【教案】数学分析教案(华东师大版)第二章数列极限.docx

学习必备 欢迎下载其次章 数列极限教学目的：1. 使同学建立起数列极限的精确概念，娴熟收敛数列的性质；2. 使同学正确懂得数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法， 会用数列极限的定义 证明数列极限等有关命题； 要求同学：逐步建立起数列极限的 概念. 深刻懂得数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念 . 会应用数列极限的定义证明有关命题，并能运用 语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；懂得并能证明收敛数列、极限唯独性、单调性、保号性及不等式性质；把握 并会证明收敛数列的四就运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某 些收敛数列的极限；初步懂得柯西准就在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯 西准就判定某些数列的敛散性；教学重点、难点 ：本章重点是数列极限的概念；难点就是数列极限的 定义及其应用 .教学时数 ： 14 学时 1 数列极限的定义教学目的 ：使同学建立起数列极限的精确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题；教学重点、难点 ：数列极限的概念，数列极限的 N 定义及其应用；教学时数 ： 4 学时一、 引入新课： 以齐诺悖论和有关数列引入——二、 讲授新课：（一） 数列：学习必备 欢迎下载1. 数列定义——整标函数 . 数列给出方法 : 通项, 递推公式 . 数列的几何意义 .2. 特别数列 : 常数列 , 有界数列 , 单调数列和往后单调数列 .（二） 数列极限 : 以 为例.定义 〔 的 “ ”定义 〕定义 〔 数列 收敛的“ ”定义 〕注： 1. 关于 ： 的正值性 , 任意性与确定性 , 以小为贵 ; 2. 关于 ： 的存在性与非唯独性 , 对 只要求存在 , 不在乎大小 . 3. 的几何意义 .（三）用定义验证数列极限： 讲清思路与方法 .例 1例 2例 3例 4证留意到对任何正整数 时有 就有学习必备 欢迎下载于是，对 取例 5证法一 令 有 用 Bernoulli 不等式，有或证法二 （用均值不等式）例 6证 时，例 7 设 证明（四）收敛的否定 :定义 〔 的“ ”定义 〕.定义 〔 数列 发散的“ ”定义 〕.例 8 验证学习必备 欢迎下载（五）数列极限的记註 :1. 满意条件“ ”的数列2. 转变或去掉数列的有限项 , 不影响数列的收敛性和极限 . 重排不转变数列敛散性 :3. 数列极限的等价定义 :对任有理数对任正整数（六）无穷小数列 : 定义.Th2.1 〔 数列极限与无穷小数列的关系 〕. 2 收敛数列的性质（ 4 学时）教学目的 ：熟识收敛数列的性质；把握求数列极限的常用方法；教学重点、难点 ：：迫敛性定理及四就运算法就及其应用，数列极限的运算；教学时数 ： 4 学时一. 收敛数列的性质 :1. 极限唯独性： （ 证 ）2. 收敛数列有界性 —— 收敛的必要条件： （ 证 ）3. 收敛数列保号性：学习必备 欢迎下载Th 1设如就（ 证 ）系 1设如，（留意“ = ” ；并留意 和 的情形 ）.系 2 设 或 . 就对 〔 或〔 或系 3 如 就对肯定值收敛性见后 .4. 迫敛性 〔 双逼原理 〕: Th 2 〔 双逼原理 〕. 〔 证 〕5. 肯定值收敛性 :Th 3 〔 留意反之不正确 〕.〔 证 〕系 设数列 { } 和{ } 收敛, 就〔 证明用到以下 6 所述极限的运算性质 〕.6. 四就运算性质 :Th 4 〔 四就运算性质 , 其中包括常数因子可提到极限号外 〕. 〔 证 〕学习必备 欢迎下载7. 子列收敛性 : 子列概念 .Th 5 〔 数列收敛充要条件 〕 { } 收敛 { } 的任何子列收敛于同一极限 .Th 6 〔 数列收敛充要条件 〕 { } 收敛 子列{ } 和{ } 收敛于同一极限 .Th 7 〔 数列收敛充要条件 〕 { } 收敛 子列{ } 、{ } 和{ 都收敛. 〔 简证 〕二. 利用数列极限性质求极限 :两个基本极限：1．利用四就运算性质求极限： 例 1註： 关于 的有理分式当 时的极限情形例 2 填空:⑴⑵例 3例 42. 双逼基本技法 : 大小项双逼法，参阅 [4]P53.学习必备 欢迎下载例 5 求以下极限 :⑴⑵⑶例 6 〔例 7 求证例 8 设 存在. 如 就三. 利用子列性质证明数列发散 :例 9 证明数列 发散. 3 收敛条件（ 4 学时）教学目的 ：使同学把握判定数列极限存在的常用工具；教学要求 ：1. 把握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；2. 初步懂得 Cauchy 准就在极限理论中的主要意义，并逐步会应用 Cauchy 准就判定某些数列的敛散性；教学重点 ：单调有界定理、 Cauchy 收敛准就及其应用；学习必备 欢迎下载教学难点 ：相关定理的应用；教学方法 ：讲练结合；一．数列收敛的一个充分条件 —— 单调有界原理： 回忆单调有界数列 . Th 1 〔 单调有界定理 〕. 〔 证 〕例 1 设 证明数列 { } 收敛.例 2 〔 重根号 〕, 证明数列{ } 单调有界 , 并求极限 .例 3 求 〔 运算 的逐次靠近法 ,亦即迭代法 〕.解 由均值不等式 , 有 有下界 ;留意到对 有 有↘ ,二、 收敛的充要条件—— Cauchy 收敛准就：1． Cauchy 列：2． Cauchy 收敛准就： Th 2 数列{ 收敛，（ 或数列 { 收敛， }学习必备 欢迎下载Th 2 又可表达为：收敛列就是 Cauchy列. 〔 此处“就是”懂得为“等价于” 〕.〔 简证必要性 〕例 4 证明: 任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列收敛. 其中 是 中的数 .证 令 有例 5 设 试证明数列{ 收敛.三. 关于极限 证明留在下节进行 .例 6例 7学习必备 欢迎下载例 8四. 数列 单调有界证法观赏 :Cauchy 〔1789 — 1857 〕 最先给出这一极限， Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一 .证法一 （ Riemann 最先给出这一证法） 设 应用二项式绽开，得，+留意到且 比 多一项 即 ↗.有界.学习必备 欢迎下载综上, 数列{ } 单调有界 .评註: 该证法朴实而稳健 , 不失大将风度 .证法二 〔 利用 Bernoulli 不等式 〕留意到 Bernoulli 不等式 为正整数 〕, 有由 利用 Bernoulli 不等式 , 有↗ .为证{ } 上方有界 , 考虑数列 可类证 ↘. 事实上 ,〔 此处利用了 Bernoulli 不等式 〕↘.明显有 有 即数列 { } 有上界 .学习必备 欢迎下载评註: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处 .证法三 〔 利用均值不等式 〕 在均值不等式 中, 令 就有即 ↗.令 可仿上证得 时 ↗, 〔时无意义 , 时诸 = , 不能用均值不等式 . 〕 当 时, 由由 ↗ ↘. < 4.证法四 〔 仍利用均值不等式 〕<即 ↗ .有界性证法可参阅上述各证法 .学习必备 欢迎下载证法五 先证明：对 和正整数 ，有不等式事实上，< 该不等式又可变形为〔为正整数〕在此不等式中,取就有就有↗ .取 又有 对 成立，又由评註: 该证法真叫绝 . [1] 采纳这一证法 .小结、习题（ 2 学时）。