2015年南京理工大学高等数学上册期中试卷及答案资料.pdf

2015 年高数上册期中试卷及答案 编辑——帅气的双儿 2015.12.14 一.填空题（3*8=24 分） 1.lim() 1 n n n n    数列极限 1 2. sin x y x  函数的可去间断点是 2 3.arctan, x yedy设则 3 2 4. 1 x y x   曲线的斜渐近线是 5.3sin2 4  曲线在处的切线方程是 22 6.1(1,1)xxyy曲线在点处的曲率是 7.034sinsin cos n xxxxxxn当时，与 为同阶无穷小，则 2 2 0 ( )1 8.( )0lim4,(0) x x xf xe f xxf x    设在处连续且则 二.求极限（2*7=14 分） 3 0 arctan 1.lim sin x xx x   1 1 0 (1) 2.lim[] x x x x e   三.求导（2*7=14 分） 22 23 1 1.( ). xtd y yy x dxytt         设由参数方程所确定，求 ( ) 2 1 2.(0). 56 n yy xx   设，求 四.（8 分）( )ln(1).f xxx求函数的单调区间与极值 五.（8 分） 11 3,6(1,2).lim. nnn n xxxnx   设证明存在并求出 六.（10 分）( )02(0)1,(0)2,(0)1.g xxggg设在处 阶可导，且并设 2 ( ) ,0 ( ) 0,0 x g xe x f x x x       (0)( )0.ff xx求，并讨论在处的连续性 七.（10 分） 0 ( )0(0)00,0 ( )(0)2 ( ),lim. x f xxfxx f xff x      设在处可导，，若对任意存在介于 与 之间的 一点 ，使得求 八.（2*6=12 分） 1 (1)( )[0,1](0,1)(0) (1)0( ) (1)0 2 (0,1)( )2 ( ). f xffff ff   设在闭区间上连续，开区间内可导，且，， 证明至少存在一点，使得 1 (2)( )[0,)(0)0.0( ) (1)0 2 ( )( )((0,)),( )0(0) f xfcff fxcf xxf xx    设是上的非负可微函数，且若存在常数，，使得 求证： 参考答案 一.填空题 1. 1 e 2.1x  3. 2 4 2 1 x x e dx e 4.yx 5.3 20xy 6. 3 2 2 3535 55 55 1 7.34sinsin2 2 1(2 )(2 ) 34(())(2() 3!5!23!5! 12 ()5 5 xxx xxxx xxo xxo x xo xn    原式 ！ 2 2 2 0 2 0 0 (2 ) ( )[1 2()] 1 2 8.lim ( )2 2lim4 ( )2 lim2 00(0)2. x x x x xf xxo x x xf xx x f x x f           原式 分母极限为 ，整体有极限，分子极限必为 00 ( )2( )(0) limlim(0)2 0 xx f xf xf f xx     二.求极限 2 2 0 1 1 1 1 1.lim. 33 x x x    原式 2 ln(1)1 11 ln(1) 1 1 22 000 2.limlimlim. x xx xx xxx xxx eeee       原式 三.求导 22 23 31 1. 4 d yt dxt    ( ) 11 ( ) 11 11111 2.( )( 1)![] (2)(3)23(2)(3) 11 (0)( 1)!() 23 nn nn nn nn yyxn xxxxxx yn        四.( 1,0),(0,)00.x单减区间单增区间，处取极小值 222 1 3. 6(3)(2)0 .63 n nnnnnn x xxxxxx a naaa      五.数学归纳法证明 单减有下界，极限存在，设其为 令取极限 22 2 000 22 00 22 2 2 2 00 ( )(0)( )( )2 (0)limlimlim 2 ( )(0)22(0)113 lim[]lim2 22222 ( )2( )2 ,0 ( ) 3 ,0 2 ( )2 lim( )lim[ xx xxx xx xx xx x xx f xfg xeg xe f xxx g xgege xxx g xeg xe x xx fx x g xe fx x                    六. 2 ( )233 ]3(0) 22 x g xe f x    连续 00 0 (0)(0)2 (0)(0)0( )2 ( ) ( )(0) ( )(0) 11 limlim ( )(0) ( )(0) 22 xx x fffff xf f xf ff x ff xf xf            七本题未说在区间可导，禁止使用中值定理 令两边同时取极限得： 原式 1212 22 12 2 12 2 11 . 1(0, )( ,1)()()0 22 ( )( ),( )[( )2 ( )] ()()0 (,),( )[( )2 ( )]0 0( )2 ( )( )2 ( ) (2)( )( ),( )[( ) xx cx ff g xf xeg xfxf x e gg gffe effff F xf xeF xfxcf                   八 （）由题意存在和使得 令 使得 又 令( )]0 ( )( )(0)0 ( )0( )0 ( )0( )0 cx x e F xF xF f xF x F xf x      单减 又 。