中考数学几何辅助线——截长补短法 （含答案）.docx

截长补短法【典例引领】例题：正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F1）如图1，点O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明强化训练】1、如图，在RtΔBCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F.（1） 当点E段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE=22DF.（2） 当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示线段BC、DE和DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.2．如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC.（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y。

①求y与x的函数关系式；②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.3．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在三角形内取一点D，AD＝AC，∠CAD＝30°，求∠ADB．小明通过探究发现，∠DAB＝∠DCB＝15°，BC＝AD，这样就具备了一边一角的图形特征，他果断延长CD至点E，使CE＝AB，连接EB，造出全等三角形，使问题得到解决．（1）按照小明思路完成解答，求∠ADB；（2）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图2，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别为BC、AC、AB上一点，连接DE，延长FE、DF分别交BC、CA延长线于点G、H，若∠DHC＝∠EDG＝2∠G．①在图中找出与∠DEC相等的角，并加以证明；②若BG＝kCD，猜想DE与DG的数量关系并证明．4．【问题情境】在△ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE=CF． 图① 图② 图③证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．（不要证明）【变式探究】当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由.请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值； 截长补短法（解析）【典例引领】例题：正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F。

1）如图1，点O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明答案】图2结论：AF﹣BF=2OE，图3结论：BF-AF=2OE【分析】（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．【解答】（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG（AAS），∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，∴AF﹣OE=OE﹣BF，∴AF+BF=2OE；（2）图2结论：AF﹣BF=2OE，图3结论：AF﹣BF=2OE．对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG（AAS），∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，∴AF﹣OE=OE+BF，∴AF﹣BF=2OE；若选图3，其证明方法同上．【强化训练】1、如图，在RtΔBCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F.（1） 当点E段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE=22DF.（2） 当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示。

线段BC、DE和DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.【答案】(1)答案见解答（2）图（2）DE﹣BC=22DF．图（3）BC+DE=22DF．【分析】为了证明图（2）的结论，需要构造等腰直角三角形，在BC上截取BH，使得BH=BE.连接EH，再证△AHE≌△EDF，即可得出结论．图（3）同理可证．【解答】（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．∵BC=AB=BD，BE=BH，∴AH=ED，∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠FED=∠HAE，∵∠BHE=∠CDB=45°，∴∠AHE=∠EDF=135°，∴△AHE≌△EDF，∴EH=DF，∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE=22EH∵EH=DF．∴BC﹣DE=22DF．（3） 解：如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH．可得：DE﹣BC=22DF．如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：DF=HE，可得BC+DE=22DF．2．如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC.（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y。

①求y与x的函数关系式；②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.【答案】（1）AE=EF；（2）①y=-12x2+2x（0＜x＜4)，②当x=2,y最大值=2.【分析】（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：△AGE≌△ECF，则可证得：AE=EF；（2）同（1）可证明AE=EF，利用AAS证明△ABE≌△ENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF的面积为y，然后整理再根据二次函数求解最值问题．【解答】（1）如图，在AB上取AG=EC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，有∵AG=EC ，∴BG=BE ，又∵∠B=90°，∴∠AGE=135°，又∵∠BCD=90°，CP平分∠DCN，∴∠ECF=135°，∵∠BAE＋∠AEB=90°，∠AEB＋∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC，在△AGE和△ECF中，∠AGE=∠ECFAG=EC∠GAE=∠CEF ,∴△AGE≌△ECF，∴AE=EF；(2)①∵由（1）证明可知当E不是中点时同理可证AE=EF，∵∠BAE=∠NEF，∠B=∠ENF=90°，∴△ABE≌△ENF，∴FN=BE=x，∴S△ECF=12 (BC-BE)·FN，即y=12 x(4-x），∴y=- 12x2+2x（0＜x＜4)，②y=-12x2+2x=-12(x2-4x)=-12(x-2)2+2，3．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在三角形内取一点D，AD＝AC，∠CAD＝30°，求∠ADB．小明通过探究发现，∠DAB＝∠DCB＝15°，BC＝AD，这样就具备了一边一角的图形特征，他果断延长CD至点E，使CE＝AB，连接EB，造出全等三角形，使问题得到解决．（1）按照小明思路完成解答，求∠ADB；（2）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图2，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别为BC、AC、AB上一点，连接DE，延长FE、DF分别交BC、CA延长线于点G、H，若∠DHC＝∠EDG＝2∠G．①在图中找出与∠DEC相等的角，并加以证明；②若BG＝kCD，猜想DE与DG的数量关系并证明．【答案】（1）135°;（2）①∠HDC＝∠DEC;②猜想DG＝kDE.【分析】（1）根据辅助线证得△DAB≌△BCE，则∠ADB＝∠CBE（还不能直接求得，考虑全等的其他等边等角），∠ABD＝∠E，BD＝BE，得到∠BDE＝∠E＝∠ABD．考虑引入未知数，设∠CBD＝x，则∠E＝∠ABD＝∠BDE＝x+15°，利用∠ABC＝∠ABD+∠CBD求得x，再由周角求得结果．（2）①∠DEC是△DEH的外角，等于∠DHC+∠HDE，而∠DHC＝∠EDG，等量代换得∠DEC＝∠EDG+∠HDE＝∠HDC．②由条件DHC＝∠EDG＝2∠G，在FG上方构造2∠G即∠FGM＝∠FGD，则∠EDG＝∠MGD，令M落在BA延长线上，加上∠B＝∠ACB，即得△BGM∽△CDE，有MGDE=BGCD=k．又通过三角形内角和求得∠M＝∠HDC，证得△MFG≌△DFG，有MG＝DG，得证．【解答】（1）延长CD至点E，使CE＝AB，连接EB∵，∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA＝45°∵AD＝AC，∠CAD＝30°∴BC＝AD，∠ACD＝∠ADC＝180°-∠CAD2＝75°，∠DAB＝∠CAB﹣∠C。