量子力学导论Chap8-2.ppt

1、 自旋－轨道耦合 电子自旋是一种相对论效应中心力场的相对论波动方程在非相对论极限条件下，哈密顿量中将出现自旋－轨道耦合作用项注：在外磁场较强的正常塞曼效应中，该项可以忽略，但在外磁场较弱或为零时，此项不可忽略,§8.2 总角动量,原子光谱的精细结构和反常塞曼效应都与此有密切关系,在中心力场中考虑自旋－轨道耦合后：电子轨道角动量 l 和自旋角动量 s 都不是守恒量,2、总角动量 定义性质1）中心力场中考虑自旋－轨道耦合，j 为守恒量,,2) 总角动量的对易关系式,3) l2 仍然是守恒量,,4) 守恒量完全集能量本征态可以选取它们的共同本征态,3、共同本征态 空间角度部分与自旋部分的波函数的共同本征态取 的共同本征态在 (, , sz)表象中，设共同本征态为它必须同时满足如下要求：  是 l2 的本征态  是 jz 的本征态  是 j2 的本征态,1) l2 的本征态2) jz 的本征态,,,可见，1 和 2 都是 lz 的本征态，但对应的本征值却相差  本征方程,,,结合 l2 对 1 和 2 的要求，取方可得到,对 jz 本征值求解的说明,,,,3) j2 的本征态,,为了方便求解 j2 本征值，事先作两个说明：a. 在 j2 中，由于涉及 s2，在 泡利表象中 s2 就等于 3/4 ћ2b. 定义两个新算符，l 的升降算符：,,如何求 、 a 和 b ？,泡利表象中(其中要用到泡利矩阵)，j2的矩阵形式,求本征值 代入 j2 的本征值方程，并利用 l 算符的性质，得它是 a 和 b 的齐次线性方程组，有非平庸解的条件是其系数行列式必为零,即，解之，得  的两个实根，即再求 a 和 b 的关系将 j = l1/2 对应的根  代入式(*)中，立即得到,综合 1)、2) 和 3) ，可写出 (l2, j2, jz) 的共同本征函数，并加以归一化,（l0）,(l2, j2, jz) 对应的本征值分别是,4) mj 的取值问题（分两种情况） 对于 j = l+1/2所以，mmax = l, mmin = -(l+1)。

于是 m = l, l-1, …, 0, …, -(l+1)而 mj = (m+1/2)，这样， mj = l+1/2, l-1/2,…,-(l+1/2) = j, j-1,…,-j可见，mj 共有(2j+1)个取值,为什么？,,j = l+1/2,,(2) 对于 j = l-1/2所以，mmax = l-1, mmin = -l于是 m = l-1, l-2, …, 0, …, -l+1, -l而 mj = (m+1/2)， 这样，mj = l-1/2, l-3/2, …, -l+3/2, -l+1/2 = j, j-1,…, -j此时， mj 也共有(2j+1)个取值,（l0）,为什么？,,j = l+1/2,,最终，(l2, j2, jz) 的共同本征函数 (1) j = l+1/2，mj = m+1/2,(2) j = l－1/2 (l  0), mj = m+1/2,(l2, j2, jz) 的共同本征函数可记为 ，(l, j, mj) 为一组好量子数,(l2, j2, jz) 对应的本征值分别是,举例：l = 0, 不存在自旋轨道耦合j = l+s = s =1/2, mj = ms = 1/2(1) mj 取 1/2 时情形,l = 0, 不存在自旋轨道耦合，j = l+s = s =1/2, mj = ms = 1/2(2) mj 取 -1/2 时情形,1、碱金属原子双线结构碱金属原子最外层只有一个价电子，原子核和内层电子构成原子实，价电子感受到的是原子实的作用，所以，它的势能 V(r) 是屏蔽库仑势，再考虑自旋－轨道耦合，价电子哈密顿量写为,§8.3 碱金属原子的光谱双线结构和反常塞曼效应,守恒量完全集可选为 (H, l2, j2, jz)，共同本征态为带入定态薛定谔方程,(1) j = l+1/2(2) j = l-1/2 (l  0)定性分析： 给定V(r)，(r) 便可求出，再根据束缚态边界条件求出分立的能量本征值 V(r) 是屏蔽势，能量与 (n, l, j) 都有关，记为 Enlj，简并度为 (2j+1),光谱双线结构的物理分析:价电子的 V(r) < 0，作用价电子的为吸引力。

因为 F = -V(r)＝- dV/dr er，dV/dr > 0，(r) > 0因此，即，考虑自旋－轨道耦合后，j = l+1/2 能级要略高于 j = l-1/2 (l  0) 能级但自旋－轨道耦合很小，分立的能级靠得很近，这就是造成光谱双线结构的原因理论计算表明，碱金属原子序数 Z 越大，分裂的间距越大对 Na导致D1和D2双线,,,2、反常塞曼效应 在强磁场中，可不计及自旋－轨道耦合作用，也不计及电子自旋时，只考虑轨道磁矩与外磁场的作用，足以说明导致原子光谱一分为三的正常塞曼效应 若计及电子自旋和相应的内禀磁矩，则不可忽略该磁矩与外磁场的相互作用(1) 外磁场很强，并计及电子自旋和内禀磁矩(仍然可以忽略自旋－轨道相互作用项)体系哈密顿量为,守恒量完全集与共同本征态H 不含自旋－轨道耦合，波函数自旋部分可以与空间部分分离，能量本征态可选为守恒量完全集 (H, l2, lz, sz) 的共同本征态能量本征值,其中用到ms = 1/2,对光谱影响的分析与不考虑电子自旋时的能级相比，外加强磁场对能级有所改变，但对原子光谱的正常塞曼分裂无影响例如 对 Na 原子黄光，因为跃迁选择定则要求，发生跃迁的两条能级的 ms = 0，跃迁只能在 ms ＝ 1/2 的两条能级之间或 ms ＝ 1/2 的两条能级之间进行。

但每一组内部的两条能级同时增大或同时减小并且幅度完全相等，因此对观察到的谱线三分裂的正常塞曼效应没有影响2) 外磁场很弱，不能忽略自旋－轨道相互作用项(并计及电子自旋和内禀磁矩与外磁场的作用)体系哈密顿量为可以证明 jz 仍为守恒量，但 jx, jy 和 j2 不再是守恒量，主要是因为最后一项的存在引入的麻烦但它导致了反常塞曼效应原本无外磁场的(2j+1)重简并的能级在磁场作用下分裂注意(2j+1)为偶数,,。