AD＜5　；（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF．求证：BE+CF＞EF．试题分析：（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），推出CE＝AB＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可．（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），推出BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题． 答案详解：（1）解：如图1中，∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC＝AB＝4，∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为1＜AD＜5．（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，∵FD⊥EH．DE＝DH，∴EF＝FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH＝BE，FH＝EF，∴BE+CF＞EF．3．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如图甲，连接DE，设M为DE的中点．（1）说明：MB＝MC；（2）设∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB＝MC是否还能成立？并证明其结论．试题分析：（1）在AD上取点P，MP∥CE∥BD，再根据平行线分线段成比例定理可得P是BC的中点，再由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可求解；（2）取AD、AE的中点F、G，连接BF、MF、MG、CG，由M是BE的中点可知，线段MG、MF都是△ADE的中位线，根据三角形的中位线定理及平行四边形的判定定理可判断MFAG是平行四边形，可用AD．AE表示出MG．MF的长，再由直角三角形的性质可求出BF的长，再根据∠BAD＝∠CAE通过等量代换可得∠BFM＝∠MGC，可求出△BFM≌△MGC，由三角形全等即可得出答案． 答案详解：证明：（1）作点M作MP⊥AB于点P，∵∠ABD＝∠ACE＝90°．∴MP∥CE∥BD．∵M为DE的中点，∴CP＝BP，∴MP是BC的中垂线，∴△BCM是等腰三角形，∴MB＝MC；（2）MB＝MC成立．取AD、AE的中点F、G，连接BF、MF、MG、CG显然线段MG、MF都是△ADE的中位线，∴四边形MFAG是平行四边形，MG=12AD，MF=12AE，∴∠MFA＝∠AGM，又∵∠DBA＝∠ACE＝90°，∴Rt△斜边中线BF=12AD＝MG，CG=12AE＝MF，∵∠DAB＝∠CAE，∴∠BDA＝∠CEA，∴∠BFA＝2∠BDA＝2∠CEA＝∠CGA，∴∠BFM＝∠BFA﹣∠MFA＝∠CGA﹣∠AGM＝∠MGC，∴△BFM≌△MGC，∴MB＝MC．4．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．（1）求证：△ADC≌△EDB证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD在△ADC和△EDB中AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（ 　对顶角相等　）　　　　 CD＝BD（中点定义）∴△ADC≌△EDB（ 　SAS　）（2）探究得出AD的取值范围是 　1＜AD＜7　；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长．试题分析：（1）延长AD到点E，使DE＝AD，根据SAS定理证明△ADC≌△EDB；（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；（3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，根据全等三角形的性质解答． 答案详解：解：（1）证明：延长AD到点E，使DE＝AD，在△ADC和△EDB中，AD＝ED（已作），∠ADC＝∠EDB（对顶角相等），CD＝BD（中点定义），∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案为：对顶角相等，SAS；（2）∵△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，8﹣6＜AE＜8+6，∴1＜AD＜7，故答案为：1＜AD＜7；（3）延长AD交EC的延长线于F，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴∠ABD＝∠FCD，在△ABD和△FCD中，∠ABD=∠FCDBD=CD∠ADB=∠FDC，∴△ABD≌△FCD（ASA），∴CF＝AB＝2，AD＝DF，∵∠ADE＝90°，∴AE＝EF，∵EF＝CE+CF＝CE+AB＝4+2＝6，∴AE＝6．5．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，再连接BE，（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（1）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①求证：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明（2）问题拓展：如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．试题分析：（1）①延长ED到点G使DG＝ED，连接GF，GC，就有EF＝GF，连接FG、CG，可证△BED≌△CDG，则CG＝BE，由三角形的三边关系就可以得出结论；②由∠A＝90°就可以得出∠A+∠ACB＝90°，就可以得出∠FCG＝90°，由勾股定理就可以得出结论；（2）延长AC到G使CG＝BE，连接DG可以得出△DBE≌△DCG就有DE＝DG，∠BDE＝∠CDG，由∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，可以得出∠BDE+∠CDF＝60°，进而得出∠FDG＝60°，就有∠EDF＝∠GDF，得出△EDF≌△GDF，得出结论． 答案详解：解：（1）①如图2，延长ED到点G，使DG＝ED，连接GF，GC，∵ED⊥DF，∴EF＝GF，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE和△CDG中，ED=GD∠BDE=∠GDCBD=CD，∴△DBE≌△DCG（SAS），∴BE＝CG，∵CG+CF＞GF，∴BE+CF＞EF；②线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2＝EF2．证明：如图2，∵∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，由①可得，△DBE≌△DCG，EF＝GF，∴BE＝CG，∠B＝∠GCD，∴∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°，∴Rt△CFG中，CF2+GC2＝GF2，∴BE2+CF2＝EF2；（2）线段BE、CF、EF之间的数量关系为：EF＝BE+CF，理由：如图3，延长AC到G，使CG＝BE，∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCG＝180°，∴∠B＝∠DCG，在△DBE和△DCG中，BE=GC∠B=∠DCGBD=CD，∴△DBE≌△DCG（SAS），∴DE＝DG，∠BDE＝∠CDG，∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE+∠CDF＝60°，∴∠CDG+∠CDF＝60°，∴∠EDF＝∠GDF，在△EDF和△GDF中，DE=DG∠EDF=∠GDFDF=DF，∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝GF，∵GF＝CG+CF，∴GF＝BE+CF，∴EF＝BE+CF．6．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．试题分析：（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，先判断出BE＝CE，进而判断出△BEF≌△CED，得出BF＝CD，∠F＝∠CDE，再判断出AB＝BF，即可得出结论；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，先判断出BE＝CE，进而判断出△BEF≌△CEG，得出BF＝CG，再判断出△BAF≌△CDG，即可得出结论；（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，先判断出BE＝CE，进而判断出△BAE≌△CME（AAS），得出CM＝AB，∠BAE＝∠M，即可得出结论． 答案详解：证明：（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，BE=CE∠BEF=∠CEDEF=ED，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，∠F=∠CGE=90°∠BEF=∠CEGBE=CE，∴△BEF≌△C。