绝对收敛与条件收敛.ppt

一、一、一、一、 交错级数及其敛散性交错级数及其敛散性交错级数及其敛散性交错级数及其敛散性 交错级数是各项正负相间的一种级数，它的一般形式为或其中，un0 (n=1, 2, …)定理定理定理定理(莱布尼兹判别法) 若交错级数满足条件(1) (2) unun+1 (n=1, 2, …) 则交错级数收敛，且其和S的值小于u1.(级数收敛的必要条件) 证证证证 只需证明级数部分和Sn当n时的极限存在.1) 取交错级前2m项之和由条件(2)： unun+1，un0, 得S2m以及 由极限存在准则：2) 取交错级数的前2m+1项之和由条件1):综上所述，有例例1. 讨论级数的敛散性.解解：这是一个交错级数，又由莱布尼兹判别法，该级数是收敛.例例2. 判别级数的敛散性.解解：这是一个交错级数，又令x[2, +)，则x[2, +)，故 f (x) [2, +)，即有unun+1成立，由莱布尼兹判别法，该级数收敛.解解原级数收敛原级数收敛.二、二、二、二、 任意项级数及其敛散性任意项级数及其敛散性任意项级数及其敛散性任意项级数及其敛散性(1) 级数的绝对收敛和条件收敛定义定义定义定义：若级数对收敛的；若级数但级数定理：定理：定理：定理：若(即绝对收敛的级数必定收敛)证证：  un  |un|从而上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.定理定理定理定理 (达朗贝尔判别法) 设有级数若(1) <1时, 级数绝对收敛；(2) >1 (包括= )时，级数发散；(3) =1时，不能由此断定级数的敛散性.例例5. 判别级数的敛散性.解：解：由P一级数的敛散性，即原级数绝对收敛.例例6. 判别的敛散性，其中，x1为常数.解解：记当|x|<1时，=|x|<1, 原级数绝对收敛.当|x|>1时，=1, 此时不能判断其敛散性.由达朗贝尔判别法：但|x|>1时，从而，原级数发散.例例6. 级数是否绝对收敛?解：解：由调和级数的发散性可知，故发散.但原级数是一个收敛的交错级数：故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.(2) 绝对收敛级数的性质 性质性质性质性质1 1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置，其敛散性不变，其和也不变. 性质性质性质性质2. 2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积. 小结1、交错级数、交错级数 (莱布尼茨定理莱布尼茨定理)2、绝对收敛与条件收敛、绝对收敛与条件收敛作业：P127：2(1)-(8)。